1 定義と基本公式
1.1 一変数の場合
1.1.1 ライプニッツ記法
一変数関数の合成関数 \( y = f(g(x)) \) に対して、連鎖律はライプニッツ記法では次のように表される。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]
ここで \( u = g(x) \) とおく。この記法は、微分が微小変化の比として捉えられる直感的な理解を提供する。すなわち、\( x \) の微小変化が \( u \) を介して \( y \) に伝達される過程を、各段階の微分の積として表現している。
1.1.2 ラグランジュ記法
ラグランジュ記法では、合成関数 \( f \circ g \) の導関数は次のように書かれる。
\[ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
ここで \( f' \) は \( f \) の導関数を、\( g' \) は \( g \) の導関数を示す。この表記は関数の合成を明示し、計算上の便宜に優れる。
1.2 多変数の場合
1.2.1 偏微分を用いた表現
多変数関数の連鎖律は、偏微分を用いて拡張される。例えば、\( z = f(x, y) \) で \( x = g(t) \)、\( y = h(t) \) の場合、\( z \) の \( t \) に関する導関数は次のようになる。
\[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} \]
さらに、中間変数が複数ある場合も同様に、各経路の偏微分の和として表現される。
1.2.2 ヤコビ行列による一般化
多変数ベクトル値関数の場合、連鎖律はヤコビ行列を用いて統一的に記述される。\( \mathbf{F} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \)、\( \mathbf{G} : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n \) の合成 \( \mathbf{F} \circ \mathbf{G} \) に対し、そのヤコビ行列は次式で与えられる。
\[ J_{\mathbf{F} \circ \mathbf{G}}(\mathbf{x}) = J_{\mathbf{F}}(\mathbf{G}(\mathbf{x})) \cdot J_{\mathbf{G}}(\mathbf{x}) \]
ここで右辺は行列の積である。この定式化により、状態変数の変換や座標変換などの複雑な合成微分が簡潔に扱える。
2 証明
2.1 微分可能性に基づく証明
2.1.1 極限を用いた標準的証明
一変数関数の場合、導関数の定義に従い、合成関数の微分係数を極限計算で示す。\( f \) と \( g \) が微分可能であるとき、\( h(x) = f(g(x)) \) の導関数は次のように導かれる。
\[ h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x+\Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x} \]
ここで \( \Delta u = g(x+\Delta x) - g(x) \) とおくと、\( g \) の連続性から \( \Delta x \to 0 \) のとき \( \Delta u \to 0 \) となる。上式は
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x)+\Delta u) - f(g(x))}{\Delta u} \cdot \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \]
と変形でき、各因子の極限が \( f'(g(x)) \) および \( g'(x) \) に収束するため、連鎖律が成立する。
2.1.2 微小増分による直感的説明
微小増分を用いた説明では、\( dx \) の変化が \( du = g'(x) dx \) を生み、さらに \( dy = f'(u) du \) となるため、\( dy = f'(g(x)) g'(x) dx \) が得られる。この考え方はライプニッツ記法の形式的扱いと一致するが、厳密な証明には極限操作が必要である。
2.2 厳密な証明の注意点
上記の標準的証明では、\( \Delta u = 0 \) となる場合に問題が生じる。例えば \( g'(x) = 0 \) のとき、分母が零となる箇所を回避するため、より厳密な証明では微分の定義を線形近似として扱う。すなわち、\( f \) の微分可能性を \( f(u+\Delta u) - f(u) = f'(u) \Delta u + \varepsilon(\Delta u) \Delta u \)（\( \varepsilon(\Delta u) \to 0 \)）と表現し、これに \( \Delta u = g(x+\Delta x)-g(x) \) を代入することで、極限の取り扱いを厳密にする。
3 応用
3.1 逆関数の微分
連鎖律は逆関数の微分公式の導出に用いられる。関数 \( y = f(x) \) が微分可能で逆関数 \( x = f^{-1}(y) \) が存在するとき、恒等式 \( f(f^{-1}(y)) = y \) の両辺を \( y \) で微分すれば
\[ f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1 \]
となり、\( (f^{-1})'(y) = 1 / f'(x) \) が得られる。
3.2 陰関数の微分
陰関数 \( F(x, y) = 0 \) で表される曲線の微分も連鎖律で扱う。両辺を \( x \) で微分する際、\( y \) を \( x \) の関数とみなして
\[ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 \]
となり、\( dy/dx = -F_x / F_y \) が導かれる。
3.3 高階微分への拡張
3.3.1 ファー・ディ・ブルーノの公式
高階導関数の連鎖律はファー・ディ・ブルーノの公式によって与えられる。合成関数 \( f(g(x)) \) の \( n \) 階導関数は、ベル多項式を用いて次のように表される。
\[ \frac{d^n}{dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x)) \cdot B_{n,k}(g'(x), g''(x), \dots, g^{(n-k+1)}(x)) \]
ここで \( B_{n,k} \) は部分ベル多項式であり、各階の導関数の組み合わせを体系的に計算可能にする。
4 具体例
4.1 基本関数の合成
\( y = \sin(x^2) \) の導関数を求める。\( u = x^2 \)、\( y = \sin u \) とおくと、連鎖律より
\[ \frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 2x = 2x \cos(x^2) \]
4.2 三角関数と指数関数の合成
\( y = e^{\cos x} \) の場合、\( u = \cos x \)、\( y = e^u \) として
\[ \frac{dy}{dx} = e^u \cdot (-\sin x) = -e^{\cos x} \sin x \]
4.3 多変数関数の合成
\( z = f(x, y) = x^2 + y^2 \) で、\( x = t^2 \)、\( y = \sin t \) のとき、
\[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} = (2x)(2t) + (2y)(\cos t) = 4t^3 + 2 \sin t \cos t \]
さらに \( x, y \) を代入すれば \( 4t^3 + \sin(2t) \) となる。
5 関連項目
5.1 積の微分法
積の微分法は、二つの関数の積の導関数を \( (fg)' = f'g + fg' \) と与える法則である。連鎖律とは異なるが、しばしば組み合わせて用いられる。
5.2 商の微分法
商の微分法は、\( (f/g)' = (f'g - fg') / g^2 \) で表される。連鎖律と同様、基本的な微分公式の一つである。
5.3 微分法の基本法則
微分法の基本法則には、線形性、積の法則、商の法則、そして連鎖律が含まれる。これらは微分計算の基礎をなし、より複雑な関数の微分を系統的に実行するための枠組みを提供する。