1 全射の定義
全射は、写像が「値域のすべての要素を少なくとも一度は拾う」性質を指す。集合論や関数論では、写像の到達範囲がどれだけ広いかを表す基本概念として扱われる。定義域の各要素がどう対応するかよりも、値域の各点が実際に到達可能かどうかが中心となる。
1.1 写像の基礎
写像とは、ある集合の各要素を別の集合の要素へ対応させる規則である。入力側の集合を定義域、出力先を終域と呼ぶ。実際に現れる値の集まりは像といい、終域の全部とは限らない。
1.2 全射の形式的定義
写像 \(f: A \to B\) が全射であるとは、\(B\) の任意の要素 \(b\) に対して、\(f(a)=b\) となる \(a \in A\) が少なくとも1つ存在することである。言い換えると、終域の各要素が定義域のどこかから必ず到達される。
1.2.1 値域と定義域
定義域は写像の入力が属する集合であり、値域は写像が取りうる出力先の集合である。厳密には、値域という語が終域を指す場合と、実際の像を指す場合があるため、文脈に注意を要する。全射の判定では、終域の全要素が像に含まれるかどうかが問題となる。
1.2.2 対応する元の存在
全射の要点は、各出力値に対して少なくとも1つの原像があることである。原像が複数あってもよく、ただ一つである必要もない。この「存在」が保証されることにより、写像は終域全体を覆う。
1.3 記号と表記
全射であることは、しばしば \(f: A \twoheadrightarrow B\) のように表す。二重の矢印や右向きの矢印に山形を付けた記法が用いられることもある。文章では「\(f\) は \(A\) から \(B\) への全射である」と記述する。
2 全射の性質
全射は像、単射、全単射と相互に関係しながら写像の特徴を整理する役割を持つ。特に、写像がどれだけ情報を「落とさず」に届けるかを示す指標として重要である。代数構造や解析学でも、像の把握に直結する。
2.1 像との関係
写像の像が終域と一致するとき、その写像は全射である。つまり、像が終域の真部分集合であれば全射ではない。全射性は、写像の出力が終域を完全に満たしているかを測る条件である。
2.2 単射との違い
単射は、異なる入力が異なる出力に対応する性質であり、重なりがないことに注目する。一方、全射は、終域の各要素が少なくとも1回は現れることに注目する。単射では「重複しない」こと、全射では「取り残しがない」ことが本質となる。
2.3 全単射との関係
全単射は、単射と全射の両方を満たす写像である。これは定義域と終域の要素が1対1に対応する最も整った形であり、集合の対応関係を完全に表す。全射は、その一部の条件を担う概念として位置づけられる。
2.3.1 逆写像の存在
全単射であれば逆写像が定義できる。逆写像は、出力から元の入力を一意に復元する写像である。全射だけでは一意性が足りないため、逆写像がそのまま存在するとは限らない。
2.3.2 可逆性
可逆性とは、写像を逆向きにたどれることを意味する。全射は可逆性の必要条件ではあるが十分条件ではない。単射性が加わって初めて、写像は完全に反転可能になる。
3 全射の例
全射の理解には、具体例を通して「終域全体を覆う」感覚をつかむのが有効である。有限の場合は数え上げで確認しやすく、無限集合では構造の見方が重要になる。反対に、全射でない例を比べると条件の輪郭が明確になる。
3.1 有限集合の例
集合 \(A=\{1,2,3\}\) から \(B=\{a,b\}\) への写像で、1と2をaに、3をbに送ると全射になる。各要素が少なくとも一度は現れるためである。有限集合では、終域の各点に対応する元があるかを列挙して確認できる。
3.2 無限集合の例
整数全体から偶数全体への写像 \(f(n)=2n\) は、偶数集合への写像としては全射である。任意の偶数 \(2k\) に対し、\(n=k\) を取ればよいからである。無限集合では、個数の大小よりも対応の作り方が重要になる。
3.3 全射でない例
実数全体から実数全体への写像 \(f(x)=x^2\) は、通常の終域を実数全体とすると全射ではない。負の数は値として現れないためである。終域の一部が像に含まれないとき、その写像は全射ではない。
4 全射の判定と証明
全射かどうかは、定義に基づいて確認する。多くの場合、任意の終域の要素に対して原像を構成できるかが鍵となる。証明の形式は、対象の写像や集合の性質に応じて選ばれる。
4.1 直接証明
直接証明では、終域の任意の要素 \(b\) を取り、それに対して \(f(a)=b\) を満たす \(a\) を具体的に示す。構成ができれば全射であると結論できる。最も基本的で、定義に忠実な方法である。
4.2 背理法による証明
背理法では、全射でないと仮定し、終域に像に入らない要素があると置く。そこから矛盾を導けば、全射性が示される。とくに写像の式が複雑な場合や、直接的な原像構成が難しい場合に有効である。
4.3 具体例での判定
実際の問題では、写像が表や式で与えられることが多い。その際は、与えられた情報から終域の各要素が実現されるかを確認する。表示形式ごとに適した見方がある。
4.3.1 対応表を用いる場合
対応表では、終域の各要素が少なくとも1回現れているかを見ればよい。出力欄に空白の要素があれば、全射ではない。有限の写像では最も分かりやすい判定方法である。
4.3.2 関数式を用いる場合
関数式では、方程式 \(f(x)=y\) を \(x\) について解けるかを調べる。任意の \(y\) に対して解が存在すれば全射である。式変形により原像を明示することが、判定の中心となる。
5 全射の応用
全射は抽象的な概念であるが、数学の多くの分野で実用的な意味を持つ。構造を写し取るとき、余すところなく表現できるかを判断する基準になる。存在証明や分類にも頻繁に現れる。
5.1 集合論
集合論では、全射は集合間の大きさや対応関係を比較する際に用いられる。ある集合から別の集合への全射があることは、後者が前者の像で覆われることを意味する。濃度の議論でも基本的な道具となる。
5.2 代数学
代数学では、準同型写像が全射であるかどうかが、商構造や生成元の理解に関わる。群、環、加群などで全射は、構造全体がどれだけ写し取られているかを示す。像と核の関係を考える際にも重要である。
5.3 線形代数学
線形代数学では、線形写像が全射であることは、値域空間全体を張ることに対応する。行列で表される写像では、列空間が終域と一致するかが判断基準になる。連立一次方程式の解の存在とも深く結びつく。
5.4 圏論
圏論では、全射は集合の圏における射の性質として現れるほか、エピ射との比較で理解されることがある。一般の圏では、集合論の全射と完全には一致しない場合がある。したがって、文脈ごとの定義の違いを確認する必要がある。
5.5 解析学
解析学では、関数の値域や方程式の可解性を考える場面で全射が役立つ。連続関数や微分可能関数の性質を調べる際、ある区間全体を埋めるかどうかが問題になる。存在定理や逆関数定理の理解にもつながる。