1 定義と基本概念
負荷量（Loading）は、統計学、特に因子分析や主成分分析において、観測変数と潜在変数（因子）との間の関連の強さを示す指標である。因子負荷量とも呼ばれ、各観測変数がどの程度特定の因子によって説明されるかを数値化する。値の絶対値が大きいほど、その変数と因子との関係が強いことを意味し、心理測定学やマーケティングリサーチなどの多変量解析において、データ構造の解釈や尺度の妥当性検証に不可欠な概念である。
1.1 因子分析における負荷量
因子分析では、観測変数は少数の共通因子と独自因子の線形結合で表される。負荷量は、各観測変数が各共通因子から受ける影響の大きさを示す回帰係数であり、因子分析モデルにおいて中核的なパラメータである。共通因子間が無相関である直交モデルでは、負荷量の二乗はその変数の分散のうち因子によって説明される割合（共通性）を表す。
1.2 主成分分析における負荷量
主成分分析では、負荷量は各主成分と元の観測変数との相関係数として定義される。これは主成分スコアの係数行列とは区別される。負荷量の絶対値が大きい変数ほど、その主成分の解釈に重要であり、変数と主成分の関連の強さを直接示す。各主成分の負荷量ベクトルは固有ベクトルに各主成分の標準偏差を乗じたものに等しい。
1.3 負荷量の幾何学的解釈
幾何学的には、負荷量は観測変数ベクトルを因子軸（または主成分軸）へ射影したときの座標値と解釈できる。\(p\)次元空間において、\(m\)個の因子軸が張る部分空間に各変数ベクトルを射影したとき、その射影の長さが負荷量の絶対値に対応する。変数ベクトルと因子軸のなす角度の余弦が負荷量となるため、負荷量の値域は理論上-1から1の範囲をとり、0に近いほど変数と因子の関連が弱いことを示す。
2 計算と推定方法
負荷量の推定には、観測データから因子構造を仮定して母数を推定する手法が用いられる。代表的な方法として最尤推定法、最小二乗法、主因子法がある。
2.1 最尤推定法
2.1.1 基本的な原理
最尤推定法は、観測データが多変量正規分布に従うと仮定し、尤度関数を最大化するように負荷量と独自分散を推定する。尤度関数は因子分析モデルの共分散構造に基づき、反復計算によって解を求める。この方法は統計的効率性が高く、漸近的な性質が良好である。
2.1.2 収束基準と問題点
最尤推定法では、反復計算の収束基準として、対数尤度の変化量やパラメータの変化量が事前に設定した閾値以下になることを用いる。問題点として、解が局所最適解に陥る可能性があること、初期値に依存すること、サンプルサイズが小さい場合や変数間の相関が極端に高い場合に収束しないことがある。また、因子数が適切でないと推定が不安定になる。
2.2 最小二乗法
最小二乗法は、観測された相関行列（または共分散行列）と、モデルから再生される相関行列との差の二乗和を最小化するように負荷量を推定する。反復計算を必要とせず、初期推定として主因子法と組み合わせて用いられることも多い。計算が比較的単純で、正規性の仮定が不要である反面、統計的な検定が行いにくい欠点がある。
2.3 主因子法
主因子法（Principal Axis Factoring）は、相関行列の対角要素を共通性の推定値で置き換えた縮約相関行列に対して固有値分解を行い、固有ベクトルから負荷量を求める方法である。共通性の推定にはSMC（Squared Multiple Correlation）などが用いられる。この方法は非反復的で計算が迅速だが、共通性の推定値の精度に依存する。主因子法は探索的因子分析で広く使用される。
3 種類と特徴
3.1 直交回転による単純構造
直交回転は、因子軸を互いに直交したまま回転させる手法で、解釈を容易にするために用いられる。回転後も因子間の相関はゼロである。単純構造（Simple Structure）とは、各変数が少数の因子にだけ高い負荷量を持ち、他の因子には低い負荷量を持つようなパターンを指す。
3.1.1 バリマックス回転
バリマックス（Varimax）回転は、各因子における負荷量の分散を最大化する直交回転法である。これにより、各因子に高い負荷量を持つ変数群が明確に分かれるため、因子の解釈が容易になる。最も広く用いられる直交回転法であり、心理尺度の開発などで標準的に使用される。
3.1.2 クォーティマックス回転
クォーティマックス（Quartimax）回転は、全負荷量の四分乗和を最大化する直交回転法である。バリマックスが因子ごとの単純化を目指すのに対し、クォーティマックスは変数ごとの単純化を重視し、一般に第一因子に多くの変数が集まる傾向がある。そのため、単一の一般因子が存在する場合に適している。
3.2 斜交回転による因子相関
斜交回転は、因子軸を直交させる制約を課さず、因子間の相関を許容する回転法である。現実のデータでは因子間に相関があることが多く、斜交回転はより現実的な解を提供する。得られた負荷量行列はパターン行列と構造行列に分けられる。
3.2.1 プロマックス回転
プロマックス（Promax）回転は、まず直交回転（通常はバリマックス）を行った後、ターゲット行列を生成して斜交回転を施す方法である。計算が高速で、大規模データにも適用しやすい。ターゲット行列は、直交解の負荷量を累乗して単純構造を強調したものを作成する。
3.2.2 オブリミン回転
オブリミン（Oblimin）回転は、直接的に斜交解を求める方法で、単純構造を測る基準（オブリミン基準）を最適化する。パラメータγ（ガンマ）によって因子の斜交度を調整でき、γ=0のとき直接オブリミン、γ<0のときバイコーティミン、γ>0のときコーティミンと呼ばれる。因子間相関が中程度以下の場合によく用いられる。
3.3 負荷量の正負と解釈
負荷量の符号は、変数と因子の間の関係の方向を示す。正の負荷量は変数の値が大きいほど因子スコアが高い方向に寄与することを、負の負荷量は変数の値が大きいほど因子スコアが低くなることを意味する。絶対値の大きさが重要であり、正負は測定尺度の向きに依存するため、解釈時には項目の内容と合わせて判断する。例えば、反転項目では負の負荷量が意味的に正の関連を示すことがある。
4 解釈と応用
4.1 マーケティングリサーチ
マーケティングリサーチでは、消費者属性やブランド評価に関する多数の項目から、潜在的な購買動機や知覚構造を抽出するために因子分析が用いられる。負荷量の解釈により、消費者がブランドをどのような次元で評価しているかを明らかにできる。
4.1.1 ブランドイメージの因子構造
ブランドイメージの調査では、品質、価格、信頼性などの複数の評価項目を収集し、因子分析を適用する。高い負荷量を示す項目群から、例えば「高級感因子」「機能性因子」「情緒的価値因子」などのラベルを付与する。負荷量が0.6以上の項目をその因子の代表項目として選定するのが一般的である。
4.2 心理尺度の構成概念妥当性
心理測定において、尺度の構成概念妥当性を検証するために確認的因子分析（CFA）が利用される。高い負荷量（通常0.4以上）は、その項目が仮定された因子を適切に測定していることを示す。逆に負荷量が低い項目は、その因子との関連が弱く、項目の削除や再検討が必要と判断される。負荷量の二乗である説明分散（共通性）も併せて評価される。
4.3 社会調査における態度測定
社会調査では、政治意識や消費行動など多次元的な態度を測定するために、多数のリッカート尺度項目から因子分析で潜在次元を抽出する。負荷量のパターンから、各質問項目がどの態度次元に属するかを判断し、尺度の信頼性と妥当性を確認する。また、負荷量を用いて因子スコアを算出し、回答者ごとの態度得点を求めることもできる。
5 検証と評価
5.1 統計的有意性検定
負荷量の統計的有意性は、標準誤差と臨界比（z値）を用いて検定できる。最尤推定法では、負荷量推定値の漸近標準誤差が計算可能であり、z値が1.96以上（両側5%水準）で有意と判断される。ただし、サンプルサイズが大きいと小さな負荷量でも有意になりやすいため、実務的には効果量としての負荷量の大きさも併せて評価する。
5.2 負荷量の大きさの基準
負荷量の大きさの解釈には一般的な経験則がある。心理測定では0.3以上を「中程度」、0.5以上を「強い」、0.7以上を「非常に強い」とする基準がよく用いられる。ただし、これは分野や研究目的によって異なり、探索的段階では低めの閾値、確認的段階では高めの閾値が設定される。
5.2.1 実務的なカットオフ値
実務では、因子分析の結果を解釈する際に、負荷量の絶対値が0.4以上を「意味のある負荷量」とみなすことが多い。サンプルサイズが小さい場合（n<100）は0.5以上、大きい場合（n>300）は0.3以上を閾値とすることもある。また、クロス負荷量（複数の因子に高い負荷量を持つこと）が0.3以上の場合は、項目の弁別性に問題があると判断される。
5.3 クロスバリデーションと再現性
負荷量の安定性を確認するためには、サンプルを分割して因子分析を繰り返すクロスバリデーションが推奨される。異なるサブサンプルで得られた負荷量行列間の類似度（例えばタッカー一致性係数）が0.9以上であれば、因子構造の再現性が高いと判断される。また、ブートストラップ法を用いて負荷量の信頼区間を推定する方法も広く用いられる。
6 発展と関連概念
6.1 確認的因子分析との関係
確認的因子分析（CFA）では、研究者が事前に因子構造を仮説として設定し、負荷量のパターン（どの変数がどの因子にのみ負荷するか）を指定する。負荷量の推定値と適合度指標を用いて仮説モデルの妥当性を検証する。CFAにおける負荷量は探索的因子分析と同様に解釈されるが、因子間相関の制約や誤差間の共分散など、より複雑なモデルを扱える。
6.2 因子負荷量とパス係数の違い
因子負荷量は、観測変数が潜在変数に影響される程度を示す係数であり、測定モデルのパラメータである。一方、パス係数は構造方程式モデリング（SEM）において、潜在変数間の因果関係を示す係数である。因子負荷量は観測変数から潜在変数への反映（リフレクティブ指標）、パス係数は潜在変数から潜在変数への影響を表す点で区別される。両者はSEMの中で統一的に扱われるが、解釈上の役割が異なる。
6.3 高次因子分析における負荷量
高次因子分析では、一次因子の間の相関をさらに上位の二次因子で説明するモデルを構築する。この場合、一次因子自体が観測変数として扱われ、二次因子に対する一次因子の負荷量が推定される。一次因子の負荷量行列（観測変数から一次因子への負荷量）と二次因子の負荷量行列（一次因子から二次因子への負荷量）の積によって、観測変数から二次因子への間接的な負荷量が計算できる。高次因子分析は、多面的な構成概念の階層構造をモデル化する際に有用である。