1 単射の定義
単射は、集合から集合への写像において、異なる元が互いに異なる像へ移る性質をもつ写像である。言い換えると、出発点で区別できる二つの要素が、到達先で同じ値に合流しないことを意味する。この考え方は、関数の対応を精密に扱う際の基本的な枠組みとなる。
1.1 写像としての単射
写像は、ある集合の各要素に、別の集合のただ一つの要素を対応させる規則である。単射は、その対応が「重ならない」ことを特徴とする。したがって、元の集合の構造を保ったまま別の集合へ移すときに、要素の区別が失われない。
1.2 異なる要素が異なる像をもつ条件
単射であるためには、入力の違いが出力の違いとして保たれなければならない。もし二つの異なる要素が同じ像に写るなら、その写像は単射ではない。逆に、このような衝突が一度も起こらないなら、単射と判定できる。
1.3 記号による定式化
写像 \(f\) が単射であるとは、任意の要素 \(a,b\) について、\(f(a)=f(b)\) ならば \(a=b\) が成り立つことをいう。別の表現では、\(a\neq b\) ならば \(f(a)\neq f(b)\) である。これらは同じ内容を異なる向きから述べた条件である。
2 単射の判定
単射かどうかは、定義を直接確かめる方法と、同値な条件を利用する方法で判断できる。具体的な関数では、式変形や図示によって見通しよく確認できることが多い。
2.1 定義に基づく判定
最も基本的な方法は、異なる二つの入力を取り、それらの像が一致しないことを示すことである。一般の証明では、\(f(a)=f(b)\) を仮定して \(a=b\) を導く形がよく用いられる。このやり方は、定義に忠実であるため汎用性が高い。
2.2 反対向きの条件からの判定
単射の確認には、対偶的な見方が有効である。すなわち、元が異なれば像も異なることを示せば、単射であることが分かる。この方法は、関数の振る舞いを直感的に捉えやすい。
2.2.1 同じ像をもつなら元が等しいことの確認
二つの値が同じ出力に写ると仮定し、その結果として入力が一致するかを調べる。これが常に成り立てば、対応の重複は起こらない。証明では、等式の整理や既知の性質を利用して元の一致を導く。
2.3 グラフや表による確認
有限集合の場合は、対応表を見れば同じ値が重複していないかを調べられる。関数のグラフでは、水平線との交点の個数から単射性を判断する手法がある。こうした視覚的確認は、初学者にとって理解の助けになる。
3 単射の例
単射の理解には、典型例と非例を並べて考えるのが有効である。性質が保たれる場合と失われる場合を比較すると、定義の意味が明確になる。
3.1 基本的な単射の例
単射の代表例としては、恒等写像や、ある範囲で単調に増加する関数が挙げられる。これらは、異なる入力が異なる出力になることが見やすい。
3.1.1 恒等写像
恒等写像は、各要素をそれ自身に写す関数である。どの元もそのまま移るため、異なる元が同じ像になることはない。最も基本的な単射の例として扱われる。
3.1.2 増加関数の例
実数全体で定義された狭義単調増加関数は、単射である。入力が大きくなると出力も必ず大きくなるため、値の逆転や重複が起こらない。たとえば一次関数でも、傾きが0でなければこの性質を示す。
3.2 単射でない例
単射でない写像では、少なくとも二つの異なる元が同じ像に到達する。こうした例は、単射の否定を具体的に理解するのに役立つ。
3.2.1 定数写像
定数写像は、すべての入力を同じ値に送る。したがって、どの二つの異なる元を選んでも像は一致し、単射にはならない。これは単射でない最も分かりやすい例である。
3.2.2 異なる元が同じ値に写る例
たとえば、\(x\) と \(-x\) を区別しない関数では、異なる入力が同じ出力に対応することがある。二次関数や絶対値関数は、その代表的な例として知られる。いずれも、値の重なりが単射性を失わせる。
4 単射の性質
単射は、写像の合成や逆向きの対応と深く関わる。さらに、他の基本概念である全射や全単射と比較することで、その位置づけが明確になる。
4.1 合成写像との関係
写像の合成では、前段階の単射性が後続の対応に影響する。一般に、単射の後に単射を合成すると、全体も単射になる。これは、途中で要素の区別が失われないためである。
4.2 逆写像との関係
単射は、逆向きに対応を考える際の重要な前提になる。全体として逆写像が定義できるとは限らないが、単射なら少なくとも像の範囲では一意的な逆対応を考えられる。要素の対応が一対一に保たれていることが、逆操作の基盤になる。
4.3 逆像の一意性
単射では、ある像に対応する元が高々一つである。したがって、与えられた値に対して、それを作る元の候補は一意に定まるか、そもそも存在しないかのどちらかである。この性質は、方程式の解の一意性を考える場面でも重要である。
4.4 全射・全単射との比較
全射は、値域側の各要素が少なくとも一度は現れる写像である。単射は、重複のなさに注目する点で異なる。両者を兼ね備えたものが全単射であり、これは対応が完全に一対一であることを意味する。単射は、そのうち「重ならない」側面を担う。
5 単射の応用
単射は純粋数学だけでなく、対象の大きさや構造を比較する場面で広く使われる。とくに、集合の比較や代数的構造の埋め込み、解析的な関数の扱いに現れる。
5.1 集合の濃度の比較
二つの集合の間に単射があると、少なくとも一方が他方より「小さいか同程度」であるとみなせる。無限集合では、この比較が濃度の議論の基本になる。単射の存在は、要素数の直接比較が難しい場合にも有効である。
5.2 代数学における準同型写像
群、環、ベクトル空間などでは、構造を保つ写像が重要である。単射な準同型写像は、元の構造を崩さずに埋め込む役割を果たす。これにより、ある対象をより大きな構造の中で研究しやすくなる。
5.3 解析学における関数の扱い
解析学では、関数の可逆性や方程式の解の一意性を論じる際に単射が役立つ。たとえば、区間上で単調な関数は単射となり、逆関数を考える基盤を与える。微分可能関数でも、導関数の性質から単射性を調べることがある。