1 基本概念
写像は、ある集合の各要素に対して、別の集合のただ一つの要素を対応させる規則である。数や図形だけでなく、文字列、空間の点、抽象的な代数系の要素にも適用でき、数学では対象の関係を記述する共通言語として扱われる。日常的には「関数」とほぼ同じ意味で用いられることも多いが、より広い文脈では、対応そのものを強調する語として使われる。
1.1 写像の定義
写像は、集合Aの各要素aに対し、集合Bのただ一つの要素bを対応させるときに定義される。これをf: A → Bと書き、aの像をf(a)と表す。重要なのは、Aの各要素に対して出力が必ず一つに定まる点であり、複数の値が対応する関係とは区別される。
1.2 定義域と終域
写像f: A → Bでは、Aを定義域、Bを終域という。定義域は入力として許される要素の全体であり、終域は出力が属すると約束された集合である。実際に写される値の全体は像と呼ばれ、終域の全部とは限らない。
1.3 像と逆像
像は、定義域の各要素を写した結果として得られる終域内の集合である。ある集合Cに対する逆像は、f(a)がCに入るような定義域側の要素全体を指す。逆像は、個々の点だけでなく部分集合にも定義でき、連続性や測度論など多くの分野で重要な役割を持つ。
1.4 対応規則と一意性
写像が写像であるためには、対応が一意でなければならない。つまり、同じ入力に対して異なる出力が同時に割り当てられてはならない。逆に、複数の入力が同じ出力を共有することは許される。この一意性が、写像を一般の対応関係から区別する基本条件である。
2 主要な性質
写像の性質は、入力と出力の結びつき方を分類するために用いられる。単射、全射、全単射は対応の偏りや欠落を示し、合成や逆写像は写像同士の組み合わせや可逆性を表す。これらは、代数、幾何、解析の各分野で共通して重要である。
2.1 単射
単射は、異なる入力が異なる出力に写る性質である。つまり、f(a1)=f(a2)ならばa1=a2が成り立つ。情報の重なりがないため、元の要素を比較的よく保つ写像として理解される。
2.2 全射
全射は、終域のすべての要素が少なくとも一つの定義域の要素から到達される性質である。終域の各点が像として現れるため、出力側に「抜け」がない。写像が終域をどの程度埋めているかを示す基準となる。
2.3 全単射
全単射は、単射と全射を同時に満たす写像である。各入力が異なる出力に対応し、かつ終域のすべての要素がちょうど一度ずつ現れる。全単射は対応の完全な一対一性を表し、逆写像の存在と直結する。
2.4 合成
合成は、二つ以上の写像を順に適用して新しい写像を作る操作である。ある写像の出力を別の写像の入力としてつなげることで、複雑な対応を組み立てられる。数学では、個々の写像の性質だけでなく、合成したときの振る舞いも重視される。
2.4.1 合成の定義
f: A → Bとg: B → Cが与えられるとき、g∘f: A → Cは、まずfを適用し、その結果にgを適用する写像である。aに対して(g∘f)(a)=g(f(a))と書く。定義の成立には、fの終域とgの定義域が対応していることが必要である。
2.4.2 合成の結合法則
写像の合成は結合法則を満たす。すなわち、h∘(g∘f)=(h∘g)∘fが成り立つ。これにより、複数の写像を並べる際に括弧の付け方を気にせず扱えるため、理論の記述が簡潔になる。
2.5 恒等写像
恒等写像は、各要素を自分自身に写す写像である。集合A上の恒等写像はid_A: A → Aと表され、id_A(a)=aで定義される。合成において中立的にふるまい、写像の単位元に相当する。
2.6 逆写像
逆写像は、ある写像を打ち消す役割を持つ写像である。f: A → Bが全単射のとき、BからAへの逆写像f^{-1}が存在し、f^{-1}(f(a))=a、f(f^{-1}(b))=bが成立する。可逆性は、構造を失わずに変換できるかどうかを示す重要な指標である。
3 写像の種類
写像は、扱う対象や保存される構造によって多くの種類に分かれる。線形性、連続性、滑らかさ、同型性といった条件は、それぞれ代数的・位相的・解析的な性質を反映する。これらの分類は、数学の諸領域をつなぐ共通枠組みを与える。
3.1 線形写像
線形写像は、加法とスカラー倍を保つ写像である。ベクトル空間の構造を反映し、線形代数の中心的対象として現れる。直線的な構造を保つため、計算と理論の両面で扱いやすい。
3.1.1 ベクトル空間間の写像
ベクトル空間VからWへの写像Tが線形であるとは、任意のu,v∈Vとスカラーαに対し、T(u+v)=T(u)+T(v)、T(αu)=αT(u)が成り立つことである。これにより、線形写像は空間の足し算や拡大縮小の構造を損なわずに移す。
3.1.2 行列による表現
有限次元ベクトル空間では、線形写像は基底を選ぶことで行列として表せる。行列計算は、写像の合成や像、核の解析を具体的に行う手段となる。したがって、抽象的な対応を数値的に扱う橋渡しとして機能する。
3.2 連続写像
連続写像は、位相空間の近さやつながり方を保つ写像である。極限操作と相性がよく、解析学や位相幾何で基本的な概念となる。局所的な変化が急激でないことを表す性質としても理解できる。
3.2.1 位相空間における定義
位相空間XからYへの写像fが連続であるとは、Yの任意の開集合Uに対して、逆像f^{-1}(U)がXで開集合になることである。この定義は、点ごとの微分可能性に依存せず、より一般の枠組みで連続性を捉える。
3.2.2 連続性の判定
連続性は、開集合の逆像を調べるほか、数列や近傍を用いて確認できる場合がある。特に距離空間では、点列の極限を保つことが重要な判定法となる。具体的な空間の種類に応じて、使いやすい基準が選ばれる。
3.3 滑らかな写像
滑らかな写像は、微分可能性が十分高い写像を指す。解析学や微分幾何では、曲線や多様体の局所的な形を研究する際の基本対象となる。連続写像より強い条件を持ち、微分や接空間の理論と密接に結びつく。
3.4 同型写像
同型写像は、対象の構造を完全に保ちながら対応づける可逆写像である。代数系や位相空間など、分野ごとに「構造を保つ」の意味は異なるが、本質的には同じ形の対象を見分けるための概念である。二つの対象が同型であれば、理論上は同一視できる。
3.4.1 群同型
群同型は、群の演算を保つ全単射写像である。積の対応が一致するため、群の構造をそのまま移す。群論では、同型な群を本質的に同じものとして扱う。
3.4.2 環同型
環同型は、加法と乗法の双方を保つ全単射写像である。数の計算規則が保存されるため、環の代数的性質を比較する基準となる。特定の代数構造の違いが、どこまで本質的かを見極める際に用いられる。
3.4.3 位相同型
位相同型は、連続で逆写像も連続な全単射である。位相空間の「形」が同じであることを示し、連結性や穴の数などの性質を保つ。幾何学的な同値を表す中心概念の一つである。
4 関連概念と応用
写像は単独で扱われるだけでなく、関数や図式、置換、圏論の射などと結びついている。さらに、数学の広い分野で構造を比較したり、計算を整理したりする道具として働く。抽象化が進むほど、写像は理論の骨格を支える役割を強める。
4.1 関数との関係
関数は、通常、数や変数に対する写像として理解される。実数値関数や多変数関数は、写像の具体例に当たる。したがって、関数は写像概念の特定の実現形とみなせるが、集合一般への対応を含めると写像のほうがより広い。
4.2 写像のグラフ
写像のグラフは、入力と出力の対応を点の集合として表したものである。AからBへの写像fのグラフは、通常、(a, f(a))の形の組の集まりとして記述される。これにより、対応関係を視覚的かつ集合論的に捉えられる。
4.3 置換と写像
置換は、有限集合の要素を並べ替える全単射であり、写像の特別な場合である。組合せ論や群論では、置換群として多くの構造が研究される。全単射としての性質により、元の集合の要素を失わずに順序だけを変える操作といえる。
4.4 圏論における射
圏論では、対象間の対応を射と呼び、写像はその代表例である。射は合成可能であることが重視され、写像の合成がその基本モデルとなる。圏論は、数学の異なる分野に共通する構造を、写像の抽象化として統一的に扱う。
4.5 数学諸分野での応用
写像は、方程式の解の対応、空間の変形、データの符号化、構造の比較など、多方面で用いられる。線形代数では行列計算の基礎となり、解析学では極限や連続性を記述し、位相幾何では空間の同値性を定義する。これらの応用を通じて、写像は数学全体をつなぐ基盤概念として位置づけられる。
</INTERNAL_LINK_CANDIDATES> 集合（要素をまとめた数学的対象） 関数（入力に対し値を対応させる写像の具体例） 定義域（写像の入力となる集合） 終域（写像の出力が属すると定めた集合） 像（写像で実際に到達する値の集合） 逆像（出力側の集合に対応する入力側の集合） 単射（異なる入力が異なる出力に写る写像） 全射（終域の各要素が像に現れる写像） 全単射（単射と全射を同時に満たす写像） 合成（写像を順に適用して得る新しい写像） 恒等写像（各要素を自分自身に写す写像） 逆写像（写像を打ち消す対応） 線形写像（加法とスカラー倍を保つ写像） ベクトル空間（線形構造をもつ集合） 行列（線形写像を表す数表現） 連続写像（開集合の逆像が開になる写像） 位相空間（開集合の概念を備えた空間） 滑らかな写像（十分高い微分可能性をもつ写像） 同型写像（構造を保つ可逆写像） 圏論（対象と射の関係を抽象化する理論）