1 二次形式の定義
二次形式は、複数の変数について2次の項だけを集めた多項式であり、線形代数では行列を用いて簡潔に記述できる。一般には、ベクトルの各成分の2乗と成分間の積が組み合わさって現れ、係数の配置によって全体の性質が決まる。
1.1 一般形と記法
二次形式は、変数の並び方や基底の選び方に応じてさまざまな書き方をとるが、本質は同じである。記法を整えることで、計算や分類が容易になる。
1.1.1 成分表示
成分表示では、各変数の2乗項と、異なる変数どうしの積の項を明示する。たとえば、二変数ならば、x^2、xy、y^2 のような項から構成される。
1.1.2 行列表現
ベクトル x に対して、二次形式は x^T A x の形で表される。ここで A は係数を集めた行列であり、この表現により対称性や変換の影響を扱いやすくなる。
1.1.3 対称性と係数行列
二次形式では、成分間の積に対応する係数が左右対称に現れるため、通常は対称行列を用いる。非対称成分は、実質的には対称部分に吸収される。
1.2 退化と非退化
二次形式が本質的に情報を失っているかどうかは、退化性で判断される。退化している場合、ある方向について式が感度をもたず、分類や変換で特別な扱いが必要になる。
1.2.1 ランク
ランクは、二次形式が有効に持つ独立な方向の数を表す。ランクが高いほど、式はより多くの変数に依存し、構造も豊かになる。
1.2.2 行列式と非退化性
対応する係数行列の行列式が0でないとき、二次形式は非退化である。これは、行列が可逆であり、基底変換に対して安定した性質を持つことを意味する。
1.2.3 カーネル（零空間）
カーネルは、二次形式が0としてしか反応しない方向の集まりである。ここに非自明なベクトルがあると、式はその方向を区別できず、退化が生じる。
1.3 言葉の整理（同値・等価）
二次形式では、見かけの違いと本質的な違いを分けて考える必要がある。同値や等価という語は、どの変換を許すかによって意味が変わる。
1.3.1 ベクトル空間上の定義
ベクトル空間上では、二次形式は各ベクトルに数を割り当てる写像として定義される。このとき、スカラー倍に関する性質と、2次の振る舞いが中心になる。
1.3.2 基底変換による見え方
基底を取り替えると、同じ二次形式でも式の形は変わる。ただし、基底変換で保たれる性質は本質的であり、分類の基準になる。
2 二次形式の幾何学的意味
二次形式は代数的対象であるだけでなく、空間内の形状や距離の記述にも現れる。曲線や曲面の方程式として現れると、その図形の種類や向き、広がり方が読み取れる。
2.1 二次曲面としての解釈
二次形式を含む方程式は、幾何学では二次曲面や二次曲線を与える。係数の違いにより、閉じた形、開いた形、ねじれた配置などが生じる。
2.1.1 ユークリッド空間での例
ユークリッド空間では、二次形式は円、楕円、双曲線、放物線などの標準的な曲線や曲面に対応する。座標軸との関係が明確で、図形の特徴を比較しやすい。
2.1.1.1 放物線・楕円・双曲線（代表例）
放物線は1方向に開く形をもち、楕円は閉じた輪郭をつくる。双曲線は2つの枝に分かれることが多く、符号の違いが図形の分岐に反映される。
2.2 分解と幾何的特徴
二次形式は、方向ごとの伸び縮みを分離して見ることで理解しやすくなる。単位ベクトルでの評価やレベル集合の観察は、その代表的な方法である。
2.2.1 単位ベクトルと評価
単位ベクトルを代入すると、各方向に沿った二次形式の強さを比較できる。これにより、ある方向が強く、別の方向が弱いといった異方性が把握できる。
2.2.2 レベル集合（等高線）
二次形式の値が一定になる点の集合は、等高線や等値面を形成する。これらは図形の輪郭を与え、中心や軸、開き方を可視化する手がかりになる。
2.3 直交性と等角の関係
二次形式は、内積と結びつくことで直交や角度の概念と近接する。とくに、対称な構造を持つ場合、座標系の回転に対して性質が保たれやすい。
2.3.1 内積との連携
内積は長さや角度を定める基本概念であり、二次形式はしばしばその一般化として扱われる。内積から導かれる形式では、正定性が自然に現れる。
2.3.2 直交変換の役割
直交変換は長さと角度を保ちながら座標を変える操作である。二次形式では、この変換によって項の混ざり方が整理され、形の違いを見通しやすくする。
3 標準形と分類
二次形式の理解では、複雑な式を単純な標準形へ変えることが重要である。分類は、変換で不変な量を手がかりに進められる。
3.1 線形変換による簡約
適切な線形変換を施すと、交差項を減らし、式を扱いやすい形にできる。これは、構造を本質的な成分へ分解する操作とみなせる。
3.1.1 完全平方への帰着
二変数の式などでは、完全平方を作ることで、交差項を消して整理できる。これにより、各変数がどのように寄与するかが明瞭になる。
3.1.2 基底の取り替え
基底を変更すると、同じ二次形式でも表現が変わる。適切な基底を選ぶことで、対角的な形や簡潔な形へ近づけられる。
3.2 正負の指標（慣性）
二次形式には、正の方向と負の方向があり、その数の組が重要な分類情報になる。これを慣性や符号のパターンとして捉える。
3.2.1 正定・負定・不定
すべての非零ベクトルで正になるものは正定、常に負なら負定、正にも負にもなりうるものは不定である。これらは、最適化や幾何学の解釈に直結する。
3.2.2 慣性指数
慣性指数は、正の成分数と負の成分数を記録する。零の成分も含めて見ることで、形式の大まかな姿を要約できる。
3.2.3 シルベスターの定理の考え方
シルベスターの慣性法則は、対称行列の合同変換で正負の個数が変わらないことを述べる。したがって、符号の組は分類の不変量になる。
3.3 行列の正則変換と同値性
行列に対する変換の種類を区別すると、どの性質が保存されるかが明確になる。二次形式の分類では、この区別が特に重要である。
3.3.1 合同と等価の違い
合同は、同じ変換を左右に施す形で二次形式を比べる方法である。一方、等価はより広い意味で使われることがあり、文脈に応じて注意が必要である。
3.3.2 既約な成分の抽出
二次形式が複数の独立な部分に分かれるとき、それぞれを切り分けて考えると理解しやすい。これにより、退化部分と本質部分を区別できる。
4 表現論・応用の典型
二次形式は抽象理論にとどまらず、数の表し方や最適化、近似計算にも現れる。応用では、式の値が取れるかどうか、どの条件で解が存在するかが重要になる。
4.1 解の存在と表示問題
ある数やベクトルが二次形式で表せるかどうかは、古典的な問題である。表示可能性は、方程式の可解性と深く関わる。
4.1.1 表示可能性の概観
表示可能性とは、所与の値を二次形式の出力として実現できるかという問いである。実数、整数、有理数など、対象となる数体系により難しさが変わる。
4.1.2 連立条件と整合性
複数の条件が同時に満たされるかどうかは、式の整合性として調べられる。局所的な条件と全体的な条件が一致するとは限らない。
4.2 数論への接続（形式の値の考察）
数論では、二次形式が整数の構造をどのように表すかが問題になる。値の分布や合同条件は、判定や分類の基礎となる。
4.2.1 合同条件による分類
合同式を用いると、ある値が取りうるかを簡便に調べられる。たとえば、偶奇や剰余類の制約が表示可能性を左右する。
4.2.2 素数冪での挙動
素数冪に関する解析では、局所的な性質が明らかになる。各素数ごとの振る舞いを追うことで、全体のパターンが見えてくる。
4.3 最適化・解析への応用
二次形式は、最小値や最大値を調べる際の基本的な道具になる。また、関数の局所的な形を近似する場面でも重要である。
4.3.1 二次最適化との関係
二次最適化では、目的関数が二次形式を含むため、解の存在や安定性を判定しやすい。制約条件と組み合わせることで、実用上のモデルに応用される。
4.3.2 曲率や二次近似の観点
微分可能な関数を局所的に近似すると、二次項が曲率の情報を担う。これにより、増減の傾向や極値の性質が読み取れる。
4.4 計算法（実務的整理）
理論だけでなく、実際に二次形式を扱うには計算の手順が必要になる。整理された方法を使うと、分類や判定を効率よく進められる。
4.4.1 対角化の手順の概念
対角化は、交差項を消して対角成分だけを残す操作である。実際には、基底変換を段階的に行い、式を順に簡単化していく。
4.4.2 分解アルゴリズムの概要
分解アルゴリズムは、二次形式を標準的な部品へ分けるための計算手続きである。実装上は、対称行列の性質を利用して安定に処理することが多い。
</INTERNAL_LINK_CANDIDATES> 対称行列（成分が主対角線について対称な行列） 基底変換（同じ空間を別の基底で表す変換） ランク（独立な方向の数を表す量） 行列式（行列の可逆性を判定する量） カーネル（線形写像で0に写るベクトル全体） 内積（長さや角度を定める演算） 直交変換（長さと角度を保つ変換） 二次曲線（2次方程式で表される平面曲線） 二次曲面（2次方程式で表される立体曲面） レベル集合（関数値が一定となる点の集合） 正定（非零ベクトルで常に正になる性質） 負定（非零ベクトルで常に負になる性質） 不定（正にも負にもなりうる性質） 慣性指数（正負の成分数を表す指標） シルベスターの定理（符号の個数が不変である定理） 合同（同じ変換を左右に施す行列の関係） 対角化（行列を対角成分中心の形にすること） 二次最適化（二次関数を目的とする最適化） 曲率（曲線や曲面の曲がり具合） 合同条件（剰余を用いた判定条件）