1 非定常性の概念
非定常性とは、時系列データの確率・統計的性質が時間とともに変化し続ける性質を指す。平均、分散、自己相関、周波数構成などが時点に依存すると、同じ“形”の関係が繰り返し現れるという前提が崩れるため、系列全体を単一の固定パラメータで扱うと不整合が生じやすい。
定常性（理想化された安定性）が成り立つ場合、理論上は推定や推論の基礎が置きやすい。一方、非定常では“変化”が含まれるため、相関や予測を行う際に、変化部分をノイズとして誤解したり、逆に本来の信号を見落としたりすることがある。このため、非定常性は単なる性質の説明に留まらず、分析設計そのものに影響する実務上の論点となる。
1.1 定常性との対比
定常性は、時系列の統計的性質が時間に依存しないという考え方に基づく。一般に「弱定常性」では平均が一定で、分散が一定、自己共分散がラグのみに依存することが要点になる。
非定常性はその否定として現れる。たとえば平均がゆっくり動くなら、固定平均を前提とする検定や推定は歪む可能性がある。分散が時間とともに膨らむなら、誤差のばらつきが一定であるという仮定が崩れ、予測区間の妥当性や異常検知の閾値にも影響する。
1.2 非定常性が問題になる場面
非定常性が問題になるのは、モデルや手順が“安定した生成機構”を暗黙または明示的に仮定している場合である。代表例として、自己相関を一定とみなす手法、固定分散の誤差を前提とする回帰、過去データをそのまま同一分布として扱う学習手順などが挙げられる。
具体的には、(1) 相関の推定が変化によって見かけの関係を作る、(2) 予測が実際の分布変化に追随できず誤差が増える、(3) 検定の有意水準が崩れ、過信や過小評価につながる、などの形で表面化する。したがって検出と原因整理は、単に“非定常かどうか”を判定する作業を超えて、以後の分析の整合性を確保する役割を持つ。
1.3 非定常性の代表的な種類
非定常性は、どの統計量が時間とともに変わるか、また変化の仕方がどの程度構造的かによって分類されることが多い。代表的には、平均の変化を主とする成分、分散の変化を主とする成分、そして共分散（相関構造）の変化を主とする成分がある。
平均が時間で移動する場合はトレンドや段差として観測されることがある。分散が増減する場合はボラティリティ（変動性）の上昇下降として現れやすい。さらに自己相関の減衰速度や強さが変わると、同じラグでも関係が保たれず、周波数帯の占有が変化するような挙動として捉えられる。
2 非定常性の数学的な捉え方
数学的には、非定常性は「確率過程の性質が時間に依存する」こととして表される。弱定常の条件を満たさないという意味では、平均や分散、自己共分散がラグだけでなく時点にも依存する場合が中心となる。
これらの観点から、平均の変化、分散の変化、共分散構造の変化を分けて考えると整理しやすい。以下では、それぞれの変化がどのような量の時間依存として表現されるかを扱う。
2.1 平均の非一定性
平均の非一定性とは、系列の期待値が時間とともに変わることを指す。弱定常では期待値が一定であることが前提だが、時間に依存する期待値が存在すると、固定基準からの偏差が構造的に増減してしまう。
この場合、観測値から見た変化の多くは「基準線の移動」として現れる。予測や回帰で切片や平均の扱いが不適切だと、系列の“上下の動き”を誤ってノイズや自己相関の効果として解釈する。
2.1.1 トレンド成分の存在
トレンドは平均の時間変化を表す代表的な構成要素である。線形に増減するケースもあれば、緩やかな非線形として現れることもある。
トレンド成分があると、分解では「長期的な動き」として取り出され、残差には平均の変化が残らない状態を目指すことが多い。対処の基本は、回帰や差分などで平均の変化を取り除き、残りをより安定な成分として扱えるようにすることである。
2.2 分散の非一定性
分散の非一定性は、系列のばらつきの大きさが時間とともに変わることを意味する。弱定常の下では分散が一定でなければならないため、時間依存の分散はその条件を破る。
実務では、分散の変化は「ある時期に大きく振れ、別の時期に落ち着く」といった見た目の違いとして観測される。さらに分散の変化は、予測区間の幅や異常値検出の判定に直結するため、平均と同様にモデル設計の要点になる。
2.2.1 平方平均の変化とボラティリティ
分散の変化はしばしば平方平均（平均二乗）の時間変化として捉えられる。観測値そのものではなく、変動の大きさに対応する量が時間で変わるためである。
ボラティリティは、将来における変動の強さを表す概念として用いられ、時点により上がったり下がったりする。ボラティリティが持続的に変化する場合、単純な固定分散モデルでは誤差構造を捉えにくくなる。結果として、残差の分散が均一であるという仮定が維持されない。
2.3 共分散構造の変化
共分散構造の変化とは、系列の“遅れの関係”が時間とともに変わることを意味する。弱定常では自己共分散がラグのみに依存するが、時点にも依存すると相関構造が変質していることになる。
平均と分散が安定でも、相関が変わればモデルの予測性能は落ちることがある。たとえば、過去の値が持つ影響の持続時間が変化するなら、同じ自己回帰次数や同じ減衰パターンが適さなくなる。
2.3.1 自己相関の時間変化
自己相関の時間変化は、同じラグでも関連の強さが時期によって異なる現象として現れる。全体で平均化した自己相関関数では見えにくい局所的な変化が、時間窓を分けた解析では顕在化することがある。
この種の非定常は、局所的に生成機構が切り替わる、または周期成分が時間で位置を変える、といった状況と結びつきやすい。したがって、診断では固定の相関構造を前提とした単純な評価だけでなく、時間分割や移動推定が有効になる場合がある。
3 非定常性の検出と診断
非定常性の診断は、目的に応じて視覚的手がかりと統計的手順を組み合わせるのが基本となる。単に統計量が非定常かどうかを判定するだけでなく、どの成分がどの程度寄与しているかを特定することで、以降の変換やモデル化の方針が立てやすくなる。
また、検出結果はデータ前処理や窓幅設定、欠測処理などに影響されることがある。したがって、複数の診断を行い矛盾がないかを確認する姿勢が重要になる。
3.1 視覚的診断（プロット）
視覚的診断では、時間順に並んだ値そのものや、移動平均・分解結果などの図から変化の痕跡を探る。直観的な手掛かりは迅速であり、統計的検定の前段として有用である。
ただし、図だけでは誤判定の可能性もあるため、あくまで仮説生成と優先順位付けに使うのが適切である。変化点が局所的である場合や、ノイズが強い場合には見落としが起こり得る。
3.1.1 時系列プロットと移動平均
時系列プロットは、平均の変化や分散の増減、急激な段差を素早く把握する。さらに移動平均を重ねると、局所的な基準線のずれがより見えやすくなる。
移動平均の傾きが一定でないなら平均の非一定性が示唆される。線が細かく振れる区間が存在し分散の変化が疑われる場合は、平滑化の度合いを変えることで手がかりが得られることがある。
3.1.2 分解（トレンド・季節・残差）
分解では、系列をトレンド、季節性、残差などに分ける考え方がよく用いられる。残差に平均や季節の構造が残らないほど、定常性に近づくことが多い。
トレンドが強いと残差の平均が時間により偏ることがある。季節成分が十分に除去されていないと、残差の自己相関に周期性が残りやすい。したがって分解図を確認することで、どの種類の非定常が支配的かを推定できる。
3.2 統計的検定
統計的検定は、観測データから非定常性の根拠を形式化する。視覚診断より客観的な判断が期待できる一方で、検出力や前提条件、サンプルサイズの影響を受ける。
また「どの定常性の種類を問うか」を明確にする必要がある。平均の変化、単位根に関する議論、分散の変化点など、検定は対象とする構造が異なるため、複数の検定の使い分けが重要になる。
3.2.1 単位根系の検定
単位根系の検定は、系列が定常的に戻る性質を持つかどうかを調べる枠組みである。差分で安定化が得られるか、あるいはレベルが長期に漂うかを判別する目的で用いられる。
単位根があると、平均に関する非定常が強く疑われる。逆に差分を取って安定化するなら、レベルでは非定常でも変換後は扱いやすくなることがある。検定の結果はラグ設定やトレンド項の入れ方で変わり得るため、複数仕様での確認が望ましい。
3.2.2 分散や変化点に関する検定
分散の時間変化や変化点（ある時期に統計的性質が切り替わる可能性）を検出する検定も用意されている。対象は「ばらつきの増減」や「平均の段差」など多様である。
典型的には、区間ごとの分散推定を比較したり、統計量の時系列として変化の有無を評価したりする。分散非一定性は自己相関と同時に存在することもあるため、単一の検定だけで結論を急がないことが実務上の注意点となる。
3.3 モデルに基づく診断
モデルに基づく診断では、候補モデルを仮定し、その残差が期待する性質（独立性や分散の均一さなど）を満たしているかを見る。非定常性はモデル化の不一致としても現れるため、残差診断は強い手がかりになる。
理想的には、変換や成分除去を施した後に残差がより“安定”な振る舞いを示すはずである。逆に残差に構造が残れば、未除去のトレンド、季節性、分散変化、あるいは相関の時間変化がある可能性が高い。
3.3.1 残差の独立性・同分散性の確認
残差の独立性は、残差の自己相関が有意に残っていないかで確認される。時間順に並ぶ残差に相関が残ると、モデルが捉え切れていない遅れの構造が残っている可能性がある。
同分散性は、残差の分散が時間にわたって概ね一定かどうかに関わる。残差の分散が局所的に大きくなるなら、ボラティリティ変化を無視した設計になっていることがある。これらの診断は、変換の必要性やモデル拡張（分散モデルの導入など）の判断材料となる。
4 非定常性への対処
非定常への対処は、変化の種類に応じて設計するのが基本である。平均が原因なら平均を安定化する変換が中心になるし、分散が原因なら誤差のばらつきに対応する必要がある。相関構造が変わる場合は、時間依存パラメータや局所的なモデル化を検討する。
また、変換は便利だが副作用もある。過剰な差分や過度な平滑化は、情報を失ったり、ノイズを増やしたりするため、診断と検証を繰り返してバランスを取ることが重要になる。
4.1 差分化・変換による対応
差分化や変換は、平均や分散の非一定性を“安定化”させるための代表的な手段である。観測値そのものに含まれる長期的な漂いを減らし、より扱いやすい系列へ写像する。
変換の選択は、非定常性の主因が平均か分散か、さらに観測スケールの性質（正の値中心か、裾が重いか）によって変わる。目的は単に図を平坦にすることではなく、推定と予測の前提を満たす形に整える点にある。
4.1.1 差分と階差
差分は、現在値と直前値の差を取ることで、ゆっくりした変化を取り除く発想である。階差は、同様の操作を複数回行うことで、より高次の非定常に対応する。
差分を取ると系列の“単位”が変わるため、元の値との解釈も変化する。予測を最終的に元尺度で行う必要がある場合は、逆変換の扱いまで計画に含めるべきである。
4.1.2 対数・累乗変換
対数変換や一般の累乗変換は、分散の安定化や分布の歪み緩和に役立つ。特に、値が大きい領域でばらつきが増える形（いわゆるスケールに比例する揺らぎ）では、変換により誤差の均一化が期待できる。
ただしゼロや負の値がある場合は適用が難しく、工夫が必要になる。さらに変換後のモデルの解釈は元の尺度と一致しないため、報告や意思決定に用いる場合は変換前後の関係を明確にすることが求められる。
4.2 トレンド・季節性の除去
トレンドや季節性は、非定常性の大きな要因となることが多い。除去によって残差が安定化し、自己相関構造も整理されるため、予測モデルの妥当性が改善しやすい。
除去の方法は、単純な回帰から分解・季節差分、さらに平滑化手法まで幅がある。どの方式が適切かは、データの周期性の強さ、トレンドの形、外れ値の有無に左右される。
4.2.1 回帰によるトレンド補正
回帰によるトレンド補正では、時間の関数として平均の変化をモデル化し、その推定成分を差し引く。線形近似で十分な場合もあれば、より柔軟な基底や非線形項が必要になることもある。
補正後に残差の平均が時間で偏らないかを確認することで、トレンド除去の妥当性を評価できる。補正の過程で過度に複雑な形を選ぶと、ノイズまで吸収してしまう恐れがあるため、モデル選択の節度が重要になる。
4.2.2 季節調整と季節差分
季節調整は、周期成分を推定し差し引くことで、季節による振れを取り除く方法である。季節差分は、既知の周期ラグ分の差を取ることで季節効果を抑える。
季節差分では、周期に対応するラグに依存するため、データのサンプリング間隔と周期の整合性が不可欠である。除去後に自己相関に周期性が残っていないかを確認し、残れば季節性が十分に扱えていない可能性がある。
4.3 モデリングによる対応
差分や除去だけでは捉えきれない非定常性に対して、モデル自体を拡張して対応することがある。状態空間的な発想や、自己回帰に分散変化を組み込む発想などが代表的である。
この方針では、非定常性を“変数として持つ”ため、パラメータや潜在状態が時間とともに更新される。これにより、局所的な変化に対する追随性が高まりやすい。
4.3.1 状態空間モデルの考え方
状態空間モデルは、観測値が潜在状態に依存し、その状態が時間発展するという構造を取る。非定常な平均や季節性を潜在状態として扱い、観測から更新していくことで柔軟に追跡できる。
カルマンフィルタなどの枠組みを用いると、推定された状態の不確実性も同時に扱える。非定常性が複数成分（トレンドと季節など）で絡む場合にも整理しやすく、実務での適用例が多い。
4.3.2 自己回帰と分散の扱い
自己回帰は過去の値を説明変数に含め、相関構造を表現する。非定常が分散側に強い場合は、誤差の分散が一定である前提を外し、分散の式を別途モデル化する。
典型的には、過去の誤差の大きさが将来のばらつきに影響する形が組み込まれる。これにより、変動性が高い局面で予測区間を広げるなど、実際の不確実性の変化に合わせやすくなる。
4.4 実務での注意点
非定常性の対処は、理論だけでなくデータの品質と運用要件に強く依存する。データ長が短い場合、検定の不確実性が増え、過度な変換が起こりやすくなる。欠測や外れ値も、非定常に似た見かけの変化を作ることがある。
また、変換後の効果を検証しないまま最終モデルに進むと、見かけの安定化が実際の汎化性能につながらないことがある。したがって再テストと評価設計が不可欠である。
4.4.1 データ長・欠測・外れ値の影響
データ長が短いと、トレンドや季節性の推定が不安定になり、残差に不十分な構造が残る可能性がある。欠測は平滑化や差分の計算に影響し、人工的な変化点を生み出すことがある。
外れ値は分散を押し上げ、分散非一定性のように見せる要因になり得る。対処では外れ値の扱い（除去、ロバスト化、別モデル化）を含めて設計し、単純に一般的な変換だけで済ませないことが望ましい。
4.4.2 過変換と検証（再テスト）の重要性
過変換は、非定常性を取り除こうとする過程で、本来の信号まで消してしまう状態を指す。差分回数の過剰、過度な季節補正、複雑すぎるトレンド近似などが該当しうる。
過変換を避けるには、変換の目的を明確にし、学習・検証の分割や時系列に適した再テスト（将来を模した評価）を行うことが重要である。評価指標が改善しても、別の期間で再び崩れるなら過学習や変換の偏りを疑う必要がある。複数回の検証を通じて、変化に対する頑健性を確認する。