1 逆元の基本概念
1.1 単位元と逆元の定義
1.1.1 加法の単位元と逆元
加法が定義された代数系（たとえば整数やベクトル空間）では、単位元は「加えても値が変わらない元」であり、通常 0 と書かれる。任意の元 \(a\) に対して、和が単位元になる元 \(x\) が存在するとき、\(x\) を \(a\) の加法に関する逆元と呼ぶ。すなわち \[ a+x=0 \] を満たす \(x\) が逆元である。逆元は加法のもとで「打ち消し」として働き、以後の議論ではこの性質が基準となる。
1.1.2 乗法の単位元と逆元
乗法が定義された代数系では、単位元は「掛けても変わらない元」で、通常 1 と書く。任意の元 \(a\) に対し、積が単位元になる元 \(y\) があるとき、\(y\) を \(a\) の乗法に関する逆元と呼ぶ。すなわち \[ ay=1 \] または文脈によっては \(ya=1\) も満たす必要がある（非可換系では後者が別物になりうる）。逆元が存在する元はしばしば「可逆」とも呼ばれるが、これは後の章で整理される。
1.1.3 一般の演算における逆元
加法でも乗法でも同型の考え方が使える。一般に、二項演算 \( \ast \) と単位元 \(e\) があるとし、\(a \ast x=e\) を満たす \(x\) が逆元の役割を担う。演算の種類（加法・乗法など）や対象（可換・非可換、結合的かどうか）によって、逆元の条件や扱いは変化する。とはいえ核心は「単位元を作るための作用」の存在である。
1.2 逆元の存在条件
1.2.1 体・整域における状況
体では 0 以外の任意の元が乗法逆元をもつ。整域 (integral domain) では零因子がないため、多くの状況で逆元の扱いが制御される。ただし整域全体で「すべての非零元が逆元をもつ」とは限らず、実際には体であるかどうかが決定的である。体では割り算が常に可能なため、逆元の概念は「分数による表現」として自然に現れる。
1.2.2 環・半群などでの差
環では加法は群になるが、乗法は必ずしも群にならない。したがって「単位元があっても、ある元が逆元をもつとは限らない」。さらに、半群のように単位元がない場合には「単位元に戻す」という定義自体が成り立たないことがある。結果として、逆元の議論は対象がもつ構造（単位元の有無、零因子の有無、可逆性の範囲）に依存する。
1.2.3 非可換の場合の注意
非可換環では、\(ax=e\) を満たす \(x\) と、\(ya=e\) を満たす \(y\) が一致するとは限らない。加法については通常可換性が問題になりにくい一方、乗法では順序が意味をもつ。そのため「左逆元」「右逆元」といった概念に分かれて議論される。逆元の存在や一意性は、可換性や結合性などの条件と結びつく。
1.3 逆元の一意性
1.3.1 左逆元と右逆元
非可換な状況では、左逆元は \(xa=e\) を満たす元、右逆元は \(ax=e\) を満たす元として定義される。これらが同時に存在するとき、左右が一致するかどうかは系の性質に左右される。一般に「どちらか一方だけが存在する」ことも起こりうるため、逆元という語は文脈に注意して理解する必要がある。
1.3.2 一意性の証明の考え方
可換または適切な条件の下では逆元は一意になる。一意性の典型的な証明は、逆元候補をそれぞれ \(x\) と \(x'\) と置き、単位元に結びつく等式を使って差し込むことで示す。たとえば（可換性や必要な可換的操作がある場合）\(ax=1\) かつ \(ax'=1\) が成り立つとき、結合律に基づいて \(x=1\cdot x=(ax)x'=x'\) のように導ける。重要なのは、単位元と逆元を結びつける等式と、演算の性質（結合性など）を正しく使う点である。
2 加法における逆元
2.1 整数・有理数・実数の加法
2.1.1 正負の関係としての逆元
整数や有理数や実数の加法において、元 \(a\) の逆元は通常 \(-a\) と表される。定義に従えば、\(a+(-a)=0\) が成り立つ。直観的には、数直線上で原点を境に反対側に位置する点が逆元に対応する。よって「加法の逆元」は、符号反転として統一的に理解できる。
2.1.2 逆元の計算例
たとえば \(a=7\) の逆元は \(-7\) であり、\(7+(-7)=0\) となる。有理数 \(\frac{3}{5}\) では逆元は \(-\frac{3}{5}\)。さらに実数でも同様で、負の数の逆元は正の数に戻る。計算上は、和が 0 になることを確認するだけでよいので手続きは単純である。
2.2 ベクトル・行列の加法における逆元
2.2.1 成分ごとの定義
ベクトルの加法では、逆元は成分ごとに定義される。具体的には \(v=(v_1,\dots,v_n)\) の加法逆元を \(-v\) とすると、\(-v=(-v_1,\dots,-v_n)\) であり、各成分について和が 0 になるため \[ v+(-v)=(0,\dots,0) \] が成り立つ。行列表現が可能な空間ではこの定義が自然に適用される。
2.2.2 行列の符号反転
行列の加法でも同様に、逆元は各成分を符号反転した行列になる。たとえば行列 \(A=(a_{ij})\) に対し、逆元は \(-A=(-a_{ij})\)。加法の単位元は零行列なので \(A+(-A)=0\) が成り立つ。なお行列の乗法に関する逆元（行列の可逆性）は別問題として扱われ、加法の逆元とは混同しない。
3 乗法における逆元
3.1 体における逆元
3.1.1 既約性と分数としての表現
体では 0 以外の元が必ず逆元をもつ。実数や有理数では、元 \(a\neq 0\) の逆元は \(\frac{1}{a}\) と表される。有理数では \(\frac{p}{q}\) に対して逆元は \(\frac{q}{p}\) だが、数としての表現が既約分数であるかは状況により整理される。逆元の計算は分数の反転に帰着し、整合性は体の公理（特に演算の分配と単位元の存在）から保証される。
3.1.2 逆元の基本操作
逆元の基本操作として、積の逆元は順序に注意しつつ処理できる（可換体では単純になる）。可換な体では \((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\) が成り立つ。さらに \((a^{-1})^{-1}=a\) といった関係も、単位元に戻す定義から直接導かれる。こうした恒等式は合同式や方程式の整理にも用いられ、計算を簡潔にする役割を担う。
3.2 環における逆元と可逆元
3.2.1 可逆元の特徴づけ
単位元をもつ環において、ある元 \(a\) が逆元をもつことを可逆と呼ぶ流儀がある。可逆性は「\(ax=1\) を満たす \(x\) がある」だけでなく、非可換の場合には \(xa=1\) との関係も含むため、左・右の区別が論点になる。可逆元は環の構造に深く関わり、可逆である元どうしの積は再び可逆になるなど、自然な閉性が成り立つ。
3.2.2 ゼロ因子と逆元の有無
逆元をもつ元はゼロ因子になりえない。具体的には \(ab=0\) が成り立ち、かつ \(a\) が可逆なら、両辺に \(a\) の逆元を掛けることで \(b=0\) が導かれる。したがって、ゼロ因子が存在する環では、逆元をもたない元が現れる余地が広がる。逆元の有無は、零因子の性質と結びつき、環の違いを見分ける手がかりにもなる。
3.3 非可換な場合の逆元
3.3.1 左逆元と右逆元の違い
非可換環では \(ax=1\) を満たす \(x\) と、\(ya=1\) を満たす \(y\) は一致しない可能性がある。さらに、片側の逆元が存在しても他方が存在するとは限らない。こうした差は、順序が演算結果に影響することに由来する。実務上は、扱う環が可換かどうか、あるいは対象が群（あるいはより強い構造）であるかを確認し、正しい概念（左・右のどちらか）に従って計算を行う必要がある。
4 合同式と逆元
4.1 合同式における乗法逆元
4.1.1 法と余りの世界での定義
合同式は、ある整数 \(n\) を法として、差が \(n\) の倍数であることを同値関係として扱う枠組みである。たとえば \(a\equiv b\pmod n\) は \(n\) が \(a-b\) を割り切ることを意味する。この世界では、乗法逆元は「法 \(n\) のもとで 1 に戻す」元として定義され、具体的には \[ ax\equiv 1\pmod n \] を満たす \(x\) の存在が要点となる。
4.1.2 逆元が存在する条件
法 \(n\) に関する合同式で \(a\) の逆元が存在するのは、概ね \(a\) と \(n\) が互いに素である場合に対応する。より正確には、整数 \(x\) が存在して \(ax\equiv 1\pmod n\) が成り立つことと、\(\gcd(a,n)=1\) が同値になる。この条件により、逆元の探索は最大公約数の性質へ還元される。
4.1.3 例：法が素数の場合
\(n\) が素数 \(p\) の場合、\(a\not\equiv 0\pmod p\) であれば必ず \(\gcd(a,p)=1\) となるため、逆元は常に存在する。直観的には、素数の法では「0 以外の元が割り算できる」状況が整う。したがって合同式の解法で、しばしば「係数で両辺を割る」操作に相当する変形が可能になる。
4.2 ユークリッドの互除法による計算
4.2.1 ベズーの等式と逆元
ユークリッドの互除法は \(\gcd(a,n)\) を計算し、その過程で得られる係数を用いてベズーの等式 \[ ax+ny=1 \] を構成する。ここで \(\gcd(a,n)=1\) ならこの等式はそのまま合同式 \[ ax\equiv 1\pmod n \] を与えるので、右辺の \(x\) が逆元になる。つまり互除法の“係数”部分が逆元計算そのものになる。
4.2.2 手計算手順の流れ
手計算では次の流れを取る。まず \(\gcd(a,n)\) を互除法で求め、余りの列を作る。次に、その余りを遡ってベズーの等式の形に整理する。最後に \(ax+ny=1\) から \(x\) を取り出し、法 \(n\) のもとでの逆元として用いる。実際の作業では余りの連鎖をどう戻すかが要であり、途中の整理を丁寧に行うほど結果が安定する。
4.3 応用：連立合同式・割り算の代替
4.3.1 逆元を用いた式変形
連立合同式や一つの合同式の解では、係数を移項したあと、逆元で両辺を“割る代わり”にすることがある。たとえば \(ax\equiv b\pmod n\) で \(a\) が逆元 \(a^{-1}\) をもつなら、両辺に \(a^{-1}\) を掛けて \[ x\equiv a^{-1}b\pmod n \] と変形できる。ここで「割り算」という言葉は合同の枠組みに合わせて、逆元による積として実現される。
4.3.2 合同式での解法の実例
実例として、法 \(n\) に対し \(3x\equiv 4\pmod n\) を考える。もし \(\gcd(3,n)=1\) なら逆元 \(3^{-1}\) が存在し、\(x\equiv 3^{-1}\cdot 4\pmod n\) が解になる。逆元が得られると解は直ちに求まるため、連立合同式でも各方程式を扱いやすい形に整理してから逆元を使うのが基本方針となる。結果として、逆元は単なる定義概念ではなく、合同式の計算を実行可能にする道具として機能する。