1 自己準同型の定義
自己準同型（self-homomorphism）とは、同一の台集合（同じ元の集合）上に定義された写像であって、その対象がもつ代数的演算や関係を保つものをいう。対象が群・環・体・束などの場合、準同型の一般概念をそのまま「始域と終域が同一」である状況に適用した形である。自己準同型は、構造内部の対称性、あるいは部分的に保存される振る舞いを記述する道具となる。
1.1 準同型写像の一般形
準同型写像は、ある代数的構造 \(A\) から \(B\) への写像 \(\varphi:A\to B\) として与えられ、演算に関する整合性を満たすことにより定義される。自己準同型では \(B=A\) となるが、まず一般形として整理する。
1.1.1 演算保存の条件
たとえば群の文脈では、積（あるいは演算）を保つ条件として \(\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\) が要求される。加法記法の可換群なら \(\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)\) の形になる。環なら加法と乗法の両方を保存する写像、体なら加法・乗法を保存する写像が基本となる。束なら結び（meet）や交わりに対応する演算を保つ条件が用いられる。
このように「演算を別の場所へ移すのではなく、結果の計算手順そのものを一致させる」性質が、準同型の核を成す。
1.1.2 関係保存の条件（ある場合）
代数的構造には、等式や順序、ある種の関係式が伴う場合がある。そこで準同型の定義では、それらの関係も保たれることを要請することがある。たとえば順序集合においては \(\le\) の向きを保つ写像（順序準同型）が考えられる。束の文脈でも、結びと交わりを保つことは同値に近い形で順序をも整合させることがある。
実際の定義は対象の種類に依存し、どの演算・関係を「構造の一部」とみなすかが、準同型の制約の種類を決める。
1.2 自己準同型としての特化
自己準同型では、始域と終域が同一構造であるため、写像の取り扱いが「構造の内部での再配置」に集中する。合成によって再び自己準同型が得られるため、自己準同型全体が豊かな代数的性格を持つ。
1.2.1 領域と値域が同一であること
自己準同型は \(\varphi:A\to A\) の形の写像として定義される。台集合が同一であることで、像や固定点などの概念が「構造の内部」に直接現れる。加えて、核（\(\ker \varphi\)）や像（\(\operatorname{Im}\varphi\)）が、同じ構造 \(A\) の部分構造として理解できる点が、計算上も理論上も利点になる。
1.2.2 恒等写像と基本例
恒等写像 \(\mathrm{id}_A\) は演算保存を自明に満たすため、自己準同型の基本例である。また、群 \(A\) の場合には内積構造に由来する写像が自己準同型になることがある。一般に、条件を満たす写像がどのような形になりうるかは、対象の具体的な代数則や追加構造（順序、位相、付随する演算）によって決まる。
たとえば環では、代数的に定まる代入写像が自己準同型を与えることがある。束では、ある操作が保存されるような変換が自己準同型となる。
1.3 構造ごとの自己準同型の具体化
自己準同型の一般定義は共通だが、実際の条件は構造ごとに具体的に書き下される。群・環・体では演算保存が明確に表現でき、束では結びと交わりに対応する操作の保存として現れる。
1.3.1 群の自己準同型
群 \(G\) の自己準同型 \(\varphi:G\to G\) は、積を保存する写像として定義される。すなわち任意の \(x,y\in G\) に対し \[ \varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y) \] が成り立つ。さらにこの条件は自動的に単位元の保存や逆元の挙動を統制する。したがって、群の自己準同型は「群演算と整合する内部写像」として扱える。
特に冪の構造との相性が良く、\(\varphi(x^n)=\varphi(x)^n\) のような関係が導かれ、反復に関する性質へ自然につながる。
1.3.2 環の自己準同型
環 \(R\) の自己準同型 \(\varphi:R\to R\) は、加法と乗法をともに保存することによって定義される。通常、加法について \(\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)\)、乗法について \(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\) が要求される。場合によっては乗法単位の保存を追加条件として課すこともあるが、定義は文脈で揺れることがある。
環の自己準同型は、核がイデアルになるなど、群の場合よりも部分構造の種類が豊富になる。これにより、代数的分解の観点から強力に扱える。
1.3.3 体の自己準同型
体 \(K\) の自己準同型 \(\varphi:K\to K\) は、加法と乗法を保存する写像である。体では非零元の逆元が必ず存在するため、準同型が与える制約は特に強い。多くの状況で、準同型は自動的に可逆性や埋め込み性と結びつきやすく、像の構造が重要になる。
自己準同型の研究は、体拡大やガロア理論と密接な関係を持ちうるが、ここでは一般論として「体の演算整合性が非常に強い」という点を押さえる。
2 自己準同型の基本的性質
自己準同型は、合成により再び自己準同型を与える点で代数的に扱いやすい。さらに核・像・固定点といった概念が、反復や分類に結びつく。これらは構造の内部で何が保たれ、どこで情報が潰れるかを明確にする。
2.1 合成と単位元
自己準同型同士の合成は定義を壊さない。この閉性と単位元の存在により、自己準同型全体はモノイド（状況によっては群）として整理できる。
2.1.1 合成の閉性
自己準同型 \(\varphi,\psi:A\to A\) を取る。演算保存はそれぞれ \(\varphi\) と \(\psi\) で成り立つため、合成 \(\psi\circ\varphi\) も同じ演算保存条件を満たす。例として群なら \[ (\psi\circ\varphi)(xy)=\psi(\varphi(xy))=\psi(\varphi(x)\varphi(y))=\psi(\varphi(x))\psi(\varphi(y)) \] となり、合成写像も群準同型になる。
このように、自己準同型は一種の「変換の集合」であり、適切な演算保存則の下で安定に閉じている。
2.1.1.1 結合則と単位元の確認
写像の合成には常に結合則が成り立つため、自己準同型の集合上でも結合則は保たれる。また恒等写像は単位元として働く。したがって自己準同型の体系は、定義に従ってモノイドの公理を満たす。
2.1.1.2 自己準同型全体の代数的構造（モノイド）
自己準同型全体を \(\mathrm{End}(A)\) のように表す流儀がある。この集合は、合成を演算としてモノイドを成す。各要素は「構造を保つ内部変換」であり、可逆性がない場合でも合成により振る舞いが追跡できる。
可逆な自己準同型、すなわち自己同型が含まれる部分集合では、合成は群構造を形成することが多い。
2.2 核・像・階数的観点
準同型の情報は、核と像の記述で体系的に整理できる。特に核はどの要素が「同一視」されるかを示し、像は変換によって到達可能な部分がどれほど豊かかを示す。
2.2.1 核の定義と性質
核は一般に \[ \ker\varphi=\{x\in A\mid \varphi(x)=e\} \] のように定義される（群・モノイドでは単位元 \(e\)、環では零元など対象に応じて適切な基準点を用いる）。準同型の性質から、核は構造の「同型的に安定な部分」として振る舞い、群では部分群、環ではイデアルとして現れる。
核の大きさは非可逆性の程度を反映し、合成や反復の解析でも中心になる。
2.2.2 像の記述と制約
像 \(\operatorname{Im}\varphi=\{\varphi(x)\mid x\in A\}\) は、対象の演算を保つため、部分構造として自然に閉じる。群なら部分群、環なら部分環、体ではしばしば部分体として扱える。
像が全体に一致するかどうかは、準同型が可逆かどうかの第一指標になる。自己準同型では特に「収縮してより小さい部分に落ちる」現象が理論を動かす。
2.2.3 既約性・不変性との関係
像や核は合成によって変わりうるが、ある条件の下では安定な部分として不変性が現れる。たとえば核は \(\varphi\) によって保たれやすい場合があり、像についても同様に「写像後も同じ部分構造に留まる」性質が成り立つことがある。
このような不変部分の存在は、自己準同型が構造をどう分解するか（あるいは潰すか）を理解する手掛かりになる。既約性（これ以上単純化できない）との関係も、表現論やモジュール論の枠組みで自然に現れる。
2.3 固定点と不変部分
固定点は \(\varphi(x)=x\) を満たす元の集合として定義され、変換が「動かさない」要素を示す。より一般に、部分構造が自己準同型の作用で保たれるなら、それも重要な情報になる。
2.3.1 固定点集合
固定点集合は \(\mathrm{Fix}(\varphi)=\{x\in A\mid \varphi(x)=x\}\) と書ける。群や環の文脈では、固定点は単なる集合にとどまらず、状況により部分群や部分環として構造を保つことが多い。特に演算保存が強い対象では、固定点から作られる部分構造が意味を持ちやすい。
固定点の分布は、反復（冪）を重ねたときの収束的な挙動や、安定化の現象と結びつく。
2.3.2 不変部分構造（部分群・イデアルなど）
不変部分とは、部分構造 \(S\subseteq A\) が \(\varphi(S)\subseteq S\) を満たすものを指す。自己準同型ではこの不変性が定義により扱いやすく、部分群・部分環・イデアルなどがその例になる。
不変部分への着目は、全体の構造を別の部分と分離して理解するという方針につながる。特に核や像の扱いは、こうした不変性の観点と整合的である。
3 自己同型との関係
自己同型（automorphism）は、自己準同型が可逆である場合を指し、より強い対称性を表す。自己準同型は一般に情報を失い得るが、自己同型は情報が保持されるため、構造の性質が一段と整理される。
3.1 可逆性と自己同型
自己準同型が可逆になるための条件は、対象の種類によって形が変わるが、基本的な論理構造は共通である。
3.1.1 全単射であることの同値条件（代表例）
準同型が全単射であることは自己同型であることと同値になる。特に群や環で「同型」として扱う標準的な定義では、準同型であることに加えて全射性が可逆性を保証しやすい。対象が有限であれば、全単射性はさらに同値関係として整理できる。
無限の場合も、核や像の性質、ある種の有限生成性や埋め込み性が絡むと、可逆性の判定が可能になることが多い。
3.1.2 自己同型群の形成
自己同型全体は合成で閉じ、恒等写像を持ち、各元には逆写像が存在するため群を成す。これを自己同型群と呼ぶ。群としての構造は、対象の対称性の骨格であり、既約な変換の分類や固定点理論、作用の記述などに広く応用される。
自己準同型がモノイドとして自然に現れるのに対し、自己同型はその中の可逆部分として群になるという関係が理解の指針になる。
3.2 自己準同型の分解的見方
自己準同型は可逆ではないため、分解的な観点が特に重要になる。どこまでが可逆で、どこからが情報喪失なのかを、核や像、不変部分への制限として捉える。
3.2.1 可逆部分と非可逆部分の役割
自己準同型は、作用が「ある部分では変換前と同じ情報を保持する」一方で、「別の部分では縮退する」ことがあり得る。核はその縮退の出発点として現れ、像は縮退後に残る情報を示す。これにより、変換全体を分解して理解する方向性が生まれる。
具体的な分解は対象に依存するが、反復したときに安定な像が現れる、または核が増減していく、などのパターンが観察される。
3.2.2 不変部分への制限と誘導写像
不変部分 \(S\) に対し、\(\varphi\) を \(S\) 上に制限すれば、制限写像も準同型になる。さらに像が不変部分を形成する場合には、\(\varphi\) はその部分へ誘導された形で再定義できる。環・加群などでは商構造や制限・誘導の組み合わせにより、解析が体系化される。
この操作は、複雑な自己準同型を段階的に扱うための標準的手法として機能する。
4 応用と計算
自己準同型の応用は、反復（冪）による安定性、対称性の読み取り、そして具体的な計算手法に分けて整理できる。理論が抽象的であっても、最終的には核・像・固定点の見積もりに帰着しやすい。
4.1 反復（冪）と安定性
自己準同型は合成を繰り返すことで「時間発展」のように見なせる。すると核や像、固定点に関する安定化の現象が現れる。
4.1.1 冪写像の意味と性質
冪 \(\varphi^n\) は \(\varphi\) を \(n\) 回合成した写像であり、構造保存性は自動的に引き継がれる。群なら \(\varphi^n(xy)=\varphi^n(x)\varphi^n(y)\) のように演算整合が続く。
また、元 \(x\) の軌道 \(x,\varphi(x),\varphi^2(x),\dots\) は、固定点や周期、停留といった振る舞いの検出に役立つ。
4.1.2 安定化する列（核・像の反復）
反復に伴い、核の列 \(\ker\varphi \subseteq \ker\varphi^2 \subseteq \cdots\) や像の列 \(\operatorname{Im}\varphi \supseteq \operatorname{Im}\varphi^2 \supseteq \cdots\) が形成されることがある。有限の場合にはこれらがいずれ停止し、ある段階以降は同じ部分構造が保たれる。
この安定化は、長期的な挙動を短い計算で要約するための基盤になる。
4.2 対称性としての自己準同型
自己準同型は「対称性」として解釈できることがある。ただし、自己同型ほど強い全体の対称性ではない。準同型は部分的には形を保つが、情報を失う可能性もあるため、対称性の強度が状況により異なる。
4.2.1 構造の自己作用の解釈
自己準同型を作用として捉えると、構造 \(A\) の要素が変換により再配置される様子が見える。反復により軌道が層状に整理され、固定点近傍や不変部分へ情報が集中する場合がある。
この見方は、対称性を「可逆性を伴う完全な回転」だけに限定せず、縮退や射影を含む一般化として扱う利点を与える。
4.2.2 自己準同型から得られる分類情報
分類は、自己準同型の存在やその核・像の形により導かれる。たとえば、ある種の構造がどれだけ自己準同型を持つか、また可逆なものがどれほどあるかが、対象の制約条件として働く。
具体的には、不変部分の数や固定点の構造、誘導される準同型の形が、対象の内部配置を反映するため、同じ条件を満たす対象同士の同型判定に役立つ場合がある。
4.3 具体的計算例と手法
自己準同型の計算は、対象が有限生成であれば特に実用的になる。計算上の主戦場は、生成元に対する値の決定、核と像の同定、そして恒等式による検証である。
4.3.1 行列表現・生成元による計算（場合により）
可換群や線形空間の自己準同型は、基底を選ぶことで線形写像として行列表現が可能になる。すると冪は行列の冪として計算でき、像や核はランクや零空間で求められる。これにより安定化の現象も実験的に確認できる。
一方、一般の代数構造でも、生成集合が分かっている場合には、準同型の定義条件が「生成元における値の選び方」として整理できる。生成元からの延長で全体が決まる状況では、計算コストが大きく下がる。
4.3.2 恒等式による検証手順
写像候補 \(\varphi\) が本当に自己準同型であるかは、定義に現れる恒等式を満たすかで検証できる。群なら積保存、環なら加法と乗法保存、束なら結び・交わり保存といった形で確かめる。
実務上は、すべての元について調べるのではなく、生成元や代表元に関する恒等式が十分であることを利用し、必要な計算範囲を最小化する手法がよく用いられる。