1 対称行列の定義と基本性質

1.1 定義（転置と対称性）

対称行列とは、ある基底での成分が転置行列と一致する行列であり、実数行列AについてA^T = Aが成り立つものをいう。転置とは行と列を入れ替える操作であり、対称性はその入れ替えによって行列が変化しないことを意味する。したがって対称行列は一般に正方行列に限られる。

対称性は成分レベルでも同値で、任意の添字i, jに対してa_{ij} = a_{ji}となる。これにより、対称行列は主対角線を境に左右対称な構造を持ち、情報として独立なのは主対角線と一方側の成分に限られる。

1.2 実数・複素での位置づけ

実数体上では、エルミート行列の条件A^* = A（*は複素共役を含む随伴）において共役が不要になるため、エルミート行列と対称行列は一致する。ゆえに実数の対称行列は、エルミート行列理論の中で自然な位置づけを持つ。

複素数体では、転置による対称性A^T = Aと、エルミート条件A^* = Aは別物である。対称性は共役を伴わないため、複素対称行列では固有値が実数とは限らない場合がある。一方で、計算の安定性や幾何学的解釈と結びつきが深いのは通常エルミート条件であり、対称行列として扱う範囲は実数またはエルミートの特別形に寄ることが多い。

1.3 基本的な例と非例

代表的な例として、任意の実対角行列は対称行列である。さらに、任意の実行列Bに対して、積B^T Bは必ず対称である（対称性は積の転置を通じて確認できる）。同様に、B B^Tも対称になる。

対称でない例としては、上三角行列で下三角の成分がゼロでも、左右対称に対応する成分が一致していないものが挙げられる。たとえばA = [[0,1],[0,0]]は転置すると[[0,0],[1,0]]となるため対称ではない。

また、計算上よく現れる非例として、一般の直交行列やユニタリ行列も必ずしも対称ではない。直交行列はA^T = A^{-1}を満たすが、A^T = Aは追加の制約であり、必ずしも一致しない。

1.4 次元や基底変更に対する不変性

対称性は「どの基底で見ているか」に依存する性質に見えるが、適切な変換のもとでは保存される。特に直交変換（実数の場合）による基底変更では、対称性が保たれる。直交行列QでAをA' = Q^T A Qと変換すると、A'は対称性を持つ。実際、転置をとるとA'^T = (Q^T A Q)^T = Q^T A^T Q = Q^T A Q = A'となる。

この性質により、対称行列のスペクトルに関する結論は座標選びに左右されない。幾何学的には、内積を保つ変換（直交変換）での表現変更として理解でき、固有値や固有空間の構造が基底変更に対して本質的な意味を保つ。

2 固有値・固有ベクトルと直交対角化

2.1 固有値の実性

2.1.1 対称性から導かれる証明の枠組み

実数の対称行列Aに対し、その固有値は実数である。代表的な枠組みとして、固有ベクトルx（複素拡張も許す）を用いて方程式Ax = λxの両辺に内積を取り、λが実数であることを示す方法がある。

内積⟨x, Ax⟩は対称性（実数体でのA^T = A）により⟨x, Ax⟩ = ⟨Ax, x⟩となり、スカラーとしての値が実数に制約される。さらにAx = λxを代入して⟨x, Ax⟩ = ⟨x, λx⟩ = λ⟨x, x⟩と書き換えると、⟨x,x⟩が正（xが零でない限り）であることからλの実性が導かれる。この論法は、対称性が「随伴作用と内積の整合」を作る点に本質がある。

2.2 固有空間と幾何学的重複度

固有値λに対して、固有空間E_λ = {x : Ax = λx}を考える。固有空間の次元は幾何学的重複度と呼ばれ、行列の構造がどの程度多方向の解を許すかを表す。

対称行列では、固有空間が互いに直交する性質を持ちやすく、その結果、重複度と全体の次元が分かりやすく整理される。具体的には、異なる固有値に属する固有ベクトル同士が内積に関して直交するため、固有空間同士を「分離したブロック」として扱うことが可能になる。

2.3 直交対角化定理

2.3.1 分解の一意性（固有値の並びの違いを除く）

直交対角化定理によれば、実対称行列Aは直交行列Qと対角行列Dを用いてA = Q D Q^Tと表せる。対角成分は固有値であり、列ベクトルは対応する固有ベクトルの直交規格直交基底として選べる。

分解の一意性については、固有値の並びを入れ替える自由が常に残る。さらに、同一の固有値に対しては固有空間内での基底の取り方が任意であるため、当該ブロックに対応する直交変換を施してもAは変わらない。よって厳密には「固有値の集合」と「固有空間の直交分解」が本質部分であり、Qの個々の列の選択には柔軟性がある。

2.4 スペクトル半径・ノルムとの関係

対称行列では作用素ノルムやスペクトル半径と固有値が強く結びつく。スペクトル半径ρ(A)は固有値の絶対値の最大であり、対称行列では固有値が実数となるため、ρ(A)は固有値の最大絶対値に一致する。

さらに、2-ノルム（スペクトルノルム）においては、Aが対称であればA_2は最大特異値に一致し、特異値は絶対値付き固有値に対応する。結果としてA_2 = max_iλ_iが成り立ち、ノルム評価がスペクトル情報へ還元される。これは誤差評価や安定性解析で有用となる。

3 二次形式としての対称行列

3.1 二次形式の定義と同値性

実ベクトルxに対して、二次形式をf(x) = x^T A xで定める。Aが対称であるとき、この表現は自然に二次形式として解釈できる。逆に、任意の行列Mについてx^T M xはx^T ( (M + M^T)/2 ) xに等しく、二次形式を定める観点では対称化が本質になる。

したがって、二次形式と対称行列は同一視できる。具体的には、二次形式が与えられればそれに対応する対称行列（係数の割り当て）が一意に定まる、という意味で対応が成立する。

3.2 正定値・負定値・半正定値

対称行列Aについて、二次形式f(x)=x^T A xの符号で判定する。x ≠ 0に対してf(x) > 0が成り立つときAは正定値、f(x) < 0なら負定値、両者を許してf(x) ≥ 0なら半正定値と呼ぶ。符号の性質は、線形変換後の幾何（楕円体、超平面による形状）を直接反映する。

特に正定値のとき、Aは可逆であり、逆行列もまた対称になる。負定値も同様に可逆で、Aのスペクトルは符号により整理される。半正定値では退化が起こり得るため、どの方向で値がゼロになるか（零空間）を別途見る必要がある。

3.2.1 主小行列による判定（代表的な視点）

正定値性・半正定値性を決める方法として、主小行列に基づく判定がある。主小行列とは同じインデックス集合に対応する行と列を取り出した部分行列で、特に先頭からの主小行列（先頭主小行列）が代表的に扱われる。

代表的にはシルベスターの判定法が知られ、実対称行列である場合に、各次数の先頭主小行列の行列式の符号パターンから正負の定値性が判定できる。この視点は数値計算でも理屈として重要だが、数値的な実装では丸め誤差の影響を受けやすいため、別手段と併用されることが多い。

3.3 ランクと退化性

退化性とは、二次形式がある非自明な方向でゼロになることを指す。対称行列Aでは、ランクの不足が退化を意味し、具体的には核空間N(A) = {x : Ax = 0}に対応する方向が存在するとf(x) = x^T A xが0になる。

半正定値の場合、最小値は0に下がることがあり、そのときの達成集合が核空間に関係する。ランクは、独立な拘束の数や自由度の残りを表す指標となり、幾何的には「楕円体が潰れている」方向の存在に相当する。

3.4 最適化との接点（凸性の判定）

二次関数の凸性はヘッセ行列（2階微分）により判定される。目的関数をφ(x) = (1/2) x^T A x とし、Aが対称とすれば、φの凸性はAの半正定値性と対応する。より一般に、凸性は二次形式の符号構造が反映されるため、対称行列の定値判定は最適化の基本判定になる。

正定値なら厳密な凸性が得られ、局所解が大域的に一意になる。半正定値では平坦な方向が残り、最適解が一意に定まらない場合がある。この違いはアルゴリズムの挙動（反復の収束先、解の集合の形）にも影響する。

4 分解定理と数値計算

4.1 ユークリッド空間での幾何学的解釈

ユークリッド空間において、対称行列は内積と整合的な線形作用として現れる。直交分解された固有空間の上では、作用がそれぞれの固有値によるスカラー倍に落ちるため、幾何的には「空間を直交方向ごとに伸縮する」変換として理解できる。

例えば固有値が正の方向は二次形式を押し広げ、負の方向は反対に潰す。零固有値に対応する成分は不変かつ退化的で、形状としては平坦面を生む。こうした幾何学的見通しは、分解が単なる計算技法でなく、構造の読み取りに直結することを示す。

4.2 スペクトル分解（射影の合成として）

スペクトル分解は、固有値ごとに対応する射影（固有空間への直交射影）を用いて行列を再構成する考え方である。対称行列Aの固有値λ_iに対し、P_iを対応する固有空間への直交射影とすると、A = Σ_i λ_i P_iと書ける。

この式の利点は、作用を固有空間ごとの独立な寄与の和として整理できる点にある。射影P_iは冪等（P_i^2=P_i）で互いに直交（P_i P_j=0, i≠j）になり、計算や解析ではこれらの性質が簡潔な式変形を可能にする。さらに冪や指数関数といった関数適用も、各固有成分への関数値の適用に還元できる。

4.3 チューニングされた分解（用途別の見方）

分解をどう利用するかで、重視する性質が変わる。例えば数値最適化では、正定性や半正定性を安定に判定する観点から分解の仕方を選ぶことがある。一方、信号処理や統計の文脈では、分解後の固有値の大きさがエネルギー配分に相当し、上位成分だけを使う近似が重要になる。

用途別の見方としては、固有値が疎に分布している場合と密に分布している場合で、必要な精度や反復回数の見積もりが変わる。さらに、実装上は対称性を維持するアルゴリズム（対称性を壊しにくい更新）を選ぶことで誤差の増幅を抑えられることがある。

4.4 数値計算の基本（固有値・固有ベクトル計算の考え方）

固有値・固有ベクトル計算では、対称性が計算の安定性に寄与する。一般の行列では非対称性によって反復法が不安定になり得るが、対称行列では固有ベクトルの直交性が保たれやすく、基礎的な手法を組み合わせることで効率良く解ける。

代表的な考え方として、まず対称行列をより扱いやすい形（例として三重対角形に相当する変換後の形）へ還元し、その後に固有値を求める流れがある。三重対角化は大規模計算での演算量を抑え、以降の反復の安定性を高める目的を持つ。固有ベクトルについても、必要な固有空間のみを計算する設計が可能である。

4.5 誤差・安定性の観点（実装上の注意）

数値計算では丸め誤差により、理論上の性質が厳密に保たれないことがある。対称行列のアルゴリズムでも、計算途中で行列がわずかに非対称になると、固有値の実性が微妙に崩れるなどの現象が起こり得る。そのため、対称性を保つ更新や、対称性を前提にした収束判定が実装上の工夫となる。

また、近い固有値同士では固有ベクトルの方向が数値的に不安定になり得る。これは固有空間が大きく、基底の選択が任意性を持つためである。対策としては固有値のクラスタを意識した評価、必要な量（固有値のみ、あるいは部分空間）のみに集中する設計が用いられる。さらに、残差Ax - λxの評価により、計算結果の信頼度を確認することが重要になる。