1.1 定義と歴史
ジニ係数は、1912年にイタリアの統計学者コッラド・ジニによって提唱された指標であり、所得や資産の分配における不平等度を定量的に表現する。定義上、係数は0から1の値をとり、0は完全な平等（全員が同一の所得を有する状態）、1は完全な不平等（一人の個人がすべての所得を独占する状態）を示す。この指標は、経済学のみならず、社会学や政治学など多岐にわたる分野で不平等の測定に用いられる。歴史的には、ジニはローレンツ曲線の概念を発展させ、その曲線と完全平等線が囲む面積を利用した数値化を考案した。
1.2 ローレンツ曲線との関係
ジニ係数は、ローレンツ曲線を基盤として定義される。ローレンツ曲線は、横軸に人口の累積割合（最低所得者から順に並べたもの）、縦軸に所得の累積割合をプロットしたグラフである。完全平等の場合、曲線は原点から点(1,1)への直線（45度線）となる。実際の所得分布では曲線は下方に膨らみ、その膨らみの大きさが不平等の程度を表す。ジニ係数は、この完全平等線とローレンツ曲線が囲む面積を、完全平等線の下の三角形の面積で割った値として定義される。
2.1 数学的定義
2.1.1 離散データの場合
| 観測値がn個の個体からなる離散データ（例：n人の所得）の場合、ジニ係数Gは以下の式で計算される。まずデータを昇順に並べ、各データ点をx_i (i = 1,2,...,n, x_1 ≤ x_2 ≤ ... ≤ x_n)とする。このとき、G = (2 / (n * μ)) * Σ_{i=1}^{n} (i * x_i) - (n+1)/n と表せる。ここでμは平均所得である。別の表現として、G = (Σ_{i=1}^{n} Σ_{j=1}^{n} | x_i - x_j | ) / (2 * n^2 * μ) もよく用いられる。この式は、すべてのペア間の絶対差の平均を平均所得の2倍で割ったものである。 |
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2.1.2 連続データの場合
所得分布が確率密度関数f(x)で表される連続変数の場合、ジニ係数は積分を用いて定義される。累積分布関数F(x)を用いると、G = 1 - (1/μ) * ∫_{0}^{∞} (1 - F(x))^2 dx と表せる。これはローレンツ曲線L(F)を用いた定義G = 1 - 2 ∫_{0}^{1} L(F) dF と等価である。実際の計算では、離散近似やカーネル密度推定が用いられることが多い。
2.2 計算上の注意点
2.2.1 標本サイズの影響
ジニ係数は標本サイズが小さい場合に下方バイアスを生じることが知られている。例えば、n=2の標本では理論上の最大値が0.5に制限されるため、真の値よりも小さく推定される傾向がある。このバイアスを補正するため、n/(n-1)を乗じる補正係数が用いられることがある。また、多数の小標本を扱う際には、ブートストラップ法などの手法で信頼区間を算出することが推奨される。
2.2.2 負の所得の扱い
負の所得（損失や債務など）がデータに含まれる場合、ジニ係数の計算は複雑になる。負の値は平均所得を低下させ、係数を1以上に押し上げる可能性がある。標準的な定義では負の所得を許容するが、解釈が困難になるため、実際の分析では負の所得を0に置き換えるか、または除外して計算することが多い。ただし、この処理は結果に恣意性をもたらすため、報告の際には明示する必要がある。
3.1 数値の解釈基準
ジニ係数の値は、一般的に0.2未満を「低い不平等」、0.2〜0.3を「中程度の平等」、0.3〜0.4を「中程度の不平等」、0.4〜0.5を「高い不平等」、0.5以上を「極度の不平等」と大まかに分類される。国際比較では、北欧諸国は0.25前後、日本の約0.3、アメリカの約0.4、南アフリカなどの0.6以上という値が知られる。ただし、この基準は地域や文化によって解釈が異なり、単独の数値だけで社会政策を評価することは慎重を要する。
3.2 ジニ係数の限界
3.2.1 異なる分布形状の同一係数
ジニ係数は同一の数値であっても、異なる所得分布形状をとりうる。例えば、低所得層に大きな格差がある場合と高所得層に大きな格差がある場合で、係数が同じになることがある。ローレンツ曲線の交差が生じる場合、ジニ係数だけでは分布の詳細な特徴を捉えられない。この問題を補うために、四分位比やタイル指数などの補完的な指標が併用される。
3.2.2 人口規模や地域の比較可能性
異なる人口規模の国や地域を比較する際、ジニ係数は人口分布の違いに影響される。例えば、小国では大企業の存在が所得分布に大きく影響し、係数が不安定になる傾向がある。また、地域間の比較では、国境をまたぐ所得移転（海外送金など）が正確に反映されないことがある。さらに、非公式経済（インフォーマルセクター）の所得は統計に含まれにくく、実際の不平等を過小評価する可能性がある。
4.1 経済学における利用
4.1.1 所得格差の国別比較
ジニ係数は世界各国の所得格差を比較するための主要指標として使用される。世界銀行や国連開発計画（UNDP）などの国際機関は、定期的に各国のジニ係数を公表している。例えば、2010年代のデータでは、デンマーク（0.24）のような北欧諸国が低い値を示し、ブラジル（0.53）や南アフリカ（0.63）が高い値を示す。ただし、調査方法や所得定義（可処分所得か市場所得か）の違いにより、単純な順位付けには注意が必要である。
4.1.2 時系列トレンド分析
同一国内での経年変化を追跡することで、経済成長や政策の影響を評価できる。例えば、中国では改革開放政策後、1980年代の0.3前後から2000年代には0.45近くまで上昇し、所得格差の拡大が示された。一方、ラテンアメリカ諸国では2000年代以降、社会政策の効果でジニ係数が低下傾向にある。このような分析は、税制や社会保障の見直しに役立てられる。
4.2 その他の分野への適用
4.2.1 生態学における種の多様性
生態学では、ある地域における種の個体数分布の均等性を測る指標としてジニ係数が応用される。例えば、ある森林で数種の樹木が大部分を占め、他の種が少数しか存在しない場合、ジニ係数は高くなる（多様性が低い）。個体数の分布が均等であれば、係数は低くなる。この手法は、生物群集の健全性や撹乱の影響を評価するのに用いられる。
4.2.2 機械学習における不純度指標
機械学習において、ジニ係数は決定木学習の分割基準の一つとして利用される。具体的には、分類木のノードにおけるクラスラベルの不純度（純度の逆）を測る「ジニ不純度」が定義され、これはジニ係数とは異なるが、その考え方を借用している。ジニ不純度は、各クラスの割合をp_iとしたとき、1 - Σ p_i^2 で計算され、値が小さいほど純度が高いことを示す。この指標は、情報利得と並んで木の分割に広く使われる。