1 群の準同型の基本定義
1.1 準同型の定義（演算の保存）
1.1.1 積の保存則と写像の要件
群 \(G\) から群 \(H\) への準同型とは、写像 \(\varphi: G\to H\) が群の演算と両立することをいう。一般に群の演算を積として書くとき、条件は \[ \varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\quad(\forall x,y\in G) \] で与えられる。この式は、\(G\) 内で積を計算してから写すのと、各要素を写してから積を計算するのが一致することを意味する。結果として、演算の「構造」—合成の仕方—が写像のもとで崩れない。
1.1.2 恒等元の対応
準同型の条件から、恒等元の扱いも自動的に決まる。\(G\) の単位元を \(e_G\)、\(H\) の単位元を \(e_H\) とすると、\(\varphi\) は \[ \varphi(e_G)=e_H \] を満たす。証明の要点は、恒等元の性質 \(e_G e_G=e_G\) を準同型の式に代入すればよいことである。よって準同型は、演算保存だけでなく単位の一致も保証される。
1.2 典型的な例
1.2.1 自明な準同型
最も簡単な例は、任意の \(x\in G\) に対し \(\varphi(x)=e_H\) とする写像である。この写像は恒等元だけを返すが、積の保存則 \[ \varphi(xy)=e_H=\varphi(x)\varphi(y) \] が成り立つため準同型になる。情報をほとんど失う写像の代表例として、核が大きくなりやすい。
1.2.2 制限された写像と商への誘導
| ある準同型 \(\varphi:G\to H\) を取り、特定の部分群に対してその値を考えると、制限写像 \(\varphi | _{K}:K\to H\)（\(K\le G\)）も準同型である。さらに、核に関係する部分群の下では、商集合上の写像として自然に誘導される。たとえば \(N\trianglelefteq G\) が準同型の核と一致する場合、剰余類を入力として同値類を反映した写像が構成される。このような誘導は後節の第一同型定理と密接に対応する。 |
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1.3 準同型の性質
1.3.1 各種代数的性質（冪や逆元との両立）
準同型の基本条件は、冪や逆元など他の操作とも両立することを導く。特に、逆元 \(x^{-1}\) については \[ \varphi(x^{-1})=\varphi(x)^{-1} \] が成り立つ。理由は \(\varphi(x x^{-1})=\varphi(e_G)=e_H\) であり、左辺が \(\varphi(x)\varphi(x^{-1})\) となるためである。同様に、冪 \(x^n\) に対しても \[ \varphi(x^n)=\varphi(x)^n \] が得られる。ここで \(n\) は整数で、負の冪は逆元を用いて定義される。
1.3.2 合成と包含関係
準同型は合成に関して安定である。すなわち \(\varphi:G\to H\) と \(\psi:H\to K\) が準同型なら、合成写像 \(\psi\circ\varphi:G\to K\) も準同型になる。計算上は \[ (\psi\circ\varphi)(xy)=\psi(\varphi(xy))=\psi(\varphi(x)\varphi(y))=\psi(\varphi(x))\psi(\varphi(y)) \] が成り立つからである。加えて、同一の範囲で準同型の振る舞いを比較する際には、像の包含関係や核の包含関係が対応づけの指標となる。
2 準同型の核と像
2.1 核（ケル）
2.1.1 核の定義と性質
準同型 \(\varphi:G\to H\) の核は \[ \ker\varphi=\{x\in G\mid \varphi(x)=e_H\} \] で定義される。核は、どの要素が \(H\) 側では「単位元として潰れるか」を記録する集合である。準同型の性質から、核の中では積をとっても核に留まり、さらに逆元も核に戻るため、核は群としての閉性を持つ。
2.1.1.1 核が正規部分群になること
核は \(G\) の正規部分群である。直観的には、\(\ker\varphi\) の要素を \(G\) 内で共役させても、\(\varphi\) による値は変わらず単位元のままになる。形式的には、任意の \(g\in G\) と \(x\in\ker\varphi\) について、\(\varphi(gxg^{-1})=\varphi(g)\varphi(x)\varphi(g)^{-1}=\varphi(g)e_H\varphi(g)^{-1}=e_H\) を示せばよい。
2.1.2 核と単射性の関係
準同型が単射であることは、核が自明であることと同値である。具体的に、 \[ \varphi \text{ が単射} \iff \ker\varphi=\{e_G\} \] が成り立つ。単射性があれば \(\varphi(x)=e_H\) から \(x=e_G\) が従い、逆に核が自明なら \(\varphi(x)=\varphi(y)\) から \(\varphi(xy^{-1})=e_H\) が得られ、\(xy^{-1}=e_G\) より \(x=y\) となる。
2.2 像（イメージ）
2.2.1 像の定義と部分群性
準同型 \(\varphi:G\to H\) の像は \[ \operatorname{Im}\varphi=\{\varphi(x)\mid x\in G\} \] で定義される。像は \(H\) の部分群である。準同型の積保存により、\(\varphi(x)\) と \(\varphi(y)\) の積は \(\varphi(xy)\) として再び像に含まれる。また逆元についても \(\varphi(x)^{-1}=\varphi(x^{-1})\) により像に戻るため、部分群の条件が満たされる。
2.2.2 像と全射性の関係
写像が全射であるかどうかは、像が標的の群全体と一致するかで判定できる。すなわち \[ \varphi \text{ が全射} \iff \operatorname{Im}\varphi=H \] である。全射ならば任意の \(h\in H\) が \(\varphi(x)=h\) を満たす \(x\in G\) を持ち、逆に像が \(H\) 全体なら任意の元が到達可能となる。
2.3 核と像の直観的対応
2.3.1 情報喪失の量としての核
核は、\(G\) の中でどの程度の違いが \(H\) では区別できなくなるかを示す。たとえば核に属する要素は \(H\) では単位元に送られるため、これらを掛けても写像の出力は変化しない。したがって核が大きいほど、入力の識別可能性は減少する。
2.3.2 構造保持の範囲としての像
像は、準同型がどの部分の構造を実際に \(H\) 側へ運ぶかを表す。準同型の出力は像の中にしか現れないので、像が \(H\) の一部に留まる場合、標的側の残りは写像によって生成されない。ゆえに像は、実現される操作の範囲を決める指標となる。
3 単射・全射・同型
3.1 単射準同型
3.1.1 単射性の判定（核との関係）
準同型 \(\varphi:G\to H\) が単射である条件は、前節の核の性質により \(\ker\varphi=\{e_G\}\) と言い換えられる。つまり、\(G\) において単位元以外が単位元へ潰されない状況が単射性を保証する。これにより「どの要素が区別されるか」を核を通して判定できる。
3.1.2 単射が意味する構造の保持
単射準同型は、少なくとも \(G\) の元同士の区別を保持する。さらに準同型であるため、積の並び替えや冪の評価など演算に基づく関係は \(H\) 内の像に反映される。結論として、\(G\) の構造は像の中で忠実に現れる。ただし像が \(H\) 全体でない場合、\(H\) の残りの構造は関与しない。
3.2 全射準同型
3.2.1 全射性の判定（像との関係）
全射準同型は、像が標的の群全体と一致することで定義される。したがって \(H\) の任意の元 \(h\) が \(\varphi(x)\) として表現できることが要件となる。写像の計算では、到達性を確認するために像の生成性や要素分解の形を利用することが多い。
3.2.2 全射が意味する到達性
全射性は「\(H\) 側で起こりうる状態を、\(G\) からすべて再現できる」ことを意味する。準同型である以上、操作の整合性も保たれているため、\(H\) 内の演算構造は少なくとも像としては完全にカバーされる。核の存在により、入力の違いが出力で同一視される場合はあり得るが、到達そのものは保証される。
3.3 同型（アイソモルフィズム）
3.3.1 同型の定義と逆写像の存在
同型とは、準同型が単射かつ全射であり、さらに逆写像も準同型になる関係を持つものを指す。写像 \(\varphi:G\to H\) が同型なら、逆写像 \(\varphi^{-1}:H\to G\) が存在し、積保存則が双方で成り立つ。よって \(G\) と \(H\) は演算構造として同一視でき、群としての性質が一致する。
3.3.2 同型がもたらす分類の考え方
同型は「見かけの違いを排して、本質的に同じ構造」を捉える基準となる。したがって群の分類問題では、同型で結ばれる群を同一クラスとして扱う。準同型の言葉では、同型が最も情報喪失の少ない対応であり、核が自明で像が全体となるため、入出力の関係が完全に対応する。
4 準同型と関連定理
4.1 第一同型定理（準同型定理）
4.1.1 商群と像の同型
第一同型定理は、準同型 \(\varphi:G\to H\) に対して \[ G/\ker\varphi \cong \operatorname{Im}\varphi \] が成り立つことを述べる。ここで \(G/\ker\varphi\) は核による剰余類集合であり、群演算は剰余類への自然な拡張として定義される。同型であるため、左辺と右辺は群として同じ演算構造を持つ。
4.1.2 核による商の構成
核が正規部分群であることにより、商群は正しく定義できる。具体的には、\(x\) を含む剰余類を \([x]\) と書けば、積は \([x][y]=[xy]\) により定められる。この定義が well-defined であるのは、核の元で代表を変えても \(\varphi(x)\) の値が変わらないためである。以後、剰余類から像へ対応する準同型が構成され、同型関係へとつながる。
4.2 商写像の誘導
4.2.1 正規部分群からの準同型
正規部分群 \(N\trianglelefteq G\) を固定すると、商写像 \(\pi:G\to G/N\) が存在し、\(\pi(x)=[x]\) によって定義される。この写像は準同型であり、積の保存は剰余類の積定義から従う。さらに、核がちょうど \(N\) になることが確かめられるため、商群は「核として潰した後の構造」として理解できる。
4.2.2 商群の基本的役割
商群は、正規部分群を合同関係として折りたたみ、区別を減らした新しい群を得る操作である。準同型との関係では、第一同型定理が示す通り「準同型の像を、核で割った商として実現できる」点が中心的な役割を持つ。したがって商は、写像の振る舞いをモデル化する道具として機能する。
4.3 構造分解の応用
4.3.1 既知の群の性質を移す考え方
準同型とそれに付随する核・像・商を組み合わせることで、既に理解された群の性質を新しい状況へ運ぶことができる。たとえば、像に対して成り立つ性質が確認できれば、同型関係により商にも同様の性質が移る。逆に、核の構造を調べることで、元の群における情報喪失の様子が分かる。これらは、単独では扱いにくい群を部分的に分解して理解する方針を与える。
4.3.2 具体的な計算手順の方針
計算では通常、(1) 与えられた写像が準同型であることを確かめ、(2) 核を求めて剰余類による商群の形を作り、(3) 像を直接または生成の議論で記述し、(4) 第一同型定理により対応を確定する、という手順を踏む。核の決定は \(\varphi(x)=e_H\) の解集合として行われ、像は \(\varphi(G)\) の生成元で表すことが多い。結果として、群の同型や部分構造の同定へ計算が収束する。