1 基本的な定義
コーシー列は、列の後ろの項どうしが十分近くなる性質をもつ数列である。重要なのは、外部の極限値を前提にせず、列そのものの内部構造だけで「収束しそうか」を判定できる点にある。解析学では、数の集合がどの程度よく極限を受け入れるかを調べる基礎概念として用いられる。
1.1 数列としての定義
実数列 \((a_n)\) がコーシー列であるとは、任意の正の数 \(\varepsilon\) に対して、ある自然数 \(N\) が存在し、\(m,n \ge N\) ならば \[
| a_m-a_n | <\varepsilon |
|---|
\] が成り立つことである。直感的には、十分後ろに進めば、どの2項を選んでも差がいくらでも小さくなる。
この定義は「値がどこへ向かうか」ではなく、「列の内部でのばらつきが消えるか」に注目する。したがって、極限の候補を先に知らなくても性質を確認できる。
1.2 距離空間における定義
距離空間 \((X,d)\) では、列 \((x_n)\) がコーシー列であるとは、任意の \(\varepsilon>0\) に対して、ある \(N\) が存在し、\(m,n\ge N\) なら \[ d(x_m,x_n)<\varepsilon \] となることをいう。
この定義は実数列の場合の一般化であり、距離さえ定まっていれば同様に扱える。点の「近さ」を測る規則がある空間では、収束の議論を同じ形式で展開できる。
1.3 コーシー列と収束列の関係
コーシー列と収束列は密接に関係するが、同一ではない。収束すればコーシー列になる一方、コーシー列が必ず収束するかどうかは、空間が完備であるかに依存する。
1.3.1 収束列ならコーシー列であること
距離空間で列 \((x_n)\) がある点 \(x\) に収束するとする。このとき、三角不等式を使えば、後ろの項同士の距離はそれぞれが極限点 \(x\) に近いことから小さく抑えられる。よって収束列は必ずコーシー列である。
これは基本的な事実であり、極限が存在するなら列の末尾は互いに整合的でなければならないことを意味する。
1.3.2 逆が成り立つ条件
逆に、コーシー列が収束するためには、その空間が完備である必要がある。完備性とは、コーシー列がすべてその空間内の点へ収束する性質を指す。
実数全体 \(\mathbb{R}\) は完備だが、有理数全体 \(\mathbb{Q}\) はそうではない。したがって、同じコーシー列でも、ある空間では極限を持ち、別の空間では持たないことがある。
2 性質
コーシー列には、収束と似た振る舞いを示す基本性質がいくつかある。特に、項の大きさの制御や部分列との関係、さらに写像を通した保存性は重要である。
2.1 有界性
距離空間や実数列の場合、コーシー列は有界である。これは、後半の項同士が近いなら、ある一点を基準に全体が大きく散らばることはないためである。
有界性は収束列でも成り立つが、コーシー列についても同様に成立する。したがって、コーシー性は「末尾の安定」と「全体の逸脱のなさ」を同時に含む。
2.2 部分列との関係
コーシー列の任意の部分列もコーシー列である。元の列の後半ではどの2項も近いので、そこから取り出した列も同じ性質を保つ。
また、コーシー列がある点に収束するなら、その部分列も同じ極限に収束する。逆に、完備空間では、コーシー列の収束部分列の存在が全体の収束を支えることが多い。
2.3 コーシー性の保存
コーシー性は、列の変形や写像の適用によって保たれる場合がある。ただし、どの変換でも必ず保存されるわけではなく、連続性や一様連続性などの条件が関係する。
2.3.1 単調変形に対する保存
実数列で、各項に対して加法や乗法のような連続な演算を施すと、適切な条件のもとでコーシー性は保たれる。特に、差が小さい項同士を同じ規則で変換すれば、変換後も末尾の近さが維持されやすい。
一方、急激に値を引き伸ばす変換では、コーシー性が壊れることがある。したがって、保存の有無は変換の性質に左右される。
2.3.2 写像の下での保存
一様連続な写像は、コーシー列をコーシー列へ写す。これは、入力の近さを一様に出力の近さへ منتقلできるためである。
連続であっても一様連続でない写像では、この性質が失われる場合がある。コーシー列の保存は、関数解析や距離空間論で写像を扱う際の重要な判定基準となる。
3 完備性との関係
コーシー列の理論は、空間が極限をどの程度内部に備えているかを測る完備性と結びついている。完備な空間では、コーシー列は必ず極限を持ち、そうでない空間では失われた極限を補うために完備化が考えられる。
3.1 完備距離空間
完備距離空間とは、すべてのコーシー列がその空間内で収束する距離空間である。実数、ユークリッド空間、バナッハ空間などは代表例である。
この性質があると、極限の存在を外部に求める必要がなくなり、解析の議論が安定する。微分や積分、関数列の収束など、多くの理論は完備性を前提に整えられている。
3.2 実数におけるコーシー列
実数は完備であるため、実数のコーシー列は必ず実数へ収束する。これは実数体系の核心的特徴の一つであり、極限を安心して扱える根拠になっている。
実数の構成においても、コーシー列は重要な役割を担う。とくに、後述するように有理数のコーシー列を同値類でまとめることで、実数を構成する方法がある。
3.3 有理数におけるコーシー列
有理数全体では、コーシー列が必ずしも有理数へ収束しない。これは \(\mathbb{Q}\) が完備でないためである。したがって、有理数列の内部では十分整然としていても、極限が空間の外に出てしまうことがある。
3.3.1 実数への収束
有理数のコーシー列の多くは、実数としては収束先を持つ。たとえば、平方根が有理数でない数を近似する有理数列は、実数の中では明確な極限に向かう。
この事実は、実数が有理数の欠落を補完した空間であることを示している。コーシー列は、その不足分を可視化する道具として働く。
3.3.2 有理数内では収束しない例
有理数内で収束しない典型例として、\(\sqrt{2}\) に近づく有理数列が挙げられる。各項は有理数であり、互いの差も次第に小さくなるが、極限値 \(\sqrt{2}\) は有理数ではない。
このような例は、コーシー性だけでは収束先の存在を保証できず、空間の選び方が決定的であることを示す。
4 応用
コーシー列は、単なる定義にとどまらず、級数、関数列、空間の構成など多方面で使われる。とくに「極限を持つかどうか」を、局所的な近さの情報から判定できる点が有用である。
4.1 級数の収束判定
級数 \(\sum a_n\) の収束は、部分和の列がコーシー列であることと同値である。したがって、級数の収束を調べる際には、部分和同士の差が小さくなるかを確認すればよい。
この見方は、級数の評価や収束判定において基本的である。特に絶対収束や一様収束の理論でも、コーシー型の条件がしばしば現れる。
4.2 関数列と一様コーシー列
関数列 \((f_n)\) に対しても、一様ノルムなどの距離を入れることでコーシー性を定義できる。各点ごとではなく、全域で一様に近づく性質を表す場合には、一様コーシー列という考え方が用いられる。
これは一様収束と深く関係し、関数空間が完備であるかどうかを調べる際に重要である。例えば、連続関数の空間では、一様コーシー列の極限が再び連続関数になることが多い。
4.3 完備化の構成
完備化とは、与えられた距離空間に不足している極限点を追加して完備な空間を作る手続きである。コーシー列を同値類でまとめ、その極限を新しい点として解釈する方法が標準的である。
この構成により、元の空間は完備空間の中に自然に埋め込まれる。実数の構成はその代表例であり、コーシー列は「空間を完成させるための素材」として機能する。