1 LTI系の基本概念
1.1 線形性の定義と意味
1.1.1 重ね合わせの原理
線形性とは、任意の入力 \(x_1(t),x_2(t)\) に対し、その重み付き和が入力として与えられたとき、出力も同じ重みで和になる性質をいう。すなわち係数 \(a,b\) を用いて \[ x(t)=a x_1(t)+b x_2(t) \] とした場合、対応する出力は \[ y(t)=a y_1(t)+b y_2(t) \] となる。重ね合わせにより、複雑な入力は基礎となる入力の線形結合として分解して扱えるため、解析・設計が体系化される。
1.1.2 同次性（スケーリング）の条件
同次性（スケーリング）とは、入力を一定倍したとき出力も同じ倍率で比例する性質である。特に \[ x(t)\rightarrow a x(t)\quad \Rightarrow\quad y(t)\rightarrow a y(t) \] が成り立つなら、線形性の中核要素が満たされる。同次性が確かであると、規模（振幅）の違う入力に対する応答を、比例関係として素早く推定できる。
1.2 時間不変性の定義と意味
1.2.1 時間シフトと応答の関係
時間不変性とは、入力をある時間だけ遅らせても、出力の形が同じだけ遅れるという対応が成立することを指す。たとえば入力が \[ x(t-t_0) \] に置き換わったとき、出力は \[ y(t-t_0) \] になる。これは「装置やモデルの性質が時刻によって変わらない」ことを数学的に表す条件であり、解析結果を時刻移動しても再利用可能にする。
1.2.2 実時間での見え方（逐次処理との整合）
時間不変性は、逐次処理の観点でも整合的に解釈できる。すなわち、ある時刻以降のふるまいが過去の絶対時刻に依存せず、入力波形の相対的な位置関係によって決まるため、同様の入力パターンを繰り返し与えれば出力も同じパターンとして現れる。実装では「フィルタ係数や演算手順が時間とともに変化しない」ことが対応し、設計・検証の再現性が高まる。
1.3 LTI系と一般システムの違い
1.3.1 非線形系・時間変化系との比較
非線形系では重ね合わせが崩れるため、入力の分解だけでは出力を合成できない。さらに時間変化系では、同じ入力波形でも与える時刻によって応答が変わるため、時間シフトに対する単純な対応が成立しない。LTI系はこれらの自由度が制限されているぶん、理論的な道具が強力になる。
1.3.2 判断のためのチェック方法
実務では、線形性は「和の保存」と「スケーリングの保存」の確認、時間不変性は「入力の時間移動で出力が同じだけ移動する」ことの確認として整理できる。差分・微分方程式で表すなら係数が入力や時刻に依存しない形で記述されているか、また非線形項が含まれていないかを点検する方法が取られる。観測ベースで判断する場合は複数の入力ペアを用いて、応答合成やシフト整合が統計的に成立するかを見る。
2 入出力表現
2.1 微分方程式・差分方程式
2.1.1 連続時間モデル
連続時間のLTI系は、通常 \[ a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n}+\cdots+a_1\frac{d y(t)}{dt}+a_0 y(t) = b_m \frac{d^m x(t)}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{d x(t)}{dt}+b_0 x(t) \] のような線形常微分方程式で記述される。係数 \(a_k,b_k\) が一定であれば時間不変性が満たされ、入力と状態の結合が線形であることで線形性が満たされる。初期条件が加わることで一意に応答が決まり、過渡成分と定常的な成分に分かれて解釈される。
2.1.2 離散時間モデル
離散時間では、差分方程式 \[ a_n y[k]+a_{n-1}y[k-1]+\cdots+a_0 y[k] = b_m x[k]+b_{m-1}x[k-1]+\cdots+b_0 x[k-m] \] の形で表される。ここでも係数が一定であることが時間不変性に対応し、変数の結合が線形であることが線形性に対応する。初期の過去出力が必要になり、計算では初期履歴を与えてから逐次的に更新する。
2.2 順伝達と逆伝達の考え方
2.2.1 入出力の因果性
順伝達は「入力から出力へ」の対応を与える記述であり、因果性は出力が未来の入力に依存しない条件として現れる。連続時間では概ね「応答の時間領域で、現在より後の入力が出力に寄与しない」ことが求められる。離散時間では \(y[k]\) が \(x[k],x[k-1],\dots\) によって決まり、未来側のサンプルを使わない構造が因果性を示す。
2.2.2 初期条件の扱い
初期条件は、同じ入力波形でも過去の履歴が異なれば応答が変わり得ることを反映する。微分方程式・差分方程式の係数が同じでも、初期値が異なると過渡応答の立ち上がりが変化する。LTIの枠組みでは、初期条件に起因する成分と、入力に起因する成分を分離して捉える整理が可能になり、解析上の扱いやすさにつながる。
2.3 システム記述の同値性
2.3.1 状態方程式との関係
同値性の観点では、入力と出力の関係を状態で表す「状態空間表現」が重要になる。状態方程式は \[ \dot{ \mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t),\quad \mathbf{y}(t)=C\mathbf{x}(t)+D\mathbf{u}(t) \] のように書け、出力は状態と入力の線形結合で与えられる。適切な初期状態の設定により、微分方程式・伝達関数と同じ入出力振る舞いを記述できる。自由度の置き方が異なるだけで、系の本質情報は同じになる。
2.3.2 代表的な変換（ラプラス・フーリエ）
ラプラス変換やフーリエ変換は、時間領域の微分・畳み込み構造を周波数領域の積・代数へ写像するための道具である。特にラプラス領域では初期条件の扱いが整理され、伝達関数という形で周波数特性と結びつく。フーリエ変換は定常的な周波数成分の応答を捉える目的に適し、ゲインや位相の評価へ直結する。適用範囲や収束条件に注意を払うことで、記述間の整合が確保される。
3 インパルス応答と畳み込み
3.1 インパルス応答の役割
3.1.1 インパルス応答の定義
インパルス応答は、入力が理想的なデルタ関数 \(\delta(t)\)（離散時間では単位インパルス）であるときの出力として定義される。連続時間なら \[ h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}\ \text{の時間領域対応} \] のように伝達特性から導かれる場合も多い。定義により、系の応答の「基本部品」が一つの関数として与えられる。
3.1.2 具体的な意味（「システムの指紋」）
インパルス応答は、LTI系の入力—出力の対応を完全に特徴づけると考えられるため「指紋」に相当する。ある入力を分解して考えるとき、その都度参照されるのがこの基本応答である。したがって同じインパルス応答を持つ系は、同じ条件下で同じ入出力関係を再現する。
3.2 畳み込み積分（連続時間）
3.2.1 畳み込みの定義と直観
畳み込み積分は、入力が時間に沿ってどのように与えられたかを、インパルス応答の時間シフトと重ね合わせで合成する操作として理解できる。連続時間では \[ y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau \] が基本形であり、入力の各時刻の寄与が応答として時間遅れ付きで足し上げられる。直観的には「過去の入力が、それぞれの遅れ分だけインパルス応答の形で影響する」構造を表す。
3.2.2 例：既知応答の構成
たとえば、既知のインパルス応答 \(h(t)\) が与えられているとき、入力 \(x(t)\) を分割（あるいは既知の基底の重ね合わせとして近似）することで、出力 \(y(t)\) を作ることができる。スムーズな入力だけでなく、区分的に単純な波形（台形、指数波など）でも、積分の範囲を整理することで計算手順が明確になる。解析面では、この操作が「システム特性の転写」として働く点が利点である。
3.3 畳み込み和（離散時間）
3.3.1 畳み込みの定義と直観
離散時間では畳み込み和 \[ y[k]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,h[k-n] \] で表される。各サンプル \(x[n]\) が、インパルス応答を \(k-n\) だけシフトした形で出力に寄与し、それを加算する。指数的に減衰する \(h[\cdot]\) や有限長の \(h[\cdot]\) を仮定すると、計算範囲を制限でき、モデルの扱いやすさが増す。
3.3.2 実装上の工夫（計算負荷）
実装では畳み込みの計算量が問題になり得る。特に一般に直接計算すると、長い信号同士の積和が必要になる。そこで有限インパルス応答なら窓を設けられ、無限インパルス応答でも減衰性を利用して打ち切る方針が取られる。また高速化のために周波数領域での積演算へ置き換える手法が採用されることが多い。目的は、誤差と計算資源のバランスを取る点にある。
3.4 畳み込みの性質
3.4.1 可換性と結合法則
畳み込みは可換であり、適用可能な条件のもとで \[ x*h = h*x \] が成り立つ。さらに結合則として \[ (x*h_1)*h_2 = x*(h_1*h_2) \] が成り立つ。これにより、複数の処理段をまとめて一つの等価応答として設計することが可能になり、段階的な構成が数学的に整う。
4.4.2 線形性・時間シフトとの整合
畳み込みは線形性と時間シフトに整合するため、LTIの性質と自然に結びつく。入力を線形結合にした場合、出力は同じ結合として表現でき、入力を時間遅延させれば出力も同じ遅延で現れる。これらの性質は畳み込み演算の構造から導かれ、システム設計の予測可能性を高める。
4 周波数領域の解析
4.1 伝達関数
4.1.1 ラプラス領域での表現
伝達関数は、ラプラス領域での入力 \(X(s)\) と出力 \(Y(s)\) の比 \[ G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} \] として定義されることが多い。無初期条件の仮定のもとで、微分方程式を代数方程式へ変換することで導出できる。分子・分母が有理式として現れる場合、零点と極が系の周波数応答や安定性に直結する。
4.1.2 周波数応答への接続（\(s=j\omega\)）
ラプラス変数 \(s\) を \(s=j\omega\) と置くことで、定常的な正弦波入力に対する応答を周波数領域で評価できる。これにより伝達関数は複素数の値として各周波数成分への増幅度や位相回転を与える。解析ではこの評価点の近傍における挙動が、ゲインの山谷や位相の急変として現れる。
4.2 周波数応答（ゲインと位相）
4.2.1 振幅特性
| 振幅特性は周波数ごとの応答の大きさを表し、伝達関数の絶対値 \( | G(j\omega) | \) に対応する。デシベル表現を用いる場合、差分比較が直感的になる。振幅が大きい帯域では信号が強めに通過し、小さい帯域では減衰が起きるため、フィルタ機能の見通しが得られる。 |
|---|
4.2.2 位相特性
位相特性は応答の時間遅れ・進みとして解釈され、\(\arg(G(j\omega))\) が対応する。位相が周波数に対して大きく変化すると、パルス状の信号では形が崩れる場合がある。制御や通信では、ゲインだけでなく位相も含めて適切性を評価する必要がある。
4.3 フィルタとしての解釈
4.3.1 ローパス・ハイパス・バンドパス
伝達関数の周波数依存から、信号の通過のしかたをフィルタとして分類できる。低周波成分を通し高周波を抑えるのがローパス、高周波を通して低周波を抑えるのがハイパス、中間帯域を強調するのがバンドパスである。実装では、目的周波数帯の設計と不要成分の抑圧を両立するように係数が決められる。
4.3.2 位相遅れと実現上の注意
位相遅れは「平均的には遅延として見える」場合がある一方、周波数成分ごとの位相差が非一様だと波形全体の歪みにつながる。したがって、位相特性が要求される用途では群遅延の考え方が補助的に用いられることがある。さらに因果性を満たすか、計算資源や遅延許容があるかも、実現形態に影響する。
4.4 安定性と周波数特性
4.4.1 安定性の代表的な条件
安定性は、入力が有界であれば出力も有界に保たれるか、あるいは自然応答が時間とともに消えていくかで評価される。連続時間では極の位置が左半平面側にあることが代表的な基準として現れる。離散時間では極が単位円の内側にあることが同様に基準となる。これにより、伝達関数の形から長期挙動が読み取れる。
4.4.2 周波数特性からの読み取り（直感）
周波数応答は安定性を直接保証するものではないが、挙動の手がかりになる。たとえばある周波数でゲインが過度に大きい、位相が急激に切り替わる、といった特徴は、極と零点の配置や共振の存在を示唆する。設計では、望ましい通過帯とともに、過大応答や不安定化の兆候がないかを周波数上の挙動から点検する。