1 基本概念
1.1 定義
遷移行列とは、ある状態から別の状態へ移る関係を、表の形で整理した行列である。各成分には、移行の確率、回数、比率、重みなどが入る。対象は離散的な状態集合であることが多く、時間の経過に伴う変化を記述する際に用いられる。
1.2 表し方
一般には、行と列に状態を割り当て、行の側を出発点、列の側を到達点として並べる。どの向きを採るかは分野や慣習によって異なるが、成分の意味が一貫していればよい。状態数が多い場合でも、行列にまとめることで全体の移動関係を一目で扱える。
1.3 直観的な意味
この行列は、状態間の「動きやすさ」を一覧化したものとみなせる。たとえば、ある地点から別の地点へ行きやすいか、ある条件から次の条件へ移りやすいかを示す。単なる一覧表ではなく、繰り返し適用することで将来の分布や到達傾向を読み取れる点に特徴がある。
2 数学的性質
2.1 行列の成分
成分は、状態の組ごとの移行を表す最小単位である。整数なら回数、実数なら確率や重みを表すことが多い。行列全体の性質は、個々の成分の解釈と制約によって大きく左右される。
2.1.1 確率としての解釈
確率遷移行列では、各成分は「ある状態から別の状態へ進む確率」を示す。値は0以上1以下で、同じ出発状態に対応する成分の合計が1になるように定めるのが通常である。この形式は、次の時刻の状態分布を直接計算できる点で便利である。
2.1.2 重みとしての解釈
確率でなく、移動コスト、頻度、結合強度などを表す場合もある。こうした重み付きの行列では、数値そのものが確率的意味を持たないことがあるが、経路の強さや影響の大きさを測る指標として有用である。応用に応じて、足し合わせや正規化の方法が変わる。
2.2 正規化条件
確率を表す場合、各行または各列の総和を一定値にそろえる。多くの定式化では、出発状態ごとの確率総和が1となるよう調整する。これにより、確率分布が次の段階でも分布として保たれ、計算の整合性が維持される。
2.3 累積遷移
遷移を1回だけでなく、複数回続けて考えると、行列の積が重要になる。累積遷移は、短期の変化を積み重ねた結果としてどの状態に到達するかを示す。これによって、長い時間を要する過程も体系的に解析できる。
2.3.1 行列の累乗
同じ遷移を繰り返す場合、行列のべき乗によってn段階後の移行を表せる。たとえば2回、3回、あるいはそれ以上の連続遷移は、それぞれ2乗、3乗の形に対応する。計算は単純だが、次数が上がると固有値や対角化の性質が効いてくる。
2.3.2 多段階遷移の計算
段階ごとに異なる行列を用いることもできる。その場合は、時刻順に行列を掛け合わせて全体の変化を求める。途中の条件が変わる系では、この方法で経路依存の振る舞いを追跡できる。
3 代表的な種類
3.1 確率遷移行列
最もよく知られる形で、各成分が遷移確率を表す。マルコフ連鎖の基本構造として現れ、状態の将来分布を決める中心的な役割を担う。各行の和が1になる行列として扱われることが多い。
3.2 状態遷移行列
広い意味では、状態の変化関係を記録する行列全般を指す。確率を含まない場合もあり、機械、制御、動態モデルなどで見られる。離散状態の移行図を数値化したものと考えると理解しやすい。
3.3 入出力遷移行列
入力に対して出力がどのように変わるかを整理するための行列である。制御理論や信号処理では、外部からの刺激と内部状態の変化を対応づける際に使われる。単なる状態間移動よりも、外部要因との関係を強く意識する点が特徴である。
4 応用
4.1 確率過程
確率過程では、時刻ごとの状態変化を記述する基礎道具となる。特に離散時間のモデルでは、次の状態の分布を逐次的に更新するために使われる。複雑なランダム現象を、比較的扱いやすい線形代数の枠組みに落とし込める。
4.1.1 マルコフ連鎖
マルコフ連鎖では、次の状態が現在の状態のみに依存する。この性質により、遷移行列が過去全体を要約する役目を果たす。遷移の反復によって、到達しやすい状態や周期的なふるまいが解析できる。
4.1.2 定常分布
定常分布は、遷移を重ねても変わらない分布である。対応するベクトルは、遷移行列に対する固有ベクトルとして表されることが多い。長期的にはこの分布へ近づくかどうかが、モデルの性質を理解するうえで重要となる。
4.2 統計力学
統計力学では、微視的状態の移り変わりや平衡への接近を表現するために用いられる。状態間の結びつきを行列化すると、分布の時間発展や遷移の偏りを調べやすい。特に多状態系では、計算の整理に役立つ。
4.3 情報科学
情報科学では、ウェブページの移動、推薦、通信経路、文字列遷移などに応用される。遷移の重みを確率やスコアとして与えることで、ランキングや予測に利用できる。ネットワーク上の移動モデルとも親和性が高い。
4.4 人口動態と生態モデル
人口動態では、年齢層や地域間の移動を表す手段として使われる。生態モデルでは、個体が異なる状態や環境を行き来する確率を記述する。出生、死亡、移住、成長段階の変化をまとめて扱える点が利点である。
4.5 待ち行列理論
待ち行列理論では、客の到着、サービス開始、退去などの状態変化を表現する。遷移行列を使うと、混雑の推移や平均滞在時間を評価しやすい。通信網や受付業務の分析にも応用される。
5 解析手法
5.1 固有値と固有ベクトル
固有値と固有ベクトルは、遷移行列の本質的な構造を調べる手段である。特に、支配的な固有値は長期挙動や収束速度に関係する。対角化できる場合には、累乗計算も見通しよく整理できる。
5.2 収束性の解析
反復適用したときに、分布が一定の形へ近づくかを調べるのが収束性の解析である。周期性や複数の閉じたクラスがあると、単純な収束を示さないこともある。条件を確認することで、モデルの長期予測の妥当性を判断できる。
5.3 安定性の評価
安定性の評価では、外乱や初期条件の違いが将来の状態にどの程度影響するかを調べる。変化が小さく抑えられるなら、系は安定とみなされることが多い。遷移行列のスペクトルや正規化の性質が、この判断に関与する。
5.4 グラフ理論との関係
状態を頂点、遷移を辺とみなせば、遷移行列はグラフの隣接情報を数値化したものとして扱える。到達可能性、連結性、閉路の存在などが、行列の構造と対応する。ネットワーク解析では、この関係が特に重要である。
6 関連する概念
6.1 遷移確率
遷移確率は、1回の移動である状態から別の状態へ進む確率を指す。遷移行列の各成分を構成する基本量であり、確率過程の記述に欠かせない。
6.2 遷移図
遷移図は、状態とその間の移動を矢印で表した図である。行列よりも視覚的に理解しやすく、全体構造の確認に向いている。行列表現と相互に変換できる。
6.3 状態空間
状態空間は、取りうる全状態の集合である。遷移行列は、この空間内のどの点からどの点へ動くかを記述する。状態数が有限とは限らず、抽象的な設定でも重要になる。
6.4 生成行列
生成行列は、連続時間の過程で変化率を記述する行列である。離散時間の遷移行列と似ているが、解釈は確率の一歩先の変化速度にある。両者は関連するが、用いられる場面と数学的条件は異なる。