1 定義と基本概念
1.1 固有値と固有ベクトル
固有値と固有ベクトルは、線形変換の基本的な性質を特徴づける量である。n次正方行列Aに対して、零ベクトルでないベクトルvとスカラーλがA v = λ vを満たすとき、λを固有値、vをλに対応する固有ベクトルと呼ぶ。固有ベクトルは変換によって方向が変わらず、大きさのみが固有値倍される。固有値は特性多項式det(A - λI) = 0の根として求まる。固有値と固有ベクトルのペアは、行列の作用を簡潔に表現する基礎となる。
1.2 行列の対角化可能性
行列Aが対角化可能であるとは、ある正則行列Pと対角行列Dが存在して、P⁻¹AP = Dとできることを意味する。これはAがn個の線形独立な固有ベクトルを持つことと同値である。固有値がすべて相異なる場合、対応する固有ベクトルは線形独立であるため、対角化可能である。一方、固有値に重複がある場合でも、各固有値に対する固有空間の次元がその代数的重複度と一致すれば対角化可能となる。対角化不可能な行列は、一般にはジョルダン標準形に分解される。
1.3 固有値分解の表現と一意性
固有値分解は、対角化可能な行列Aに対して、A = QΛQ⁻¹と表される。ここでQの列は固有ベクトル、Λは対応する固有値を対角成分とする対角行列である。この分解は、固有ベクトルのスケーリングや順序の自由度を除いて一意である。すなわち、固有ベクトルを任意の非零定数倍しても等式は成立し、固有値の順序を変えるとそれに応じてQの列も並び替えられる。固有値分解は行列のべき乗計算や関数の定義に有用である。
2 数学的性質
2.1 実対称行列の固有値分解
実対称行列A（Aᵀ = A）は、必ず実数の固有値を持ち、直交行列によって対角化可能である。すなわち、A = QΛQᵀと分解でき、Qの列は正規直交する固有ベクトルからなる。この性質により、実対称行列の固有値分解は数値的に安定であり、主成分分析や二次形式の最適化などに頻繁に利用される。また、固有値の符号は行列の正定性を判定する基準となる。
2.2 エルミート行列とユニタリ行列による分解
複素数の範囲では、実対称行列に対応するのがエルミート行列（A* = A、*は共役転置）である。エルミート行列はすべて実数の固有値を持ち、ユニタリ行列U（U*U = I）によって対角化される：A = UΛU*。この分解は量子力学における観測可能量の表現や信号処理で重要である。ユニタリ行列自身も、その固有値は絶対値1の複素数であり、ユニタリ行列による固有値分解は回転や位相シフトの理解に寄与する。
2.3 正規行列のスペクトル定理
正規行列はA*A = AA*を満たす行列であり、エルミート行列やユニタリ行列を含むより広いクラスである。スペクトル定理は、正規行列がユニタリ行列によって対角化可能であることを主張する。すなわち、A = UΛU*と分解できる。この定理は、線形代数学における対角化可能性の最も一般的な条件を与える。正規行列の固有値は一般に複素数となるが、固有ベクトルは直交系をなす。
3 計算方法
3.1 特性方程式による解析的解法
n次正方行列Aの固有値を求める古典的な方法は、特性方程式det(A - λI) = 0を解くことである。これはλに関するn次多項式であり、n ≤ 4の場合は代数的な解の公式が存在するが、n ≥ 5では一般には解析的に解けない（アーベル-ルフィニの定理）。そのため、この方法は小規模な行列や理論的な解析に限られる。固有ベクトルは、各固有値に対して連立一次方程式(A - λI)v = 0を解くことで得られる。
3.2 数値的アルゴリズム
実際の応用では、大規模な行列の固有値分解を数値的に計算するアルゴリズムが用いられる。
3.2.1 QRアルゴリズム
QRアルゴリズムは、現在最も広く使われる固有値計算手法の一つである。行列AをQR分解（直交行列Qと上三角行列Rの積）し、A₁ = RQと更新する操作を繰り返すことで、対角成分に固有値が現れる上三角行列に収束させる。高速化のためにシフト戦略やヘッセンベルグ化が併用され、実用的な計算効率を達成する。このアルゴリズムはすべての固有値を同時に求めることができる。
3.2.2 べき乗法と逆反復法
| べき乗法は、最大絶対値の固有値と対応する固有ベクトルを求める反復法である。適当な初期ベクトルx₀から始め、xₖ₊₁ = A xₖ / | A xₖ | を繰り返すことで、優勢固有ベクトルに収束する。逆反復法は、原点シフトを施した行列(A - μI)⁻¹に対してべき乗法を適用し、μに最も近い固有値を求める。これらの手法は、特定の固有値のみが必要な場合に効率的である。 |
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4 応用例
4.1 主成分分析（PCA）
主成分分析は、多次元データの分散を最大化する直交軸を求める手法であり、データの共分散行列（実対称行列）の固有値分解に基づく。最大固有値に対応する固有ベクトルが第一主成分を与え、データの最も大きな変動方向を示す。寄与率は固有値を全固有値の和で割った値で表され、次元削減における情報量の指標となる。PCAは画像圧縮や遺伝子解析など、多くの分野で利用される。
4.2 力学系の安定性解析
線形力学系dx/dt = A xの安定性は、行列Aの固有値の実部によって決まる。すべての固有値の実部が負であれば系は漸近安定であり、少なくとも一つの実部が正であれば不安定となる。固有値分解により、解はx(t) = Q e^{Λt} Q⁻¹ x(0)と表され、各モードの時間発展が明示される。この解析は制御理論や振動工学で不可欠である。
4.3 グラフスペクトル理論
グラフの隣接行列やラプラシアン行列の固有値は、グラフの構造特性を反映する。
4.3.1 ラプラシアン行列の固有値分解
グラフのラプラシアン行列Lは、L = D - A（Dは次数行列、Aは隣接行列）と定義される。Lは実対称半正定値行列であり、その最小固有値は常に0で、対応する固有ベクトルは定数ベクトルである。2番目に小さい固有値（Fiedler値）はグラフの連結性や分割の良さを測る指標となる。固有値分解により、グラフのスペクトルクラスタリングやラプラシアン埋め込みが実現される。