直交変換

1.1 直交变换的定义

直交变换是定义在欧几里得空间上的线性变换，满足对于任意向量 \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n \)，变换 \( T \) 保持内积不变，即 \( \langle T(\mathbf{x}), T(\mathbf{y}) \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle \)。这一性质确保了向量之间的夹角和长度在变换前后保持不变。

1.2 等价条件

1.2.1 保持内积

内积保持是直交变换的核心条件。若 \( T \) 为直交变换，则对任意 \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \)，有 \( T(\mathbf{x}) \cdot T(\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \)。

1.2.2 保持范数与距离

1.2.3 正交矩阵表示

在标准正交基下，直交变换的矩阵表示 \( Q \) 满足 \( Q^T Q = I \)，即 \( Q \) 是正交矩阵。这一条件等价于 \( Q \) 的列（或行）向量构成标准正交基。

1.3 正交矩阵的性质

1.3.1 逆与转置相等

对于正交矩阵 \( Q \)，有 \( Q^{-1} = Q^T \)。这一性质简化了计算，并表明正交矩阵的逆也是正交矩阵。

1.3.2 行列式为±1

正交矩阵的行列式只能取 \( +1 \) 或 \( -1 \)。行列式为 \( +1 \) 对应于保持定向的变换（如旋转），行列式为 \( -1 \) 对应于反向定向的变换（如反射）。

2.1 旋转

2.1.1 平面旋转

在二维平面中，旋转角度 \( \theta \) 的直交变换矩阵为： \[ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \] 其行列式为 \( +1 \)，保持平面内所有向量的长度，且方向按逆时针转动。

2.1.2 空间旋转

在三维空间中，旋转可绕任意过原点的轴进行。绕坐标轴旋转的矩阵（如绕 \( z \) 轴旋转）是直交矩阵。一般旋转可通过三个欧拉角表示，由三个基本旋转矩阵复合而成。

2.2 反射

2.2.1 关于直线的反射

在二维平面中，关于过原点直线的反射变换将向量映射为关于该直线的镜像。其矩阵的行列式为 \( -1 \)，例如关于 \( x \) 轴的反射矩阵为 \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)。

2.2.2 关于超平面的反射

在 \( n \) 维空间中，关于一个 \( (n-1) \) 维超平面的反射由单位法向量 \( \mathbf{u} \) 决定：\( T(\mathbf{x}) = \mathbf{x} - 2(\mathbf{x} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u} \)。该变换也称为豪斯霍尔德反射，其矩阵形式为 \( Q = I - 2\mathbf{u}\mathbf{u}^T \)。

2.3 旋转反射（瑕旋转）

旋转反射是旋转与反射的复合，通常表现为先旋转再反射（或反之）。在三维空间中，这相当于关于某轴的旋转加上关于该轴垂直平面的反射。其行列式为 \( -1 \)，且特征值包含一个 \( -1 \) 和一对共轭复数。

3.1 第一类直交变换（行列式为+1）

第一类直交变换也称为“旋转”或“保持定向的等距变换”。它们构成特殊直交群 \( \mathrm{SO}(n) \)，在几何上对应刚体转动，不包含反射。

3.2 第二类直交变换（行列式为-1）

第二类直交变换包括所有反射以及反射与旋转的复合（瑕旋转）。这类变换改变空间的定向，在 \( n \) 维空间中，它们构成直交群中行列式为 \( -1 \) 的子集。

3.3 直交群与特殊直交群

所有 \( n \times n \) 正交矩阵构成的群称为直交群，记作 \( \mathrm{O}(n) \)。其指数为2的子群由行列式为 \( +1 \) 的矩阵组成，称为特殊直交群 \( \mathrm{SO}(n) \)。这两个群在几何和拓扑学中具有基础性地位。

4.1 特征值模长为1

4.2 实特征值对应反射轴

实特征值可能为 \( +1 \) 或 \( -1 \)。特征值 \( +1 \) 对应的特征向量在变换下保持不变，构成旋转轴或不变子空间。特征值 \( -1 \) 对应的特征向量被反向，对应于反射方向。

4.3 复特征值对应旋转角

成对出现的复特征值 \( e^{\pm i\theta} \) 表示在由对应特征向量（复共轭对）张成的二维子空间上旋转角度 \( \theta \)。这体现了旋转与复共轭对的关系。

4.4 自伴直交变换与对称性

当正交矩阵同时是对称矩阵（即 \( Q^T = Q \)）时，它是对合变换（满足 \( Q^2 = I \)），此时特征值仅含 \( +1 \) 和 \( -1 \)，对应关于一个子空间的正交反射。

5.1 刚体运动与坐标变换

在机器人和计算机图形学中，直交变换用于描述刚体的旋转与反射。三维旋转矩阵用于物体姿态控制，坐标变换则在不同参考系间转换向量，保持物体形状不变。

5.2 信号处理中的离散余弦变换

离散余弦变换（DCT）的变换矩阵是正交矩阵的一种特殊形式。它广泛应用于图像和音频压缩（如JPEG、MP3），通过将信号转换到频域实现数据压缩，其正交性保证了能量集中与可逆重构。

5.3 数值线性代数中的QR分解

QR分解将一个矩阵分解为正交矩阵 \( Q \) 和上三角矩阵 \( R \)，是求解线性方程组和特征值问题的重要工具。正交矩阵的稳定性使QR分解在数值计算中具有高精度。

5.4 量子力学中的幺正变换特例

在量子力学中，演化算符是幺正变换（保持复内积的线性变换），而直交变换是幺正变换在实数域的特例。例如，自旋系统的旋转算符对应于 \( \mathrm{SO}(3) \) 群的表示，用于描述量子态的旋转变换。