1 右逆元の定義
1.1 一般的な定義（右側からの逆）
ある代数的対象（例えば、集合上の自己写像、群や半群、環、線形写像、モジュール準同型など）で演算を「右に作用させる」形で扱うとき、元 \(b\) が元 \(a\) の右逆元であるとは、合成や積において \[ a b = 1 \] が成り立つことをいう。ここで \(1\) は恒等元（単位元、恒等写像）を表す。
この定義では「左側から掛けたときの逆」ではなく、「右側から掛けたときに恒等になる」という向きだけが本質である。そのため、可換性は前提とされない。
1.2 単位元・恒等写像との関係
演算が積として与えられる場合、恒等元は単位元として実体化する。例えば環 \(R\) における積では、右逆元の定義は \(a b = 1_R\) で表される。
演算が合成で与えられる場合、恒等写像 \(Id\) が単位元に相当する。すなわち写像 \(f: X\to Y\), \(g: Y\to X\) に対し \[ f\circ g = Id_Y \] ならば \(g\) は \(f\) の右逆（右からの逆）である。
この対応により、「右側から恒等に戻す」という直観が、積・合成の違いを超えて共通の構造として理解できる。
1.3 同値な言い換え
1.3.1 右消去則との関係
右逆元の存在は、右消去則と強く結びつく。一般に、右消去則とは \[ x a = y a \ \Rightarrow\ x=y \] のような性質を指す（対象がどの種類の代数構造かにより条件の置き方が変わる）。
もし \(a\) が右逆元 \(b\) を持ち、かつ右消去が成り立つ場面で考えると、例えば \[ x a = y a \] に対して右から \(b\) を掛ければ \[ x a b = y a b \Rightarrow x\cdot 1 = y\cdot 1 \Rightarrow x=y \] となり、右消去が導かれる。逆に、右消去が成立する枠組みでは、しばしば右逆元が存在するか、または近い形の可逆性が示唆される。
ただし「右逆元の存在」と「右消去則」の同値性は、代数構造の種類や追加仮定に依存するため、無条件に一般化すべきではない。
1.3.2 右商（右分解）の観点
右逆元がある状況では、対象を右から見て「分解」した形が現れる。例えばモジュール準同型 \(f\) に右逆元 \(g\) があるなら \[ f\circ g = Id \] より、\(f\) は像側に関して右から恒等を取り戻す性格を持つ。このことは、線形代数では「核が特定の形に抑えられる」「像への射影的なふるまいが出る」といった形で具体化する。
より抽象には、圏論的な観点で「右逆射が存在するとき、その射は右側での普遍性（随伴や商の性質）を満たす」方向へ議論が進む。右商・右分解という言い方は、演算の向きに合わせたこうした分解の直観を捉えるために用いられる。
2 存在条件と性質
2.1 一意性の可否
2.1.1 右逆元が複数存在し得る場合
右逆元は必ず一意とは限らない。特に逆元概念を一般の半群や随伴的構造へ拡張すると、同じ \(a\) に対して異なる \(b\) が \[ a b = 1 \] を満たし得る。
直観的には、右から恒等に到達するだけでよく、左からの整合が要求されないためである。左側の条件まで課す（両側逆元にする）と、通常は一意性が強くなる。
2.1.2 一意になる条件
右逆元の一意性を得る代表的な状況として、次のような追加仮定がある。
- 左逆元も同時に存在する場合：右逆元と左逆元がともに存在し、両者が一致する状況では、逆元としての一意性が得られやすい。
- ある種の消去性が成り立つ場合：同じ右逆元候補があったとしても、左消去のような性質が強ければ一致を導ける。
たとえば半群で \(a\) が右逆元 \(b,c\) を持ち、かつ何らかの条件によって \(b=c\) が従う状況がある。実際の条件は構造ごとに異なるため、適用先に応じて確認が必要である。
2.2 可逆元（左逆元・両側逆元）との比較
2.2.1 左逆元との関係
左逆元とは \[ b a = 1 \] を満たす元 \(b\) のことを指す。一般に、右逆元の存在は左逆元の存在を直接保証しない。
もっとも、特定の環境では両者は同値になる。線形代数では有限次元性などの追加仮定の下で、片側の可逆性が全体の可逆性へ引き上げられることが多い。これは、行列のランク等の有限次元特有の性質により、単射・全射が互いに引き合うためである。
2.2.2 両側逆元との関係
両側逆元とは、同じ元が左逆元でもあり右逆元でもあることを意味し、結果として \[ a^{-1} a = 1,\quad a a^{-1} = 1 \] が成立する。
片側の逆（右逆元のみ）がある場合、両側逆元になるかどうかは追加条件次第である。典型例として、線形代数では可逆性が単射性と全射性に対応し、有限次元ではそれらが同値になるため、右逆元の存在が両側可逆性につながる。
2.3 構造保存性
2.3.1 端点への作用（合成に対する挙動）
右逆元は「合成の端点」に対して決まった影響を与える。写像 \(f: X\to Y\) が右逆 \(g\) を持つなら \(f\circ g=Id_Y\) となるため、端点 \(Y\) 上では恒等が実現される。これにより、\(Y\) の側の情報は \(f\) によって損なわれない。
同様に、代数的対象で積として \(ab=1\) が成り立つなら、右側（積の右因子の側）に関する恒等性が確保される。したがって、右逆元の存在は「右に関する合成を打ち消す作用」を意味する。
2.3.2 直和・準同型との整合
線形代数やモジュール論では、直和分解や部分加群に関する構造と右逆元の存在が調和する。例えば準同型 \(f\) が右逆を持つとき、\(f\) は像上で十分な制御を持つ。その結果、ある種の分解（たとえば像への補部分の存在に類する条件）が導かれることがある。
この整合は「右側での単位性」が、分解・射影的構造と衝突しないことに由来する。直和があると右逆の構成が容易になる場合があり、逆に右逆があると特定の直和型の分解が可能になることもある。
3 線形代数での具体例
3.1 行列における右逆元
3.1.1 ランク条件との対応
体 \(K\) 上の線形写像を行列で表すとき、行列 \(A\)（\(m\times n\)）が右逆を持つとは、ある \(n\times m\) 行列 \(B\) が存在して \[ AB=I_m \] が成り立つことをいう。
この条件はランクで特徴づけられる。すなわち \(AB=I_m\) なら \(\mathrm{rank}(AB)=m\) なので \(\mathrm{rank}(A)\ge m\) が必要となる。一方、\(\mathrm{rank}(A)\le \min(m,n)\) だから、全体として \(m\le n\) が必要であり、かつ \[ \mathrm{rank}(A)=m \] が成り立つことと同値になる。
従って、行列が「右側からの逆」を持つことは、その行列が行として独立な状態（行ランクが最大）であることに対応する。
3.1.2 右逆元の構成法（具体的手順）
ランク条件が満たされるなら、右逆元は実際に構成できる。典型的な手順は次の流れである。
- \(A\) を基本行変形で簡約化し、行階数が最大であることに対応して、どの列が自由度を担うかを把握する。
- 行最簡形（あるいは一部簡約）を用いて、恒等行列 \(I_m\) を生成するための列の選択を行う。
- その選択から、方程式
\[ A B = I_m \] を満たす \(B\) の成分を求める。
もう少し抽象的には、連立一次方程式として各列ベクトル \(b_j\) を \[ A b_j = e_j \] （\(e_j\) は \(I_m\) の \(j\) 列目）により決めることで構成される。ただし解の多重性は、自由度の存在により生じる。したがって右逆元は一意にならないことがある。
3.2 線形写像としての右逆元
3.2.1 単射・全射との対応関係
線形写像 \(f: V\to W\) が右逆を持つとは、ある \(g: W\to V\) が存在して \[ f\circ g = Id_W \] が成立することをいう。この場合、\(f\) は全射である。理由は、任意の \(w\in W\) に対し \(w=f(g(w))\) と書けるからである。
一方、\(f\) の単射性は一般には保証されない。右逆があることで制御されるのは主に「像が全体である」という側面であり、核の大きさは別問題として残る。
有限次元の状況では \(V\) と \(W\) の次元が有限であるため、全射は自動的に単射へも結びつき、結果として \(f\) は可逆となる。よって右逆の存在は、有限次元では両側逆元の存在と一致する。
3.2.2 右逆元が存在する場合の像の性質
右逆があるとき、像は一致関係 \[ f(V)=W \] を満たす。さらに、右逆 \(g\) によって \[ w \mapsto g(w) \] が \(V\) の中で「\(w\) を復元する手続き」として働くため、\(W\) の各元が \(V\) のある部分（補部分）に写る像構造が現れる。
核については、全射性だけでは決まらない。実際、\(f\) が全射でも核は非零になり得るため、右逆の存在と核の消滅は無関係ではないが、両者は別の観点で管理される。
4 モジュール・圏論的観点
4.1 モジュール準同型に対する右逆元
4.1.1 生成元・関係式との整理
モジュール \(M,N\) 上の準同型 \(f: M\to N\) が右逆を持つとは、ある \(g: N\to M\) があって \(f\circ g=Id_N\) となることをいう。これは \(N\) が \(f\) の像として実現されることを意味し、特に \(f\) は全射である。
生成系や関係式の観点では、\(N\) の生成元が \(f(m_i)\) として表される必要がある。さらに右逆が存在するなら、生成元を起点に構成した補部分や選択写像が整合する必要が生じる。つまり「関係に矛盾なく持ち上げられる」ことが条件として姿を変える。
4.1.2 分解（補部分の存在）との関係
準同型が右逆を持つ場合、\(M\) は少なくともある形で分解に似た性質を示す。具体的には、\(g\) により \(N\) のコピーが \(M\) 内に埋め込まれ、\(f\) はその埋め込みの上では恒等に戻る。
その結果、\(M\) は「核部分」と「埋め込みされた部分」の組み合わせとして整理できる場合が多い。一般のモジュールでは、直和分解が常に自動で成立するとは限らず、環の性質や加群の種類により、どの程度強い分解が得られるかが変動する。
4.2 圏論における見方
4.2.1 エピ射・モノ射との対応
圏論では、射 \(f\) に対する右逆の存在は「エピ射（右カンセル可能な射）」と密接に関係する。具体的には、\(f\) に右逆 \(g\) があって \(f\circ g=Id\) なら、任意の射 \(h_1,h_2\) について \(h_1\circ f=h_2\circ f\) から \(h_1=h_2\) が従う。これは \(f\) がエピ射であることを示す。
ただしエピ射が必ず右逆を持つとは限らない。逆方向には追加条件が必要で、圏の種類（たとえば豊富な極限・余極限の存在、ある種の正則性）により差が出る。
4.2.2 右随伴・普遍性の導入（初歩）
右随伴の文脈では、右逆元のような「右側での恒等実現」が、普遍性を通じた構成に結びつくことがある。典型的には、随伴によってある射の存在が別の射の普遍性へ変換されるため、右側の操作が持つ役割が強調される。
初歩的には、右逆の条件が「特定の合成で恒等が得られる」という具体性を持つのに対し、右随伴は「普遍性によって一意に定まる射の対応」を与える点が対比される。両者を結びつけるには、随伴が存在する圏設定や、対象の性質（例えば極限・随伴での整合）を明確にする必要がある。