1 体準同型の定義と基本性質
1.1 体準同型の公理的定義
1.1.1 加法・乗法の保存
体 \(K\) から体 \(L\) への体準同型とは、写像 \(\varphi:K\to L\) であって、加法と乗法の演算を保つものをいう。すなわち、任意の \(a,b\in K\) に対し \[ \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\qquad \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) \] が成り立つ。この条件により、\(\varphi\) は \(K\) の環としての基本構造（加法群としての構造および可換積の構造）を矛盾なく写像先へ移す。
1.1.2 単位元と零元の挙動
加法の保存から、零元の振る舞いが自動的に決まる。すなわち、\(0=0+0\) を代入すると \[ \varphi(0)=\varphi(0)+\varphi(0) \] となり、\(L\) の加法消去法則より \(\varphi(0)=0\) が従う。
さらに零元でない体の文脈では、単位元の扱いが重要である。多くの流儀では「体準同型」は \(1\mapsto 1\) を課す場合があるが、ここでは加法・乗法の保存に加えて、単位元に関する同型に近い条件を明確化するため、次のように区別するのが一般的である。すなわち、\(\varphi(1)=1\) を満たす写像は体上の構造に忠実なものとして特に重視される。一方、\(\varphi(1)=0\) の場合は乗法保存と整合するため自明な退化が起きる（後述の「零準同型」参照）。
1.2 自動的に従う性質
1.2.1 逆元の保存
\(\varphi(1)=1\) を仮定すると、非零元の逆元に対しても保存が成立する。任意の \(a\in K\) で \(a\neq 0\) とすると、\(aa^{-1}=1\) であるから \[ \varphi(a)\varphi(a^{-1})=\varphi(1)=1 \] となり、\(\varphi(a)\neq 0\) が導かれる。よって \(\varphi(a)^{-1}\) が存在し、両辺の積が \(1\) であることから \[ \varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1} \] が従う。これにより、準同型は体の「可逆性」に関する情報まで保つ。
1.2.2 整数倍・冪の保存
加法の保存は繰り返し適用により、整数倍の一致を与える。整数 \(n\) に対し、通常の体の定義に従って \(na=a+\cdots+a\) とすると \[ \varphi(na)=n\varphi(a) \] が成り立つ。冪についても同様に、乗法の保存を用いると \[ \varphi(a^m)=\varphi(a)^m \] （自然数 \(m\)）が得られる。指数が負の場合も逆元の保存により拡張される。
さらに、これらの性質は \(K\) の部分体（後述）における同一視と結びつき、準同型が「定数の系」をどれだけ規定するかを反映する。
1.2.3 不変部分と不変部分体
\(\varphi:K\to L\) が与えられたとき、ある元 \(a\in K\) が \(\varphi(a)=a\) を満たすなら \(a\) は「固定（不変）」である。自己準同型 \(\varphi:K\to K\) の場合には、固定集合 \[ \mathrm{Fix}(\varphi)=\{a\in K\mid \varphi(a)=a\} \] を考えられる。加法と乗法が保たれるため、\(\mathrm{Fix}(\varphi)\) は体の部分集合として閉じ、実際には（\(\varphi(1)=1\) のもとで）部分体になる。
より一般に、複数の自己準同型の族に対して同時に固定される元全体は固定部分体として理解される。これはガロア理論で「拡大の対称性と固定部分体」が対応する入口となる。
1.3 埋め込み（単射）と核
1.3.1 核の特徴づけ
準同型 \(\varphi:K\to L\) の核は \[ \ker\varphi=\{a\in K\mid \varphi(a)=0\} \] で定義される。加法の保存から、核は \(K\) の部分加群になり、さらに乗法保存から、零でない元の扱いにより性質が強くなる。
体 \(K\) の部分加群は通常かなり制限されるため、核は大域的に次の形に分類される。すなわち、\(\ker\varphi\) が \(\{0\}\) であるか、あるいは \(\varphi\) が退化して全ての元を零へ送る場合（\(\ker\varphi=K\)）である。特に、\(\varphi(1)=1\) が成り立つときは、\(1\notin \ker\varphi\) なので核は \(\{0\}\) に限られる。逆に \(\varphi(1)=0\) なら核は全体に一致する。
1.3.2 単射性の条件
核が \(\{0\}\) であることは、\(\varphi\) が単射であることと同値である。実際、\(\varphi(a)=\varphi(b)\) なら加法保存より \[ \varphi(a-b)=\varphi(a)-\varphi(b)=0 \] となり、\(\ker\varphi=\{0\}\) があれば \(a-b=0\)、つまり \(a=b\) が従う。
したがって、体準同型で単射性を得る最も実用的な判定は、退化の可能性を除くこと、すなわち \(\varphi(1)=1\)（非退化）を確認することである。これにより、準同型は「体の元を情報欠落なしに埋め込む」埋め込みとして働く。
2 体準同型の例
2.1 自明な準同型
2.1.1 恒等写像
任意の体 \(K\) に対して恒等写像 \(\mathrm{id}_K:K\to K\) は体準同型である。加法・乗法の保存は定義により自明であり、核は \(\{0\}\)、像は全体 \(K\) となるため、最も基本的な例として位置づけられる。
2.1.2 零準同型の扱い
体 \(K\) から体 \(L\) への写像で、すべての元を零へ写す \(\varphi(a)=0\) を考えると、加法・乗法の保存は成立する（両辺とも零になる）。この写像は \(\varphi(1)=0\) を満たすため、単射性は成立せず、核は全体 \(K\) に等しい。多くの文脈では構造を反映するという意味で重要視されないが、定義に含める流儀では退化例として必ず記述される。
2.2 身近な構成例
2.2.1 有理数体からの像
有理数体 \(\mathbb{Q}\) は任意の体に自然に埋め込める対象であり、準同型の具体化が容易である。たとえば \(\varphi:\mathbb{Q}\to L\) を非退化（\(\varphi(1)=1\)）とし、整数 \(n\) に対し \(\varphi(n)=n\) が従うと、割り算 \(a/b\) では \[ \varphi(a/b)=\varphi(a)\varphi(b)^{-1} \] により値が一意に決まる。よって非退化な準同型は、実質的に「\(\mathbb{Q}\) を \(L\) の中の定数として同一視する」操作になる。
2.2.2 有限体上の準同型（フロベニウス型）
有限体 \(\mathbb{F}_q\)（ここで \(q\) は素数冪）では、体の自己準同型としてフロベニウス写像 \[ \mathrm{Fr}:\mathbb{F}_q\to \mathbb{F}_q,\quad \mathrm{Fr}(x)=x^p \] が基本例となる。ここで \(p\) は基礎の素数である。乗法と加法の性質から、フロベニウスは体演算を保ち、しかも全射かつ単射になりやすい（有限性により全単射が一致する）。さらに \(\mathrm{Fr}^n(x)=x^{p^n}\) の形でべき乗が構成でき、どのべきが恒等になるかは体の位数により決まる。
2.3 拡大体での具体例
2.3.1 多項式で定めた像
拡大体の典型的な構成は、ある元 \(\alpha\) を代数的に定め、その最小多項式で制約されたものとして扱うことである。例えば \(K(\alpha)\) を \(K\) 上の拡大体とし、\(\alpha\) が多項式 \(f\) の根として与えられる状況を想定する。準同型 \(\varphi:K(\alpha)\to L\) を考えるとき、まず \(\varphi\) は \(K\) 上で決まっている必要があり、次に \(\alpha\) の像 \(\varphi(\alpha)\) を選ぶことで拡張が試みられる。
ただし拡張が成立するには \(\varphi(\alpha)\) が \(f\) の適切な意味での根になる必要があり、結果として「最小多項式での整合条件」が自然に出てくる。これにより、多項式の根の対応が準同型の存在と密接になる。
2.3.2 係数体の変更に伴う準同型
係数の取り替え（たとえば \(\mathbb{Q}\) 上で定義した多項式を別の体係数に移す）を行うと、拡大体の中で同様の関係式が成り立つように準同型が作れる場合がある。具体的には、ある拡大 \(K\subset E\) を考え、\(\psi:K\to L\) が与えられているときに、\(E\) の元の定義が多項式関係で規定されているなら、その関係式を \(L\) 上へ写したものが矛盾なく満たされる選択が必要になる。
この種の問題は「拡大での延長」に分類され、存在性と一意性（あるいは複数候補）を左右するのが最小多項式の整合性である。
3 体準同型と代数的構造
3.1 拡大体と制限・延長
3.1.1 部分体への制限
| 準同型 \(\varphi:E\to L\) が与えられ、部分体 \(K\subset E\) を取ると、制限 \(\varphi | _K:K\to L\) も準同型になる。演算保全の条件は部分集合に対してもそのまま成立するためである。 |
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この制限は情報を失う方向の操作に見えるが、逆に言えば「大きな体での写像の性質」は「小さな体上の値」によって方向付けられることを示す。特に、制限が単射であるかどうかは拡大全体の単射性と関連する。
3.1.2 拡大での延長問題
| 逆に、部分体上で定義された準同型 \(\psi:K\to L\) を拡大 \(E\supset K\) へ延長したい場合がある。延長とは、\(\varphi:E\to L\) があって \(\varphi | _K=\psi\) を満たすものを探す操作である。 |
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一般論では延長は一意に決まらないことも多いが、代数的元の状況に限ると、延長の候補は最小多項式の根の選択により整理できる。さらに、延長可能性の可否は「像側で多項式関係が実現されるか」という可換性の条件として現れる。
3.2 最小多項式との関係
3.2.1 代数的元の像の決定
拡大体において、ある元 \(\alpha\) が \(K\) 上代数的であるとする。このとき \(\alpha\) は最小多項式 \(m_\alpha(t)\in K[t]\) を持つ。準同型を考えると、\(\varphi(\alpha)\) は \(m_\alpha\) による関係式を像側で満たす必要がある。
具体的には、\(m_\alpha(\alpha)=0\) が成り立つので、加法・乗法の保存を通じて \[ m_\alpha^\varphi(\varphi(\alpha))=0 \] という形の条件が導かれる。ここで \(m_\alpha^\varphi\) は係数を \(\psi\) の作用で移した多項式と見なせる。結果として、\(\varphi(\alpha)\) は最小多項式の像側での零点のいずれかに限られ、自由度は大幅に抑えられる。
3.2.2 準同型による多項式分解の対応
延長の可否や複数性は、多項式の因子分解と結びつく。\(K\) 上の多項式 \(f(t)\) を考え、その根の候補が準同型の値として現れるとすれば、\(f\) がどのように分解するかに応じて、どの根集合が実現可能かが決まる。
特に、分解形が異なる場合には準同型の取り得る像の形も異なり、同じ体上の代数的構造が「写像の分類」に反映される。この見方は、ガロア理論が後に与える組織的な対応へ自然に接続する。
3.3 像と部分体
3.3.1 生成部分体の特徴
準同型 \(\varphi:K\to L\) の像 \(\varphi(K)\) は、一般には部分体ではないように見えるが、条件のもとで部分体になり得る。たとえば \(\varphi\) が単射でない場合でも、加法・乗法保存により \(\varphi(K)\) は \(L\) の中で閉じた代数的集合として振る舞う。
さらに、像は \(\varphi\) によって移された元の集合から生成される部分体として記述できる。たとえば、\(K\) が特定の元たちで生成される状況では、像はそれらの像元で生成される最小の部分体になる。
3.3.2 収束先の部分体と次数
延長を行うとき、準同型が着地する先の部分体（像の作る部分体）は、拡大の次数と関係する。特に有限次拡大では、原像側の情報量（次元に相当）と、像側でどれだけ新しい独立性が保たれるかが対応してくる。
準同型が単射である場合、像は体としての構造を失わず、その拡大の「サイズ」もある意味で一致する。これを定量化するには、ベクトル空間としての次元や、代数的元の次数の比較を用いる。結果として、写像の存在・数・振る舞いが次数の値に制約される。
4 同型との関係と分類の観点
4.1 体同型との違い
4.1.1 全単射性による同型
体準同型が全単射であれば、体同型になる。全射性は「像が作る部分体が元の体全体に一致する」ことを意味し、単射性は核が零に限られることを意味する。
したがって、体準同型はしばしば「同型の可能性を含むが、像が部分にとどまる場合」を含む概念として位置づく。同型はより強い対称性を表し、準同型はその対称性の一部を実現する。
4.1.2 同型による不変量
同型では体の構造が完全に一致するため、分解のパターン、代数的依存の関係、固定部分体に関わる情報などが保たれる。これにより「どの性質が同型不変か」を調べることができる。
準同型の場合は像が部分体に限られるため、不変量の範囲は同型より狭くなることがある。それでも最小多項式や、像での根の振る舞いなど、代数的な条件は多くの場面で保全される。
4.2 ガロア理論への入口
4.2.1 自己準同型の集合としての見方
ガロア理論では主に体の自己同型（あるいは自己準同型）を考える。たとえば拡大 \(E/K\) に対して、\(K\) を固定する自己同型の集合を集めると、その族は組成により群になる。準同型の枠組みでまず理解すると、自己写像の条件がどのように群構造へ移るかが見えやすくなる。
固定する部分体を意識すると、準同型が持つ情報が「どの式が不変に保たれるか」という言い方で整理される。
4.2.2 拡大の対称性と固定部分体
自己同型の族が大きいほど拡大には強い対称性がある。その対称性の下で動かされない元全体が固定部分体であり、拡大の構造を逆向きに読み解く手がかりになる。
この考え方は、分解の因子や、群作用による軌道分解などへ自然に展開される。したがって、体準同型の基本的概念（核・像・延長・最小多項式との整合）が、ガロア理論の言語へ橋渡しする役割を担う。
4.3 度数・群論的視点（準同型の数）
準同型の「数」は一般に簡単には決まらないが、有限次拡大の状況では制約が強くなる。特に、自己準同型や同型の数は、関連する群の位数、あるいは多項式の根の取り方と結びつく。
群論的には、ある準同型の選択が系統的に整理されることで、候補の集合は群作用の軌道として理解できる場合がある。これにより、同じ次数を持つ拡大でも準同型の多寡が異なる理由を、代数的データと群の性質の対応として説明できる。