1 線形変換の定義
線形変換は、ベクトル空間から別のベクトル空間、あるいは同じ空間への写像で、演算の構造を保つものをいう。具体的には、足し合わせた結果とスカラー倍した結果が、変換の後でも対応することが要件となる。この性質により、線形変換は幾何学的対象の形を比較的規則的に写し替え、計算上も扱いやすい枠組みを与える。
1.1 線形性の条件
線形性は、加法とスカラー倍の2条件から成る。どちらか一方だけでは不十分で、両方が同時に成り立つときに限って線形変換と呼ばれる。これにより、変換はベクトル空間の代数的構造を保存する。
1.1.1 加法の保存
2つのベクトルを先に加えてから写す操作と、それぞれを写してから加える操作が一致することをいう。これは、和の関係が変換によって崩れないことを意味する。
1.1.2 スカラー倍の保存
ベクトルを定数倍してから写した結果が、先に写してから同じ定数倍をした結果と一致する性質である。数値による拡大や縮小が、変換の前後で整合していることを表す。
1.2 線形変換の例
線形変換には、非常に単純なものから幾何学的に直感しやすいものまで多くの種類がある。いずれも、定義の2条件を満たす点で共通している。
1.2.1 恒等写像
各ベクトルをそのまま自分自身に移す写像である。最も基本的な線形変換の一つで、変化を与えない基準例として用いられる。
1.2.2 零写像
すべてのベクトルを零ベクトルへ写す変換を指す。出力が常に同じであるため、構造の比較では対照的な例として現れる。
1.2.3 幾何学的な変換
平面や空間における回転、反射、射影などの一部は線形変換となる。図形の向きや配置を変えるが、直線性を保つため、解析や物理で重要になる。
1.3 線形変換でない写像
平行移動のように、原点を別の位置へずらす写像は一般に線形ではない。また、加法やスカラー倍の保存が成り立たない変換も線形変換とはみなされない。したがって、見た目が似ていても、代数的条件の確認が必要である。
2 線形変換の表現
線形変換は抽象的に定義されるが、実際には基底を選ぶことで座標計算に落とし込める。こうして得られる表現は行列となり、変換の性質を具体的に調べる手段となる。
2.1 基底と座標表示
ベクトル空間では、基底を定めると各ベクトルを成分の組として表せる。線形変換も、この座標の言葉で記述すると、計算が明快になる。
2.1.1 標準基底による表現
通常の座標空間では、標準基底を用いることで変換の作用が直接的に記述できる。各基底ベクトルの像を求めれば、全体の振る舞いが定まる。
2.1.2 一般の基底による表現
標準的でない基底を選ぶと、同じ変換でも成分表示は変わる。適切な基底を用いると、計算が簡潔になったり、特定の構造が見えやすくなったりする。
2.2 行列表示
線形変換は行列によって表される。行列の各列や各成分は、基底ベクトルの像を整理したものであり、写像の性質を数表として扱えるようにする。
2.2.1 行列の作り方
基底ベクトルをそれぞれ変換し、その結果を同じ基底で座標表示する。得られた列ベクトルを並べると、対応する表現行列が完成する。
2.2.2 表現行列の性質
表現行列は、基底の取り方に依存する一方で、変換そのものの本質を反映する。異なる基底では別の行列になるが、同じ線形写像を記述しているという関係は保たれる。
2.3 変換と行列演算の対応
線形変換の合成や逆変換は、行列演算ときれいに対応する。この対応により、抽象的な写像の問題が、具体的な計算問題へ置き換えられる。
2.3.1 合成と行列積
2つの線形変換を続けて適用する操作は、対応する行列の積に一致する。順序が重要である点も、行列積の非可換性と合う。
2.3.2 逆変換と逆行列
ある変換を打ち消す写像が存在するとき、それは逆変換と呼ばれる。表現行列が正則なら逆行列が対応し、元のベクトルを復元できる。
3 線形変換の基本概念
線形変換を理解するうえでは、核、像、単射性、全射性などの概念が中心となる。これらは、変換が情報をどの程度保ち、どの範囲まで到達するかを示す。
3.1 核と像
核と像は、線形変換の最重要概念の一つである。核は消えてしまう成分、像は実際に到達する範囲を表す。
3.1.1 核の定義
変換によって零ベクトルに写るベクトル全体を核という。核が大きいほど、異なる入力が同じ出力に潰れやすい。
3.1.2 像の定義
変換の出力として実現されるベクトル全体を像と呼ぶ。像は、変換が到達可能な領域を示す。
3.1.3 次元との関係
核と像の次元は、元の空間の次元と密接に結び付いている。どちらかが大きくなると、他方とのバランスが変わり、変換の自由度や制約が見えてくる。
3.2 単射・全射・全単射
写像としての性質を考えるとき、単射、全射、全単射は基本的な分類である。これらは、入力と出力の対応がどのように成り立つかを示す。
3.2.1 単射の条件
異なるベクトルが異なる像を持つとき、単射である。線形変換では、核が零ベクトルのみであることと対応する。
3.2.2 全射の条件
目標空間の任意のベクトルが少なくとも1つの原像を持つとき、全射という。像が値域全体を埋め尽くすかどうかで判定できる。
3.2.3 可逆性
単射かつ全射であるとき、その変換は可逆である。逆写像が線形である場合、元の構造を完全に回復できる。
3.3 ランクと零化度
ランクと零化度は、線形変換の情報量や縮約の度合いを数で表す指標である。核と像を要約した量として、行列計算でも頻繁に現れる。
3.3.1 ランクの意味
ランクは像の次元に等しい。実質的に何次元分の情報が出力に残るかを示す尺度である。
3.3.2 零化度の意味
零化度は核の次元を表す。どれだけ多くの方向が消去されるかを示し、退化の程度を反映する。
3.3.3 ランク・零化度定理
有限次元の場合、元の空間の次元はランクと零化度の和に分解される。この関係は、変換の全体像を把握するうえで基本となる。
4 線形変換の応用と発展
線形変換は理論的な道具にとどまらず、方程式の解法や幾何学、解析にも広く使われる。特に固有値の理論は、複雑な変換を理解しやすい形へ整理する。
4.1 固有値と固有ベクトル
固有値と固有ベクトルは、変換の作用が特定方向では単なる伸縮として現れることを捉える概念である。これにより、変換の本質的な挙動を抽出しやすくなる。
4.1.1 固有値の定義
ある非零ベクトルが変換後に同じ向きのまま定数倍されるとき、その倍率を固有値という。変換の特徴を表す重要な数である。
4.1.2 固有ベクトルの定義
変換によって向きが保たれ、長さだけが変わる非零ベクトルを固有ベクトルという。特定の方向における安定した振る舞いを示す。
4.1.3 対角化
十分多くの固有ベクトルが得られると、変換は適切な基底のもとで対角行列として表せる。こうなると、繰り返し計算や解析が大幅に簡単になる。
4.2 連立一次方程式への応用
線形変換の理論は、連立一次方程式の解を調べる際の基盤になる。行列式の操作や階数の考察と結び付き、解の有無や個数を判断できる。
4.2.1 解の存在条件
方程式系が解を持つかどうかは、係数行列と拡大係数行列の整合性で判断される。像に右辺が含まれるかという見方でも説明できる。
4.2.2 解空間の構造
解が存在するとき、その集合は一点に限られる場合もあれば、平行移動された部分空間となる場合もある。核の構造が、解の自由度を決める。
4.3 幾何学と解析への応用
線形変換は図形の変形を記述するだけでなく、時間発展や微分を扱う解析にも現れる。抽象理論が具体的な現象の記述へつながる代表例である。
4.3.1 回転と反射
平面や空間の回転、鏡映は、適切な基準のもとで線形変換として記述できる。向きや対称性の理解に役立つ。
4.3.2 射影
ある方向へ押しつぶすように写す操作を射影という。情報を減らす変換だが、必要な成分を取り出す道具として有用である。
4.3.3 微分方程式との関係
線形微分方程式では、解の集合が線形構造を持つことが多い。行列指数や固有値の考え方を通じて、変換理論が時間発展の解析に応用される。