1 基本概念
群構造は、ある集合に一つの演算を与え、その演算が一定の公理を満たすときに得られる代数的構造である。対象の要素同士を組み合わせる仕組みを抽象化し、数の計算だけでなく、図形の移動や変換の合成などにも共通する枠組みを提供する。抽象代数学では最も基本的な概念の一つであり、後続する多くの構造論の出発点となる。
1.1 群の定義
群は、集合と演算、そしてそれらに関する公理から成る。要素を二つずつ組み合わせる操作が、全体として一貫した振る舞いを示すとき、その集合は群をなす。
1.1.1 集合と演算
群を考えるには、まず要素の集まりである集合が必要である。そこに二項演算が定義され、任意の二要素から再び同じ集合の要素が一意に定まる。この性質を閉性という。演算は、加算、乗算、合成など、文脈に応じてさまざまに解釈される。
1.1.2 結合法則
結合法則とは、三つの要素に対して演算の括り方を変えても結果が同じになる性質である。これにより、複数回の演算を行う際に順序の付け方を気にせず計算できる。群の理論では、この性質が構造の安定性を支える。
1.1.3 単位元
単位元は、他の任意の要素と演算してもその要素を変えない特別な元である。群では、この元が一つ存在することが要求される。単位元は、演算の基準点として機能し、逆元の定義にも不可欠である。
1.1.4 逆元
各要素に対し、単位元を生み出す相手となる要素を逆元という。逆元の存在により、演算によって生じた効果を打ち消すことができる。これがあるため、群では方程式の解法や変換の戻し操作が扱いやすくなる。
1.2 群の記法
群の演算は、扱う対象に応じて加法的にも乗法的にも書かれる。記法の違いは形式上のもので、抽象的な性質そのものを変えるわけではない。
1.2.1 加法的記法
加法的記法では、演算を「+」で表し、単位元を「0」、逆元を「-a」のように書く。整数全体の加法など、足し算に近い構造に自然に適合する。線形代数やアーベル群の記述で広く使われる。
1.2.2 乗法的記法
乗法的記法では、演算を並置や「×」「·」で表し、単位元を「1」、逆元を「a^{-1}」と書く。積や合成を思わせる表現で、変換群や行列群ではこちらが一般的である。抽象的な群論では、こちらの記法も標準的である。
1.3 群の基本性質
群の公理からは、いくつかの重要な性質が自動的に導かれる。これらは定義に明示されていなくても、構造の一貫性を保証する。
1.3.1 単位元の一意性
単位元は一つに定まる。もし二つの単位元があるように見えても、それらは互いに等しいことが示せる。したがって、群の中で単位元は唯一の基準点として扱われる。
1.3.2 逆元の一意性
各要素の逆元も一つに定まる。ある要素に対して二つの候補が逆元の条件を満たすなら、それらは一致する。これにより、逆操作は曖昧さなく定義できる。
1.3.3 消去法則
群では、左または右から同じ要素を掛けた場合に、等式の両辺からその要素を消すことができる。これは逆元の存在に基づく。消去法則は、群における方程式の解法を簡潔にし、計算を整理する。
2 群の分類と例
群は、演算の可換性や元の個数によっていくつかに分類される。理論の理解には、抽象的な定義だけでなく、具体例を通して性質の違いを見ることが重要である。
2.1 可換群
可換群は、演算の順序を入れ替えても結果が変わらない群である。加法のような直感的な操作と相性がよく、構造論でも扱いやすい。
2.1.1 定義
任意の二要素 a, b に対して a b = b a が成り立つ群を可換群という。アーベル群とも呼ばれる。演算の順序に依存しないため、内部構造が比較的見通しやすい。
2.1.2 具体例
整数の加法群、実数の加法群、正の実数の乗法群は可換群である。有限巡回群も代表例として重要である。これらは、単純な数の演算から群の基本像を理解するのに役立つ。
2.2 非可換群
非可換群は、演算の順序を交換すると結果が変わりうる群である。対称性の豊かな対象や変換の合成では、この性質がしばしば現れる。
2.2.1 定義
ある二要素 a, b が存在して a b ≠ b a となる群を非可換群という。すべての組で可換でない点が特徴であり、構造は可換群より複雑になる。
2.2.2 具体例
三次以上の対称群や、正方行列全体のうち可逆なものが作る群は非可換の代表例である。幾何学的変換の合成でも、操作の順番が結果を左右する場合がある。
2.3 有限群と無限群
群は、その元の数が有限か無限かによっても分類できる。この区別は、計算の規模や構造の性質に影響する。
2.3.1 有限群の例
対称群 S_n は有限群であり、特に n が小さい場合は具体的に全体を列挙できる。巡回群も、次数が有限であれば有限群になる。有限群は、組合せ的な手法と相性がよい。
2.3.2 無限群の例
整数の加法群は無限群である。さらに、実数全体の加法群や、可逆行列の群の多くも無限個の元をもつ。無限群では、局所的な性質と大域的な構造の両方が重要になる。
2.4 代表的な例
群論の学習では、標準的な例を通して抽象概念を具体化することが有効である。以下の例は、異なる種類の群を典型的に示している。
2.4.1 整数の加法群
整数全体は加法に関して群をなす。単位元は 0、逆元は各整数の符号を反転したものになる。最も基本的な無限可換群として、しばしば出発点に置かれる。
2.4.2 対称群
対称群は、有限集合の要素の並べ替え全体からなる群である。合成を演算とし、置換の順序が結果に影響するため、多くの場合は非可換となる。組合せ論や代数方程式の研究で中心的役割を果たす。
2.4.3 行列群
可逆行列の集合は、行列の掛け算に関して群を構成する。行列群は線形変換の合成を表し、幾何学、物理、表現論などと深く結びつく。具体計算と抽象理論の接点として重要である。
3 群の部分構造
群の内部には、元の群と同じ性質を保つ部分集合や、剰余類によって整理される構造がある。これらは群全体を理解するための基礎的な道具である。
3.1 部分群
部分群は、群の一部でありながら、それ自体が群になる部分集合である。大きな群の中にある安定した小構造として扱われる。
3.1.1 部分群の定義
群 G の部分集合 H が、G と同じ演算のもとで再び群になるとき、H を部分群という。演算について閉じ、単位元を含み、逆元を保つことが本質である。群の性質をそのまま引き継ぐ点が重要である。
3.1.2 部分群判定法
部分群かどうかは、いくつかの簡便な判定法で確認できる。典型的には、空でない部分集合が演算と逆元に関して閉じているかを見る。あるいは、二要素の差に相当する操作で閉じているかを調べる方法もある。
3.2 左剰余類と右剰余類
剰余類は、部分群を基準に群全体を同値的に分割する考え方である。非可換群では、左と右で別の概念として区別される。
3.2.1 左剰余類
部分群 H の元 h に対する左剰余類は、ある元 g に H の各要素を左から掛けて得られる集合 gH である。群全体は左剰余類の集まりとして分解できる。これは、部分群の位置を測る手段になる。
3.2.2 右剰余類
右剰余類は、H の要素を右から掛けて得られる集合 Hg である。可換群では左剰余類と一致するが、非可換群では一致しないことが多い。左右の違いは、群の非対称性を反映している。
3.3 正規部分群
正規部分群は、剰余類の構成を安定に行うために必要な特別な部分群である。商群の定義に直結するため、群論では特に重要な位置を占める。
3.3.1 定義
部分群 N が群 G の正規部分群であるとは、任意の g に対し gNg^{-1} = N が成り立つことをいう。これは共役によって形が変わらないことを意味する。左右の剰余類が一致する場合とも同値である。
3.3.2 判定条件
正規性は、すべての共役元が部分群にとどまるかどうかで判定できる。可換群ではすべての部分群が自動的に正規になる。非可換群では、より慎重な確認が必要である。
3.3.3 例
対称群における交代群は代表的な正規部分群である。整数群の任意の n 倍部分群も正規である。これらの例は、商群の形成につながる典型例として頻出する。
4 群の準同型と構造
群準同型は、群どうしの構造を保つ写像である。群同士の比較や分類には、準同型とその核・像の概念が欠かせない。
4.1 群準同型
準同型は、演算を壊さずに群から別の群へ写す関数である。構造の対応関係を表し、情報の保存と圧縮を同時に扱える。
4.1.1 定義
写像 f が f(ab)=f(a)f(b) を満たすとき、f は群準同型である。演算の結果が写像の前後で整合するため、群の性質が移し替えられる。数学的対象の間の自然な対応を記述する基本手段である。
4.1.2 像と核
像は、写像 f によって実際に到達する元全体である。核は、単位元へ写される元の集合であり、写像がどれだけ情報を失うかを示す。核が小さいほど、写像は元の構造をよく反映する。
4.2 同型と同型定理
同型は、二つの群が構造として同じであることを表す。さらに同型定理は、部分群、核、商群の関係を体系化する重要な結果群である。
4.2.1 群同型
群同型は、逆写像をもつ群準同型である。二つの群の要素数や演算構造が対応し、事実上同じ群とみなせる。抽象的な分類では、同型類が本質的な単位となる。
4.2.2 第一同型定理
第一同型定理は、群準同型の像が、定義域を核で割った商群と同型になることを述べる。核によって潰れた情報を除くと、像が自然に現れる。準同型を理解する上で最も基本的な定理の一つである。
4.2.3 第二同型定理
第二同型定理は、部分群と正規部分群の交わりや積を通じて、商群の関係を整理する。複数の部分構造のあいだの対応を明確にし、群の内部構造を比較しやすくする。
4.2.4 第三同型定理
第三同型定理は、ある正規部分群をさらに含む正規部分群の間で、段階的な商群が整合することを示す。商を二段階で取る操作が、一つの大きな商に対応することを保証する。
4.3 商群
商群は、正規部分群で群を割ったときに得られる新しい群である。元を剰余類としてまとめることで、元の群の構造を圧縮して捉えられる。
4.3.1 定義
正規部分群 N をもつ群 G に対し、剰余類全体 G/N を商群という。演算は剰余類同士の積として定められる。正規性があるため、この演算はよく定義される。
4.3.2 商群の構成
商群では、G の元を N の左剰余類にまとめ、各剰余類を一つの要素とみなす。これにより、群の情報の一部を保持しつつ、構造を簡略化できる。計算上も理論上も、基本的な構成法である。
4.3.3 応用
商群は、群の分類や同型の理解に用いられる。具体的な群をより単純な因子に分解する際にも役立つ。抽象的な問題を小さな単位へ分けるための標準的な道具である。
5 群の発展的話題
群論は、生成、作用、直積などの概念を通じてさらに広がる。これらの発展的話題は、群がさまざまな数学領域とどのようにつながるかを示している。
5.1 生成元と関係式
群は、少数の元から生成され、その間の関係を記述することで理解できる。これは、群を記述的に扱う強力な方法である。
5.1.1 群の生成
ある部分集合から、演算と逆元を繰り返して群全体が得られるとき、その集合は生成元と呼ばれる。生成元の集合が小さいほど、群の構造は凝縮して表現される。巡回群は一つの生成元で全体が決まる典型例である。
5.1.2 表示
群の表示とは、生成元とそれらの間の関係式を用いて群を記述する方法である。有限のデータで無限の構造を表せる場合もある。代数的な構成や計算機的な扱いに適している。
5.2 群作用
群作用は、群の元が集合の要素に対して対称性や変換として働く仕組みである。群論を外部の対象に結びつける中心的概念である。
5.2.1 定義
群 G が集合 X に作用するとは、G の各元が X の自己写像として整合的に振る舞うことをいう。単位元は恒等変換として作用し、積は合成に対応する。これにより、群の抽象性が具体的な集合操作として現れる。
5.2.2 軌道と安定化群
軌道は、ある点に群の元を作用させて到達できる点全体である。安定化群は、その点を動かさない群の元の集合である。両者は、作用の局所的な対称性と全体的な広がりを理解する鍵になる。
5.2.3 バーンサイドの補題
バーンサイドの補題は、有限群の作用による軌道数を数える際の公式である。固定点の数を平均することで、直接の列挙を避けられる。組合せ論や置換の数え上げで有用である。
5.3 群の直積
直積は、複数の群を組み合わせて新しい群を作る標準的な方法である。成分ごとの演算により、複雑な群を系統的に構成できる。
5.3.1 直積の定義
群 G と H の直積 G×H は、要素の組 (g,h) 全体からなり、各成分ごとに演算を行う。単位元も逆元も成分ごとに定められる。二つの構造を並列に扱うための基本的な構成である。
5.3.2 性質
直積では、各成分の性質が全体に反映される。可換性や有限性などは、元の群の特徴から判断できる。分解可能な群の解析や、多変数的な構造の整理に役立つ。
5.4 群の応用
群は純粋数学にとどまらず、対称性の記述を必要とする多くの分野で用いられる。抽象的な定式化が、具体的現象の統一的理解を助ける。
5.4.1 幾何学
幾何学では、図形の回転、反転、平行移動などが群として表される。図形が変わっても本質的な形が保たれる関係を記述するのに適している。対称性の分類にも広く使われる。
5.4.2 数論
数論では、合同式や剰余類の構造に群論が現れる。有限体や可逆元の集合も群を形成し、整数論の諸問題に結びつく。代数的な視点から数の性質を調べる基盤となる。
5.4.3 物理学
物理学では、保存則や対称性の記述に群が用いられる。粒子や場の理論、結晶や回転の扱いでも重要である。理論の対称構造を明確にすることで、法則の一般性を理解しやすくする。