1 基本概念
部分群は、群の中で演算を保ったまま取り出される小さな構造であり、群論の最も基本的な対象の一つである。元の群が備える積、単位元、逆元の性質がそのまま成立するため、部分群を調べることは、全体の構造を局所的に理解する方法として有効である。
1.1 群と部分群の定義
群とは、集合と二項演算からなる代数系で、結合律、単位元の存在、各元の逆元の存在を満たすものをいう。部分群は、その群の部分集合であり、同じ演算を用いたときに再び群になるものを指す。したがって、部分群は単なる部分集合ではなく、群として独立に振る舞う必要がある。
1.2 部分群の判定条件
部分群かどうかは、演算に関する閉性と逆元の存在を確かめることで判定できる。実際には、条件を直接すべて確認するより、より簡潔な基準がよく用いられる。
1.2.1 一般的な判定法
典型的な判定法では、空でない部分集合について、任意の2元をとったときに積が再び集合内にあり、さらに逆元も集合内にあることを確認する。これにより、その部分集合が群の公理を保っているかを判断できる。有限群では、閉性と単位元の有無だけで十分な場合もある。
1.2.2 非空部分集合に関する条件
非空であることは重要で、1つでも元を含めば、適切な条件の下で単位元の存在が導かれる。さらに、任意の2元の差や積に相当する操作が集合内に留まるなら、逆元の条件も満たされる。こうした簡潔な基準は、部分群の確認を効率化する。
1.3 自明な部分群
どの群にも、特別な意味で必ず存在する部分群がある。これらは構造の最小単位と最大単位に相当し、理論の基準点となる。
1.3.1 単位部分群
単位元だけからなる部分集合は、演算を施しても変化せず、逆元も自分自身であるため部分群となる。これは最も小さい部分群であり、しばしば自明な部分群の一つとして扱われる。
1.3.2 全体群
元の群全体も、もちろんそれ自体で部分群である。これは最も大きい部分群であり、部分群という概念が群そのものを含む広い枠組みであることを示している。
2 部分群の例
部分群の具体例を見ると、抽象的な定義がどのように働くかが分かりやすい。特に整数、巡回群、対称群は、代表的な例として頻繁に用いられる。
2.1 整数の加法群における部分群
整数全体を加法で考える群では、ある整数で生成される倍数全体が部分群になる。たとえば、ある正の整数 n に対して n の倍数全体は部分群である。これは閉性、単位元 0 の存在、負の倍数による逆元の存在を満たすためである。
2.2 巡回群の部分群
巡回群は、1つの元からすべての元が生成される群である。この性質のため、部分群の形が比較的明確で、元の性質と密接に対応する。
2.2.1 有限巡回群の場合
有限巡回群の部分群は、群の位数の約数に対応して現れる。各約数に対して、その位数をもつ唯一の部分群が存在する。したがって、有限巡回群では部分群の構造が極めて整然としている。
2.2.2 無限巡回群の場合
無限巡回群の代表例は整数の加法群であり、その部分群はやはりある整数の倍数全体として記述できる。つまり、無限巡回群の部分群も巡回的で、単純な形に分類される。
2.3 対称群の部分群
対称群は、対象の並べ替えを表す群である。その部分群としては、特定の点を固定するもの、偶置換全体、ある部分集合の要素だけを入れ替えるものなどがある。これらは、対称性の制限や局所化を表す例として重要である。
3 部分群の構成
部分群は、既知の部分群を組み合わせたり、生成元から作ったりすることで構成できる。こうした方法は、部分群を体系的に扱ううえで中心的である。
3.1 共通部分
複数の部分群の共通部分は、常に部分群になる。これは、各部分群で満たされる閉性や逆元の性質が、共通部分にもそのまま受け継がれるためである。したがって、部分群の集合は共通部分に関して安定である。
3.2 合併と部分群にならない例
2つの部分群の合併は、一般には部分群にならない。たとえば、異なる方向に伸びる2つの部分群を合わせても、積をとったときに外へ出ることがある。合併が部分群になるのは、どちらか一方が他方を含む場合に限られる。
3.3 生成部分群
与えられた集合から、群として必要な操作をすべて許したときに得られる最小の部分群が生成部分群である。これは、部分集合から自然に作られる最小単位として重要である。
3.3.1 生成元による定義
集合 S に含まれる元を生成元とし、それらの有限回の積と逆元を組み合わせて得られる全体を、S が生成する部分群という。記号で表すと、S を含むすべての部分群の共通部分として定義できる。これにより、生成部分群は最小性をもつ。
3.3.2 生成部分群の性質
生成部分群は、元の集合に含まれる情報を群論的に閉じた形で反映する。1個の元から生成される部分群は巡回部分群と呼ばれ、計算しやすい。複数の元から生成される場合でも、対象の構造を記述するうえで基本的な役割を果たす。
3.4 積による部分群
2つの部分群の積を考えると、得られた集合が再び部分群になる場合がある。特に、一方が正規部分群であるときには、積はよい性質を示す。これは、部分群の組み合わせが単純な和集合以上の意味をもつことを示している。
4 特別な部分群
部分群の中には、追加の対称性や作用との関係をもつ重要な種類がある。これらは群論の発展において中心的な役割を担う。
4.1 正規部分群
正規部分群は、群の内部で共役変換を受けても不変な部分群である。商群を作るための条件として不可欠であり、群の構造を分解するうえで重要である。
4.1.1 左剰余類と右剰余類
部分群 H に対して、元 g を用いて作る左剰余類 gH と右剰余類 Hg は、群全体をいくつかの同値類に分割する。正規部分群では、左右の剰余類が一致する。これが、より整った構造を生み出す要因になる。
4.1.2 商群との関係
正規部分群 N があるとき、剰余類全体に自然な演算を入れて商群 G/N を定義できる。これは、元の群を N で「潰した」新しい群とみなせる構成である。商群は、群の分類や準同型定理と深く結びつく。
4.2 作用に関連する部分群
群が集合に作用するとき、その作用の中で特定の点や集合を保つ部分群が現れる。これらは対称性の固定や変化のない成分を記述する。
4.2.1 固定部分群
ある作用のもとで、各点をすべて固定する元全体は固定部分群をなす。これは、作用が実質的に何も変えない変換の集まりを表す。作用の核と近い役割を持つこともある。
4.2.2 安定化部分群
集合の中の1点を動かさない群要素全体は、安定化部分群または固定化群と呼ばれる。これは、その点に関する局所的対称性を示す。群作用の軌道と組み合わせることで、構造の把握が容易になる。
4.3 指標が有限な部分群
部分群の指標とは、群全体に対する剰余類の個数を表す数である。有限指標の部分群は、群全体の中で比較的「大きい」部分群とみなされる。有限性をもつため、代数的性質や解析的性質においてしばしば良い振る舞いを示す。
5 部分群の性質
部分群の基本的な性質は、群全体の構造を理解するための定理や格構造と結びついている。ここでは、代表的な法則や分類の考え方が現れる。
5.1 ラグランジュの定理
有限群では、任意の部分群の位数は群全体の位数を割り切る。これがラグランジュの定理である。したがって、部分群の大きさには厳しい制約があり、存在しうる部分群の位数を事前に絞り込める。
5.2 部分群格
群のすべての部分群を、包含関係で並べたものを部分群格という。これは単なる集合の集まりではなく、部分群どうしの関係全体を捉える枠組みである。
5.2.1 包含関係
部分群格では、小さい部分群が大きい部分群に含まれるという順序が基本になる。最小元は単位部分群、最大元は全体群である。この順序構造により、部分群の階層的な配置が見える。
5.2.2 共通部分と生成
部分群格では、共通部分が下限に対応し、複数の部分群が生成する部分群が上限に対応する。これにより、格としての操作が自然に定義される。部分群の組み合わせ方を整理するうえで有用である。
5.3 共役部分群
群の元 g によって部分群 H を gHg^-1 に移す操作を共役という。これによって得られる部分群は、元の部分群と同じ型の対称性を表す。
5.3.1 共役による分類
共役によって互いに移り合う部分群は、群の内部で同種の位置づけをもつと考えられる。共役類に分けて調べることで、似た振る舞いをする部分群をまとめて扱える。
5.3.2 共役類との関係
共役類は元の分類であるのに対し、共役部分群は部分群の分類に対応する。両者は、群の対称性が個々の元だけでなく、部分構造にも及ぶことを示している。
6 応用
部分群は純粋な理論対象にとどまらず、対称性、分類、幾何、物理のさまざまな場面で利用される。群全体を直接扱う代わりに、部分群を通じて局所的または階層的に解析する方法が広く用いられる。
6.1 対称性の解析
図形や代数的対象の対称性を調べる際、どの変換が対象を保つかを部分群として記述する。これにより、全対称群の中でどの程度の対称性が残るかを明確にできる。固定される構造と変化する構造の区別も容易になる。
6.2 代数的構造の分類
部分群は、群の構造を細かく分解する手段として使われる。正規部分群や商群を介すると、複雑な群をより単純な要素に分けて考えられる。分類問題では、部分群の配置が全体像の理解に直結する。
6.3 幾何学および物理学への応用
幾何学では、回転や反射の集まりを部分群として記述し、図形の対称性を整理する。物理学では、保存則や対称変換の記述に群論が現れ、その中の部分群が制限された対称性や相転移の解析に役立つ。これらの応用では、部分群は抽象理論と具体的現象をつなぐ橋渡しとなる。