1 定義
事前像とは、写像がある値に到達する元や、その条件を満たす要素全体を、定義域側で捉えるための概念である。多くの場合、写像そのものよりも、特定の集合や構造に対する対応として扱われる。集合論、代数学、位相数学、測度論などで基礎的な役割を持ち、対象が個々の元であっても部分集合であっても用法が整っている。
1.1 元の事前像
写像 f:X→Y に対し、値域側の元 y∈Y に対して f(x)=y となる x∈X を、その y の事前像ということがある。複数の元が対応する場合もあり、1つに定まらないことがある。対応する元が存在しないときは、事前像をもたないという。
1.2 部分集合の事前像
値域側の部分集合 B⊆Y に対し、f(x)∈B を満たす x∈X 全体の集合を B の事前像という。これは定義域の中で、B に写る点を集めたものであり、写像の性質を調べる際の基本的な道具である。
1.2.1 記号と表記
事前像は通常 f^-1(B) と書かれる。ここでの f^-1 は逆写像を意味するとは限らず、あくまで集合の対応としての記法である。元 y に対しては f^-1({y}) と書くことがあり、部分集合の場合と同じ形式で扱える。
1.2.2 逆像との関係
事前像は逆像とほぼ同義に用いられる。単射でない写像では、f^-1 は一般に写像としては定義されないが、部分集合の逆像は常に定義できる。このため、集合論的には「逆写像」ではなく「逆像」と呼ぶのが正確である。
1.3 値域が集合である場合の解釈
対象が集合そのものを要素として持つ写像では、事前像は「ある条件を満たす点の集まり」として読まれる。たとえば、ある性質を持つ部分集合の族に対して、各集合の事前像を取ることで、元の空間上の構造を比較できる。これにより、集合族の変化を写像に沿って追跡しやすくなる。
2 基本性質
事前像は集合演算とよく整合し、和集合、共通部分、補集合などに関して自然な振る舞いを示す。さらに、包含関係を保ち、合成写像と結びつくことで、複雑な写像の解析を簡潔にする。
2.1 和集合と共通部分に関する性質
事前像は和集合に対して分配的であり、f^-1(A∪B)=f^-1(A)∪f^-1(B) が成り立つ。また、共通部分についても f^-1(A∩B)=f^-1(A)∩f^-1(B) が成立する。これらは、写像を介した条件の合成が、集合演算と両立することを示している。
2.2 補集合に関する性質
補集合に関しては、f^-1(Y\\B)=X\\f^-1(B) が成り立つ。つまり、値域側で条件を満たさない点の事前像は、定義域側でその条件を満たさない点の集合と一致する。この性質により、論理否定を集合論へ移すことができる。
2.3 包含関係との整合性
A⊆B ならば f^-1(A)⊆f^-1(B) である。事前像は包含を保つので、値域側で大きな集合を取れば、定義域側でも対応する集合は大きくなる。この単調性は、証明や構造比較において扱いやすい特徴である。
2.4 合成写像に関する性質
写像 f:X→Y と g:Y→Z に対して、合成 g∘f の事前像は g と f の事前像を順にたどる形で表せる。すなわち、(g∘f)^-1(C)=f^-1(g^-1(C)) である。これにより、複合的な対応を段階的に分解して考えられる。
3 代数学における事前像
代数学では、事前像は準同型の下で部分構造を引き戻す操作として中心的に現れる。群、環、線形空間などでは、事前像によって部分群、イデアル、部分空間がどのように対応するかを調べる。
3.1 群準同型における事前像
群準同型 φ:G→H に対して、H の部分集合や部分構造の事前像を考えると、G の側で対応する集合が得られる。準同型性のため、積や単位元との整合性が保たれやすい。
3.1.1 部分群の事前像
H の部分群 K に対して、φ^-1(K) は G の部分群になる。これは、群演算が準同型で保存されるためであり、事前像を取る操作が群構造を壊さないことを示す基本例である。
3.1.2 正規部分群との関係
K が H の正規部分群なら、φ^-1(K) も G の正規部分群となる。商群や剰余構造を扱う際、この性質は準同型定理の文脈で重要になる。正規性が事前像を通じて引き継がれる点に特徴がある。
3.2 環準同型における事前像
環準同型 ψ:R→S では、S の部分環やイデアルの事前像をとることで、R 側の構造を調べられる。加法・乗法の両方に関わるため、群の場合よりも条件が増えるが、基本的な考え方は同じである。
3.2.1 イデアルの事前像
S のイデアル I に対し、ψ^-1(I) は R のイデアルとなる。イデアルの引き戻しは、剰余環や準同型写像の構成で頻繁に利用される。代数的性質を保ったまま、写像の前段へ情報を移す操作として働く。
3.2.2 単元や冪零元との関係
環準同型は単元や冪零元に関して一定の性質を保つが、事前像では対応がより繊細になる。たとえば、ある元が像で単元になっていても、元自身が単元とは限らない。冪零元についても、像での性質と事前像での性質は一致しない場合があるため、注意が必要である。
3.3 線形写像における事前像
線形写像 T:V→W では、部分空間の事前像が再び部分空間になる。線形代数では、連立条件を満たすベクトルの全体を表すためにしばしば用いられる。
3.3.1 部分空間の事前像
W の部分空間 U に対して、T^-1(U) は V の部分空間である。これは、線形性により和とスカラー倍が保たれるためで、解空間や制約条件の記述に便利である。
3.3.2 核と像との関係
核は零元の事前像、像は全体への到達先として捉えられる。特に核は T^-1({0}) と表され、写像がどのベクトルを消すかを示す。像は事前像とは直接同一ではないが、線形写像の理解には両者の比較が欠かせない。
4 他分野での応用
事前像は、構造を空間の別の側へ移す一般的な仕組みとして、位相空間論や測度論で特に重要である。抽象的な定義でありながら、連続性や可測性の判定に直接つながる。
4.1 位相空間論での事前像
位相空間では、写像の連続性を開集合の事前像で定義できる。これは、空間間の対応を局所的な性質から評価するための標準的な方法である。
4.1.1 開集合と閉集合の逆像
連続写像では、開集合の事前像は開集合になる。補集合の性質を使えば、閉集合の事前像も閉集合になる。これにより、位相構造が写像の前側で安定して保たれる。
4.1.2 連続性の判定
写像 f:X→Y が連続であることは、Y の任意の開集合 U に対し f^-1(U) が X で開であることと同値である。したがって、事前像は連続性を確認するための定義そのものとして機能する。
4.2 測度論での事前像
測度論では、可測集合の事前像が可測であることが重要である。これにより、測度を写像に沿って引き戻したり、確率変数の分布を記述したりできる。特に可測写像の定義は、事前像による可測性の保存に基づく。
4.3 圏論的な見方
圏論では、事前像は対象間の射に伴う反変的な操作として理解できる。集合の族や束、層の文脈では、射に沿って情報を前方ではなく「引き戻す」働きを持つ。こうした見方は、事前像が単なる集合演算ではなく、構造保存の一般原理であることを示している。