状態空間（State Space）とは、システムが取りうるすべての状態を集合として記述する数学的枠組みである。各状態は状態変数と呼ばれる変数の組で表現され、その変数の値によってシステムの瞬間的な振る舞いが特徴づけられる。状態空間はシステムの動的解析や制御、最適化問題の定式化において基礎的な役割を果たす。
1.1 状態と状態変数
状態とは、システムを完全に記述するために必要な最小限の情報であり、状態変数はその構成要素となる独立な変数である。例えば、質点の運動は位置と速度を状態変数とすることで記述される。状態変数の選択により、システムの挙動を一意に決定できる。
1.1.1 連続状態空間と離散状態空間
状態変数が実数値のような連続的な値をとる場合、状態空間は連続状態空間となる。一方、状態変数が整数や有限個のラベルのような離散的な値をとる場合は離散状態空間と呼ばれる。この区別はシステムのモデル化や解析手法の選択に重要な影響を与える。
1.2 状態空間の数学的構造
状態空間は単なる集合ではなく、その上に代数構造や位相構造を導入することで、より豊かな解析が可能となる。特に線形システムではベクトル空間の構造が、非線形システムや連続系では位相空間の構造が用いられる。
1.2.1 ベクトル空間としての解釈
線形システムにおいて、状態空間はベクトル空間とみなせる。状態変数の線形結合が再び状態となる性質を持ち、加法とスカラー倍が定義される。これにより、線形代数の手法（固有値分解や基底変換）を用いた解析が可能となる。
1.2.2 位相的性質
状態空間に位相（開集合や距離）を導入することで、状態の近さや連続的な変化、極限操作を議論できる。例えば、ユークリッド空間では通常の距離が用いられ、多様体上の状態空間では局所的にユークリッド空間と同相な構造が仮定される。これにより、状態軌道の収束や安定性の解析が可能となる。
状態空間はその性質に応じて、離散／連続、有限／無限などに分類される。これらの分類は応用分野や解析手法の選択を左右する。
2.1 離散状態空間
状態が離散的な値の集合からなる状態空間。状態間の遷移は離散的なステップで行われ、主にグラフ理論や組合せ論的な手法で扱われる。
2.1.1 有限状態空間
状態の数が有限である状態空間。オートマトン、有限ゲームの局面、デジタル回路の状態などが典型例である。状態数が有限であるため、全探索や動的計画法が原理的に可能である。
2.1.2 無限状態空間
状態の数が可算無限またはそれ以上となる離散状態空間。例えば、無限に続く整数カウンタやスタックを持つシステムが該当する。解析には帰納的定義や不動点理論が必要となる。
2.2 連続状態空間
状態変数が連続値をとる状態空間。物理システムの多くは連続状態空間でモデル化される。
2.2.1 ユークリッド空間における状態空間
状態空間がR^nの部分集合として表現される場合。例としては、位置と速度で記述される質点系や、電圧・電流で記述される電気回路が挙げられる。ベクトル空間の構造をそのまま利用できる。
2.2.2 多様体上の状態空間
状態空間が曲がった空間（多様体）である場合。例えば、ロボットアームの関節角度はトーラス（ドーナツ状の空間）を構成する。多様体上の状態空間では局所座標を用いた解析が行われる。
2.3 状態遷移と軌道
システムの時間発展は状態遷移によって記述され、状態空間内を移動する点の軌跡として観察される。
2.3.1 状態遷移関数
現在の状態から次の状態（または未来の状態）を定める関数。連続時間系では微分方程式、離散時間系では差分方程式で与えられる。状態遷移関数はシステムの動的性質を決定する。
2.3.2 位相空間における軌道
状態空間内での状態点の時間変化の軌跡を軌道（または解曲線）と呼ぶ。力学系では、軌道の形状や安定性が系の長期的振る舞いを特徴づける。位相空間（相空間）とも呼ばれる。
状態空間は多様な分野で応用されており、それぞれの領域で独自の手法と概念が発展している。
3.1 制御工学
制御工学では、状態空間モデルを用いてシステムの動特性を表現し、フィードバック制御や最適制御を設計する。
3.1.1 状態フィードバック制御
システムの状態変数を直接計測し、その値に基づいて制御入力を決定する手法。極配置やLQR制御などが代表的であり、状態空間表現を前提として設計される。
3.1.2 可観測性と可制御性
可観測性は、出力から内部状態が推定可能かどうかを示す性質であり、可制御性は、任意の初期状態から目標状態に制御可能かどうかを示す。これらはカルマンの可制御性・可観測性条件として知られる。
3.2 コンピュータサイエンス
コンピュータサイエンスでは、問題解決や探索のための状態空間モデルが広く利用される。
3.2.1 探索問題とグラフ探索
状態空間をグラフ（ノードが状態、エッジが遷移）として表現し、幅優先探索や深さ優先探索などのアルゴリズムを用いて目標状態を見つける問題が典型的である。
3.2.2 人工知能における状態空間探索
AIでは、問題解決、経路計画、ゲーム木探索などに状態空間が用いられる。ヒューリスティック探索（A*など）や強化学習における状態価値関数の概念も状態空間を基盤とする。
3.3 物理学と力学系
物理学では、状態空間（特に位相空間）が力学系の解析に不可欠である。
3.3.1 位相空間における運動の記述
古典力学では、位置と運動量を状態変数とする位相空間が用いられる。ハミルトン方程式により、系の運動は位相空間内の軌道として記述される。
3.3.2 リウビルの定理と状態空間の体積
リウビルの定理は、ハミルトン力学系において位相空間の体積が時間発展に対して不変であることを主張する。この性質は統計力学の基礎となり、状態空間の測度論的扱いを可能にする。
状態空間の数学的構造を深く理解するための諸概念と解析手法について述べる。
4.1 次元と自由度
状態空間の次元は、システムの自由度と密接に関連する。
4.1.1 状態空間の次元
状態空間の次元は、独立な状態変数の個数に等しい。例えば、N個の質点の三次元運動では、位置と速度で6N次元の状態空間となる。次元はシステムの複雑さの指標でもある。
4.1.2 縮約状態空間
実際のシステムでは冗長な状態変数が含まれることがあり、モデル縮約や主成分分析などの手法により低次元の状態空間に近似・縮約できる。これにより計算効率が向上する。
4.2 可達性と到達可能性
ある状態から別の状態への遷移可能性を議論する概念。
4.2.1 可到達集合
初期状態から有限時間内に到達可能なすべての状態の集合を可到達集合と呼ぶ。制御工学では制御可能集合としても知られ、システムの操作限界を把握するために用いられる。
4.2.2 制約条件下での探索
実問題では、リソースや物理的制約（入力飽和、障害物など）のもとで到達可能性を評価する必要がある。制約付き最適化や経路探索アルゴリズムが活用される。
4.3 状態空間の離散化
連続状態空間を計算機上で扱うために、離散的な近似に変換する手法。
4.3.1 グリッド化と量子化
状態空間を格子状のセル（グリッド）に分割し、各セルを一つの離散状態とみなす方法。量子化誤差が生じるが、単純で実装が容易である。
4.3.2 近似手法
より精緻な離散化として、関数近似（ニューラルネットワーク、動径基底関数）やモンテカルロ法、適応的メッシュ分割などがある。これらの手法は高次元状態空間での計算効率を向上させる。