1 閉作用素の基本概念
1.1 定義：グラフが閉集合であること
ノルム空間やヒルベルト空間などの位相ベクトル空間 \(X\) と \(Y\) に対し、作用素 \(T\)（定義域 \(\mathcal{D}(T)\subset X\)）を考える。\(T\) のグラフとは \[ \mathrm{Graph}(T)=\{(x,Tx)\in X\times Y\mid x\in \mathcal{D}(T)\} \] である。位相空間 \(X\times Y\) の積位相に関して、\(\mathrm{Graph}(T)\) が閉集合になるとき、\(T\) は閉作用素と呼ばれる。
この定義は「入力列が極限に収束し、その出力も同時に（同じ列の上で）整合した極限になるなら、極限入力は定義域に含まれ、対応する出力は作用素の値として決まる」という安定性を抽出している。
具体的な閉性の判定の形
同値な判定として、次が成り立つ：\(x_n\in \mathcal{D}(T)\) が \(X\) で \(x_n\to x\) に収束し、かつ \(Tx_n\to y\) が \(Y\) で成り立つなら、\(x\in \mathcal{D}(T)\) かつ \(Tx=y\) が必要十分である。これは「グラフの閉性」と「極限操作の一貫性」を結びつけた表現である。
1.2 閉作用素と連続作用素の関係
1.2.1 グラフによる判定の直観
連続作用素（定義域が全体 \(X\) である場合、あるいは有界線形作用素の場合）では、入力の極限が出力の極限に自動的に反映される。そのため、グラフを近づける列があっても、極限点がグラフの外へ出ない。結果としてグラフは閉になる。
一方、定義域が狭い（部分集合である）場合や、作用素が連続でない場合には、グラフは閉性を満たし得るが、連続性は保証されない。閉性は「極限に対する整合性」であり、「距離の制御（連続性の定量的評価）」とは同じではないからである。
1.2.2 連続性と閉性が一致する条件
連続作用素が（全定義域で）与えられている状況では、閉性が自動的に成り立つ。より正確には、線形作用素 \(T:X\to Y\) が連続であれば、そのグラフは閉集合となる。
逆に、閉作用素が連続になるかどうかは自動ではない。ただし、定義域が \(X\) 全体であり、しかも閉性を仮定すると連続性が導かれる。典型的な条件として、\(X\) がバナッハ空間で \(T\) のグラフ閉性によりグラフ位相の完全性が利用でき、線形性と閉性から連続性（有界性）が結論される場合がある。
1.3 定義域の役割と注意点
閉作用素の扱いでは、定義域 \(\mathcal{D}(T)\) が中心になる。閉性の定義そのものが、グラフが \(\mathcal{D}(T)\) で作られていることに依存しており、定義域を拡大・縮小すると性質が変化し得る。
特に、閉作用素であっても定義域が稠密（あるいはその逆）であるとは限らない。定義域が稠密であることは解析の文脈でしばしば望ましいが、それは閉性とは別の性質である。したがって、閉性だけから「十分多くの入力に対して作用が定義されている」ことを推論してはならない。
また、閉性は「定義域の極限的な安定性」を保証するが、そこで扱う極限は作用素の値が属する空間 \(Y\) 側にも一致している必要がある。出力列が別の極限に向かう場合、その入力極限はグラフに落ちないことがあり得る。
2 閉作用素の性質
2.1 成立演算と安定性
2.1.1 部分作用素・拡張作用素
作用素の拡張とは、別の作用素 \(S\) が \(T\) を含む（\(S\) のグラフが \(T\) のグラフを含む）ように定義域と値の両方を延長する操作を指すことが多い。部分作用素はその逆方向の包含関係として捉えられる。
閉性はグラフの閉集合性に関係するので、包含関係だけでは結論が一意にならない。拡張を行っても閉性が保存されるためには、拡張後のグラフが再び閉集合になること、つまり極限整合性が損なわれないことが必要である。
閉性が保存される拡張の条件
保存条件として典型的には次が用いられる。まず \(T\) が閉であり、拡張 \(S\) が \(T\) のグラフを含み、さらに \(S\) のグラフが \(\mathrm{Graph}(T)\) の極限点を適切に吸収して閉になるとき、\(S\) も閉となる。
実務的には、「拡張により新たに追加された点が、旧グラフの極限として導かれるなら、その追加値は一意に決まる」という構造が鍵になる。逆に、追加値が極限から矛盾を生む場合、グラフは閉でなくなる。
2.1.2 和・積・スカラー倍に関する性質
線形な閉作用素同士の演算は、いつでも可能ではない。特に積 \(TS\) や和 \(T+S\) では、定義域の整合（和を定義するために両者が同じ入力に作用できる範囲）をまず確定する必要がある。
一般にスカラー倍は比較的扱いやすく、閉作用素を定数倍しても閉性は保たれやすい。和については、定義域の交わりが十分大きく、さらに極限操作の一貫性が保たれる条件のもとで閉性が従う。
積についてはさらに繊細で、\(S\) の像が \(T\) の定義域に入る必要がある。さらに閉性の保存は自動ではなく、グラフの相互作用を管理する条件が要る。
2.2 各種の等価条件
2.2.1 収束列による閉性の特徴づけ
最も基本的な等価条件は、前節で述べた収束列版である。すなわち、\(x_n\in \mathcal{D}(T)\) が \(x_n\to x\) と \(Tx_n\to y\) を同時に満たすなら、\(x\in \mathcal{D}(T)\) かつ \(Tx=y\) が成り立つ。
この条件は、閉性が「グラフが極限に関して完全に閉じている」ことを表す。解析学では、弱い収束から強い結論を出す局面で、出力側の収束が一貫して同じ極限に落ちることを示す目的でこの枠組みが活躍する。
2.2.2 グラフ位相を用いた表現
グラフを \(\mathcal{D}(T)\) と同一視し、写像 \[ x\mapsto (x,Tx) \] を考えると、閉性は「この埋め込みが閉写像として振る舞う」ことに対応する。より定式化すると、\(\mathrm{Graph}(T)\) が積位相で閉であることは、グラフ上の極限点がグラフ内部に留まることを意味する。
ここで注目すべきは、閉性は計量の評価（有界性）ではなく、位相的な収束の両立を保証する点である。このため、ノルムでは連続とされても位相としては別の性質が現れるような設定でも、閉性は一定の意味を保つ。
2.3 閉作用素の有界性と例
閉作用素と有界性は一般に別物である。閉性は連続性より弱く、定義域が適切に狭いと、極限整合性を満たしつつも有界でない作用素が現れる。
代表例として、微分に類する作用素では定義域を適切に制限すると閉になることがあるが、常に有界とは限らない。たとえば、微分は無限次元では本質的に有界でないことが多い。これに対し、有限次元ではすべての線形作用素が有界かつ連続となり、閉性の差異が縮退する。
有界でない閉作用素の存在は、閉性が「距離を押さえる」要請ではなく、「極限を正しく受け止める」要請であることを示す。
3 閉作用素の代表的な枠組み
3.1 バナッハ空間上の理論
3.1.1 領域が稠密な場合
定義域が稠密である閉作用素は、解析学で扱いやすいことが多い。稠密性があると、近似によって性質をより広い範囲に延長しやすく、弱い極限の議論とも噛み合うからである。
この設定では、グラフを使った閉性の判定が特に便利になる。定義域の近似列を用意し、その出力列が適切に収束することを示すことで、極限入力が定義域に入ることや作用素値の同定が行える。
3.1.2 上半連続性との関係
閉性は上半連続性（通常は関数）とは直接同一ではないが、変分や最適化の枠組みでは類似の直観が現れることがある。たとえば、ある種のエネルギー汎関数や二次形式に関連する作用素的構造では、「極限が制約を破らない」という意味で閉性と同種の要請が登場する。
ただし、ここでの核心は、閉作用素は「写像（作用素）のグラフが閉」であるという幾何学的条件であり、上半連続性は別の位相的性質として位置づけられる。両者の対応がある場合でも、一般原理として一対一に同定されるわけではない。
3.2 ヒルベルト空間上の理論
3.2.1 内積と閉性の相互作用
ヒルベルト空間では内積によって幾何学的な双対性が強く働き、随伴作用素の議論が体系化される。閉性はその前提として重要になりやすい。理由は、随伴の定義や、その双対的な極限操作が正しく働くためには、元の作用素のグラフ整合性が確保される必要があるためである。
また、内積はノルムを与えるので、収束の判定が多様な形で利用できる。たとえば、弱収束と強収束の関係を補助的に扱いながら閉性を検証する手法が成立する場合がある。
3.2.2 代表例：微分作用素
微分（分布的微分を含まない通常の意味での微分）を適切な関数空間と定義域に制限して考えると、閉作用素としてモデル化できることがある。境界条件を定義域に組み込み、極限的に同じ境界条件が保たれるよう設計することで、グラフが閉になる。
このとき、閉性は「近似された関数の微分が極限で一致するなら、極限関数にも同じ微分が属する」ことの形をとり、偏微分方程式の弱定式化やエネルギー推定と整合する。
3.3 正規作用素・自己随伴性との接点
3.3.1 自己随伴性に向けた閉性の必要性
自己随伴作用素はスペクトル理論の中心概念であり、その定式化には随伴作用素の整合が必要となる。随伴を考える段階で、元の作用素が閉であることがしばしば前提条件として要請される。閉性がないと、随伴と元の作用素の関係が極限操作のもとで破綻し、自己随伴性の定義を安定に適用できなくなる。
したがって、自己随伴性を目指す手順では、まず閉性（または閉拡張の存在）が確保され、その後に随伴関係や対称性が検討される流れが一般的になる。
3.3.2 随伴作用素の閉性
随伴作用素の議論では、元の作用素の閉性が随伴の定義域や性質に影響する。典型的には、適切な仮定のもとで、随伴作用素自体が閉になることが示される。これは随伴が双対空間上の内積構造により定義され、その構成がグラフの極限安定性を満たす形で組まれるためである。
閉性が保証されることで、再随伴の操作や、スペクトル的議論への橋渡しが可能になる。
4 閉作用素の応用と計算手法
4.1 沿う収束・グラフ極限と厳密化
4.1.1 有限次元との比較
有限次元では、線形作用素はすべて連続であり、閉性の区別がほぼ意味を失う。グラフは自動的に閉になることが多く、定義域の繊細さも実質的に消える。
無限次元では状況が逆転し、連続性が自明ではなくなるため、閉性が「極限が正しく伝播する」ための必要条件として前面に出る。したがって、無限次元で有限次元の直観をそのまま移植すると誤りが起きやすい。
4.1.2 極限手続きの落とし穴
閉性を用いるときの落とし穴は、入力側と出力側の収束が同時に確認されていないことにある。入力列がある極限へ向かっていても、作用した像が別の極限へ向かる、あるいは極限が存在しない場合、閉性の結論（極限入力が定義域に入ること、出力が一致すること）は出せない。
また、近似に伴う定義域の変化も注意が要る。近似列が定義域に属していても、その極限が定義域に入るとは限らない。閉性はこの点を保証するが、その適用には出力側収束の確認が必須である。
4.2 解析学における位置づけ
4.2.1 偏微分方程式の定式化での利用
偏微分方程式では解のクラスを関数空間の元として捉える。微分作用素を直接作用させるためには定義域の設定が不可欠で、境界条件や正則性条件が定義域へ組み込まれる。
このとき閉性は、近似解列の極限が「同じ方程式の解」になっていることを支える。たとえば、弱形式で作った極限候補に対し、作用素のグラフ閉性を通じて、微分が整合した形で極限に受け継がれることが示される。
4.2.2 閉作用素のスペクトル的考察への橋渡し
スペクトル理論では作用素の閉性や随伴の性質が基礎になる。閉作用素に対して適切な自己随伴性や正規性を確保できれば、スペクトル分解や関数解析的な操作（例えば指数作用素の構成）へ進める。
この連結は「定義域と極限操作が矛盾しない」ことに立脚している。閉性は演算や極限の後に得られる対象が、再び作用素の枠内に留まることを保証する役割を持つ。
4.3 代表的な具体例と反例
4.3.1 閉だが有界ではない例
無限次元では、閉であるにもかかわらず有界でない線形作用素が自然に現れる。典型的には、微分や高階微分に対応する作用素を適切な関数空間上で考えると、極限整合性は満たしやすい一方、ノルムで押さえ込む評価が成立しにくい。
この例が示すのは、閉性が「極限安定性」を与える一方で「距離の制御」を直接は含まないという点である。ゆえに、閉性を示しても有界性や連続性まではただちに結論できない。
4.3.2 閉でないことを示す方法
閉でないことを示すには、グラフが閉でないことに相当する反例列を構成するのが基本である。具体的には、\(x_n\in \mathcal{D}(T)\) を選び、\(x_n\to x\) が成り立つのに、\(Tx_n\) は収束する（あるいは少なくとも極限が存在する）にもかかわらず、\(x\notin \mathcal{D}(T)\) となるようにする。あるいは、\(x\in \mathcal{D}(T)\) であっても \(Tx_n\to y\) の値が \(Tx\) と一致しない例でもよい。
この反例作りは、定義域が極限で閉じていないこと、または作用が極限で整合しないことを直接暴くための手段となる。