1 基本概念
閉集合は、位相空間における基本的な対象で、直観的には「外側との境界が明確な集合」として理解される。実数直線のような具体的な空間では、開集合の反対側に位置づけられ、極限や連続性を扱う際の土台になる。一般の位相空間では、距離の有無にかかわらず定義できるため、解析学から幾何学まで広く用いられる。
1.1 定義
位相空間Xの部分集合Aが閉集合であるとは、その補集合X \ Aが開集合であることをいう。これが最も基本的な定義であり、以後の性質は多くがこの事実から導かれる。閉集合は「開集合の補集合」として扱うと、証明や記述が簡潔になる。
1.2 開集合との関係
開集合と閉集合は対称的な関係にあり、どちらか一方を理解すると他方も把握しやすい。ある集合が開でも閉でもある場合、両方の性質を兼ね備える。逆に、どちらでもない集合も少なくなく、実数直線上の半開区間などが代表例である。
1.3 補集合による特徴づけ
閉集合の定義は補集合を通じて与えられるため、性質の確認も補集合で考えると便利である。例えば、補集合が開であることを示せば、その集合が閉であると直ちに分かる。こうした対偶的な見方は、位相的な議論の基本技法の一つである。
1.4 例と非例
実数直線では、閉区間[a,b]や単点集合{a}は閉集合である。一方、開区間(a,b)は閉ではない。半開区間[a,b)は典型的な非例であり、端点の一方を含まないため閉性を持たない。全体集合と空集合は、いずれも開かつ閉である。
2 位相空間における性質
位相空間では、閉集合は単なる補集合の概念にとどまらず、閉包、境界、極限点と結びついて空間の構造を表す。これらの性質は、集合の「どこまでが含まれているか」を精密に記述するために重要である。また、閉集合族は演算に対して安定であり、集合論的操作との相性がよい。
2.1 閉包
集合Aの閉包は、Aを含む最小の閉集合として定義される。閉包には、Aそのものに加えて、その極限点も含まれる。Aがすでに閉集合なら、閉包はAに一致する。閉包は、近づいていく点を見落とさないための仕組みとして働く。
2.2 極限点と閉集合
ある集合の極限点とは、その点の任意の近傍が集合の他の点を含むような点を指す。集合が閉であるためには、通常、その極限点をすべて含んでいなければならない。したがって、極限点を取り込む性質は閉集合の核心の一つであり、収束の記述とも密接に関係する。
2.3 境界と内部
集合の内部は、その中に完全に収まる開近傍を持つ点全体からなる。境界は、内部でも外部でもない、いわば接触部分にあたる。閉集合では境界点が集合に含まれることが多く、特に閉集合は「境界を含む集合」として把握しやすい。内部と境界を区別することで、集合の形状や広がりが明確になる。
2.4 閉集合族の演算
閉集合の集まりは、演算に対して一定の閉性を持つ。これは抽象的な位相空間でも重要で、閉集合の全体が空間の構造を記述する際の基盤になる。特に、有限個の操作と無限個の操作で性質が異なる点が注目される。
2.4.1 有限和
有限個の閉集合の和集合は、ふたたび閉集合になる。これは閉集合が和に対して完全に閉じているわけではないが、有限回の結合では安定であることを示す。反対に、無限個の和集合では閉でなくなることがある。
2.4.2 任意交叉
任意個の閉集合の共通部分は閉集合である。これは閉集合族の最も重要な性質の一つで、無限交叉にもそのまま成立する。したがって、閉集合は「共通部分を取る操作」によって自然に生成・整理できる。
3 距離空間での閉集合
距離空間では、閉集合は距離に基づく直観と結びつき、点列や球といった具体的な道具を通じて理解される。解析学ではこの枠組みが特に有効で、収束や近似の議論が扱いやすくなる。位相空間一般よりも、閉性を確認するための判定法が豊富である。
3.1 収束列による特徴づけ
距離空間では、ある集合が閉であることと、その集合内の点列の極限が再び集合に属することが対応する。つまり、集合の点だけで作った収束列が外へ飛び出さない場合、その集合は閉である。これは実際の判定に有用で、解析で頻繁に使われる。
3.2 開球と閉球
開球は中心からの距離が半径より小さい点の集まりで、開集合の基本例である。これに対し、閉球は距離が半径以下の点を含み、境界を加えた集合として現れる。閉球が閉集合になるかどうかは、通常の距離空間では成立し、幾何学的な直観と一致する。
3.3 完備性との関係
完備性は、コーシー列が空間内で収束する性質を指す。閉集合は完備性と組み合わさることで、部分空間の性質を保つ条件として現れることがある。完備な空間の閉部分集合は、しばしば同じく完備になるため、解析的構造の保存に役立つ。
3.4 コンパクト性との関係
コンパクト性は、開被覆から有限部分被覆を取り出せる性質であり、閉集合としばしば深く結びつく。特に、コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトである。この事実は、極値の存在や連続写像の挙動を考える際に重要である。
4 解析学・幾何学での応用
閉集合は、実数解析や幾何学で日常的に現れる。実数直線では順序と距離があるため、閉集合の性質を具体的に把握しやすい。関数の連続性、区間の構造、図形の境界など、広い場面で基礎語彙として機能する。
4.1 実数直線の閉集合
実数直線Rでは、閉集合は極限値を含む集合として理解しやすい。たとえば、数列の極限や集合の端点を取り込む点が閉性を決める。実数の連続体では、閉集合が「抜け落ちのない」集まりとして現れることが多い。
4.2 関数の連続性との関係
連続関数は、閉集合の逆像を閉集合に保つ性質を持つ。これは連続性の位相的定義の一つであり、開集合の逆像が開であることと同値である。したがって、閉集合は関数の性質を調べる際の検査対象として重要である。
4.3 閉区間とその性質
閉区間[a,b]は、実数直線における最も基本的な閉集合の一つである。端点を含むため、連続関数に対して最大値・最小値の議論でよく現れる。さらに、閉区間は有界性と組み合わさることで、コンパクト性の代表例にもなる。
4.4 閉集合の典型例
典型例には、閉区間、単点集合、有限集合、全体集合、空集合などがある。平面では、円周を含む円板や、曲線の閉じた部分も閉集合として現れる。これらの例は、閉集合が「境界を失わずにまとまった形を保つ」ことを示している。
</INTERNAL_LINK_CANDIDATES> 補集合（ある集合の外側にある点全体） 開集合（補集合が閉集合になる集合） 位相空間（開集合の体系を備えた集合） 閉包（ある集合を含む最小の閉集合） 極限点（その近傍に他の点が必ず入る点） 境界（内部でも外部でもない点の集まり） 内部（集合の中に完全に含まれる点全体） 近傍（ある点のまわりの局所的な範囲） 収束列（極限へ近づく点列） 距離空間（点間の距離が定義された空間） 開球（距離が半径より小さい点の集合） 閉球（距離が半径以下の点の集合） 完備性（コーシー列が空間内で収束する性質） コンパクト性（有限部分被覆を持つ性質） 連続関数（逆像が開集合を保つ写像） 逆像（写像で元に戻した集合） 実数直線（実数全体を並べた直線） 閉区間（端点を含む区間） コーシー列（項同士が互いに近づく列） 最大値・最小値（関数が取りうる最大・最小の値）