1 像の基本概念

1.1 写像と像の定義

像（im）は、写像（関数）によって与えられる出力の集合として定義される。具体的には、集合 \(A\) から \(B\) への写像 \(f:A\to B\) に対して、像は \[ \operatorname{Im}(f)=\{\,f(a)\mid a\in A\,\} \] で与えられる。すなわち、入力集合 \(A\) の各要素を写した結果として、実際に到達し得る \(B\) 側の値全体を集めたものが像である。

1.2 到達集合としての見方

像を「到達集合」と捉えると、写像が実現できる成果の範囲が明確になる。入力 \(a\) を選んだときに出力 \(f(a)\) がどのような値を取り得るかを集約した集合が像であり、写像の設計や制約条件を考える際に、到達できるかどうかを判定する材料となる。

この見方は離散数学で特に有効である。たとえば、有限集合上の関数を考えるとき、像は列挙により直接求まる一方、構造が与えられた場合には生成される集合として理解することで計算量の節約につながる。

1.3 代表例（離散数学での登場）

離散数学では、像は関数・関係・生成規則の分析に頻出する。典型例として、有限集合 \(A=\{1,2,3,4\}\) 上の写像 \(f(a)=a\bmod 2\) を挙げると、像は \(\{0,1\}\) になる。入力は4通りあるが出力は2種類に限られるため、像は「情報の圧縮」や「到達可能性の制限」を表す。

また、グラフにおいて頂点集合から別の頂点集合へ張られた辺により到達できる頂点集合を考える場合、隣接関係による写像（あるいは関係の像）として同様の概念が現れる。さらに、生成関数や遷移規則を用いる問題でも、状態遷移で到達できる状態全体が像として整理できる。

2 像の性質

2.1 包含関係と写像の制約

写像 \(f:A\to B\) の像は定義により \(B\) の部分集合である。すなわち \[ \operatorname{Im}(f)\subseteq B \] が常に成り立つ。したがって、像の大きさや位置は、写像がどこまで到達できるか、またどの値が欠落するかを反映する。

像は単なる集合であるが、写像の種類や定義域・終域の扱いにより性質が強く制約される。たとえば終域を大きくしても像が変わらない場合があり、どちらが本質的な情報かを意識することが重要になる。

2.1.1 像に関する基本不等式

像の要素数は定義域の要素数を超えない。有限集合のとき \[

\operatorname{Im}(f)\leA

\] が成り立つ。理由は、写像で作られる値が \(A\) の各要素から得られるためである。複数の入力が同じ出力を共有することが許されるため、像は縮むことがある。

さらに、全射である場合には像が終域全体と一致するので、有限の場合には \[

\operatorname{Im}(f)=B

\] が得られる。逆に、像が \(B\) 全体に等しくないとき、ある値は到達不能であることを意味し、写像の性質（全射性の否定など）に直結する。

2.1.2 合成写像と像のふるまい

合成写像の像は、どの入力から第2段階の出力へ到達できるかで決まる。写像 \(f:A\to B\)、\(g:B\to C\) を考え、合成 \(g\circ f:A\to C\) の像を比較すると、 \[ \operatorname{Im}(g\circ f)=g(\operatorname{Im}(f)) \] が成り立つ。ここで右辺の \(g(\operatorname{Im}(f))\) は、集合への写像として \[ g(S)=\{g(b)\mid b\in S\} \] を意味する。

この等式は「まず \(f\) により到達できる \(B\) 側を絞り、その上で \(g\) がそこから \(C\) 側へ写す」という順序を反映している。したがって、合成の像の計算では中間像を経由するのが自然である。

2.2 合成・制限・拡張に伴う像

像の振る舞いは、写像の定義域や終域をどう扱うか、また写像そのものをどう変更するかで変化する。合成では中間での到達可能性が再利用され、制限では到達集合が縮む方向に働きやすい。一方、拡張では到達範囲が広がり得る。

2.2.1 部分集合への制限と像

部分集合 \(S\subseteq A\) に対し、制限写像 \(f_S:S\to B\) を考えると、像は

\[

\operatorname{Im}(f_S)=f(S)=\{f(s)\mid s\in S\}

\] となる。このとき一般に \[

\operatorname{Im}(f_S)\subseteq \operatorname{Im}(f)

\] が成り立つ。制限により入力が減るため、到達できる出力も減少または維持される。

特に、\(S\) が \(\operatorname{Im}(f)\) の各値に対応する前像を十分に含むときには、制限によっても像が一致することがある。逆に、ある出力の実現に必要な入力を落とせば像は確実に縮む。

2.2.2 射の拡張と像の変化

写像の拡張は、通常「定義域を広げる」「終域を変更する」といった形で現れる。定義域を拡張して \(f:A\to B\) を \(f':A'\to B\)（\(A\subseteq A'\)）へ広げると、像は \[ \operatorname{Im}(f)\subseteq \operatorname{Im}(f') \] となる可能性が高い。なぜなら、新たに追加された入力から出力が追加されることがあるからである。

一方、終域を狭める（同じ写像を考えつつ「到達しない値」を終域から除く）操作では像は変わらない場合が多い。終域は上限集合としての役割を持つため、実際に現れる値だけが像に反映される。

3 特殊な像の種類

3.1 全射・被覆と像

全射（surjection）とは、写像の像が終域全体と一致する写像である。すなわち \(f:A\to B\) が全射であることは \[ \operatorname{Im}(f)=B \] と同値である。

全射では、終域の各要素が少なくとも一つの入力により実現されるため、像による欠落が起きない。離散数学では「到達可能性が完全である」ことが重要になり、このとき像が終域と一致するという条件が判定基準として働く。

3.1.1 全射での像の特徴

全射では各 \(b\in B\) が前像を持つ。つまり写像方程式 \(f(a)=b\) は解を持つ。像が \(B\) に等しいことは、出力側の基底要素（到達候補）がすべてカバーされていることを意味する。

ただし全射でも、入力側から見たときに一対一とは限らないため、像の一致がただちに単射性へ結び付くわけではない。像は「到達の有無」を表し、「入力の重複」の程度は別の性質として扱うのが一般的である。

3.2 単射と像の関係

単射（injection）は異なる入力が異なる出力へ送られる写像である。単射の場合、像の要素数は定義域の要素数と一致する。有限集合で \[

A=\operatorname{Im}(f)

\] が成り立つ。

ただし単射では像が終域の一部にとどまる可能性がある。終域の要素のうち到達できないものが存在すれば全射ではないため、像は \(B\) の真部分集合となる。このように単射と全射は別の軸であり、像の情報だけでは完全に判定できない場合がある。

3.2.1 単射の場合の像の扱い

単射であるとき、像上では逆写像（像への写像としての逆）が定義できる。具体的には、\(\operatorname{Im}(f)\subseteq B\) 上に制限した逆関数 \(f^{-1}:\operatorname{Im}(f)\to A\) が存在する。

この状況は計算にも応用され、出力が得られたときに入力を一意に復元できる。離散的データ処理では「推定結果が一意」という条件が重要になり、像が持つ構造的性質が間接的に利用される。

3.3 関係としての像

関係（relation）は、写像と異なり入力ごとに複数の出力があり得る。関係 \(R\subseteq A\times B\) に対し、像（関係の像）を \[ R[A]=\{\,b\in B\mid \exists a\in A,\ (a,b)\in R\,\} \] のように定義する。これは「\(A\) 側の要素から関係で結ばれる \(B\) 側の要素全体」であり、到達可能性の集合として解釈できる。

3.3.1 関係の像と合成の対応

関係 \(R\subseteq A\times B\)、\(S\subseteq B\times C\) を考え、合成関係 \(S\circ R\subseteq A\times C\) を標準的な定義で作ると、像は写像の場合と似た形で振る舞う。すなわち \[ (S\circ R)[A]=S[R[A]] \] が成り立つ。直観的には、まず \(R\) により中間の候補集合を取り、その候補に対して \(S\) の関係で \(C\) へ到達する要素を集める、という段階構造が反映される。

この対応は、グラフの到達集合や遷移閉包などの議論で役立つ。関係は分岐を許すため、像は写像以上に「集合生成」の側面を強く持つ。

4 像の計算と応用

4.1 像を求める手順

像を求める基本は「出力として現れる値を集める」ことである。ただし実際には、定義域が大きい場合に全列挙が非効率になるため、構造の利用や条件の扱いが重要になる。

4.1.1 簡単な写像の列挙による計算

最も素朴な方法は、定義域の全要素を走査して \(f(a)\) を計算し、重複を除いて集合にまとめる手順である。有限集合で値の計算が容易な場合には、この方法で像が直接得られる。

例えば \(A=\{0,1,2,3\}\)、\(f(a)=a^2\) のような場合、出力は \(\{0,1,4,9\}\) である。重複がないためそのまま像に等しいが、例えば \(f(a)=a(a-1)\) のように一致が起きると、集合化によって重複が吸収される。

4.1.2 条件付き写像の像の決定

定義が条件つきで与えられる場合、像は「どの出力値が条件を満たす入力から生成されるか」を調べて決める。典型例として、\(f(a)=g(a)\) に加えて「\(a\) が条件を満たすときのみ値を考える」といった状況では、まず有効な入力集合を抽出し、その上で写像の出力を求める。

このとき制限 \(f_S\) の像に帰着できることが多い。すなわち「条件を満たす入力だけ」を \(S\) と見なして \(f(S)\) を計算する方針を取ると整理が簡潔になる。

4.2 逆像との対比

像は出力側の集合であるのに対し、逆像は入力側で条件を満たす要素を集めた集合である。写像 \(f:A\to B\) と部分集合 \(T\subseteq B\) に対し、逆像は \[ f^{-1}(T)=\{\,a\in A\mid f(a)\in T\,\} \] で定義される。

像と逆像は役割が反転しているため、性質の向きも異なる。像は包含関係では比較的単純な性質を持つ一方、逆像は集合演算（和や交わり）との整合性が高いことがある。離散数学の証明では、この対比を手がかりに議論の向きを決める場面がある。

4.2.1 逆像と像の性質の比較

像は「到達した値」をまとめるため、合成では中間結果を写す操作として整理されやすい。一方逆像は「出力がある集合に入る入力」を集めるので、条件の反映が明確である。

具体的には、像は一般に等式で表せるが、逆像を通じて得られる集合は元の条件に依存する。さらに、逆像は終域側の集合 \(T\) を変えることで入力集合の切り出しが生じるため、論理的条件の表現として使われやすい。両者を往復させることで、到達可能性と条件充足の両面から理解が進む。

4.3 グラフ・集合族での応用

像の概念はグラフ理論や集合族の操作に自然に現れる。グラフで頂点集合 \(V\) と、辺により定義される到達可能性を考えると、ある頂点集合から一手で到達できる頂点全体は関係の像として表せる。さらに複数手の到達は関係の合成を繰り返すことに対応し、像の計算がそのまま到達集合の列挙問題になる。

集合族の文脈でも、写像を通じて部分集合がどのように生成されるかという問いが像の言葉で整理される。例えば「状態空間から観測量へ写す」操作を考えると、観測量として現れ得る値の集合が像である。これにより、観測で識別できる範囲や、観測では区別できない状態のまとまり（像への潰れ）が理解しやすくなる。