1 極の位数の定義
1.1 ラurent級数による定義
点 \(a\) の近傍で複素関数 \(f(z)\) がラurent級数 \[ f(z)=\sum_{k=-m}^{\infty} c_k (z-a)^k \] の形に展開できるとする。このとき、負の指数 \(k\) のうち最初に現れるものが \(-m\) であり、かつその係数 \(c_{-m}\neq 0\) であるなら、\(a\) における極の位数を \(m\) と定める。言い換えると、\(f(z)\) の主部（負の次数の部分）が \((z-a)^{-m}\) から始まり、より弱い発散 \((z-a)^{-m+1}\) 以上が同じ主部に先行しない状況を表す。
なお、負の次数の項が存在せず、級数が通常のべき級数（ \(k\ge 0\) ）だけで表される場合は、極ではなく正則性（もしくは零点の議論）に該当する。
1.2 特異点の分類との関係
極は特異点の一種であり、通常は他の分類と対比される。たとえば、ラurent級数に負の指数が含まれることはその点での非正則性を意味するが、負の指数が有限個だけ現れる場合が極に対応する。一方、負の指数が無限に続くような展開（通常のラurent級数として有限の主部が定まらない状況）は本質的特異点として扱われることが多い。
このため極の位数は、「その特異点がどの程度“有限の形”で現れるか」を数で表す指標となる。位数が大きいほど、主部の先頭がより強いべきの発散を持ち、極としての性質がより鋭くなる。
1.3 発散の強さを表す指標としての意味
極の位数 \(m\) は、\(z\to a\) のときの発散の次数を規定する。主部先頭が \(c_{-m}(z-a)^{-m}\) であるなら、支配的な振る舞いは \[ f(z)\sim c_{-m}(z-a)^{-m} \] で与えられる。したがって、位数は「無限大へ発散する速度」のべき指数として解釈できる。
さらに、極の位数が極の“段階”を示すため、留数のように主部の特定の係数に依存する量を計算する際に、どの次数までを追えばよいかを決める役目を担う。具体的には、留数や高階項の式では \((z-a)^{-1}\) に相当する係数が必要になり、位数がそれに到達するかどうかが計算の構造を左右する。
2 位数の判定方法
2.1 係数の観点からの判定
位数の定義に沿えば、ラurent級数の主部において最初に現れる負の指数を探すことが中心になる。ただし実際の計算では、展開を直接行わずとも、係数の性質から位数を推定できる場合がある。
2.1.1 最初に現れる負のべきの特定
点 \(a\) の近傍で \[ f(z)=\frac{g(z)}{h(z)} \] のように表され、分母が \(z=a\) で零になる状況では、負の次数は分母の零の次数に対応しやすい。このとき主部は概ね \((z-a)^{-m}\) から始まるため、位数 \(m\) を求めるには主部先頭の係数が零でない範囲を確認する必要がある。
ラurent級数の係数として言い換えると、\(c_{-1},c_{-2},\dots\) のうち最初に非零となるのが \(c_{-m}\) であるとき、その \(m\) が位数になる。つまり「どの負のべきが最も先に現れるか」を確定させることが判定の核となる。
2.1.1.1 係数が0の場合の扱い
最初に仮に負の指数が存在しているように見えても、その係数がキャンセルによって消えることがある。たとえば形式的に \((z-a)^{-m}\) が現れそうでも、実際に展開してみると係数が \(0\) になって主部が弱まる場合である。
このとき位数は下がる。具体的には、仮の \(m\) より大きな負の次数（より強い発散）に対応する係数がゼロなら、それは最初の負のべきではない。非零となる最小の負次数 \(-m\) を再度探し直し、定義どおり最初に現れる負のべきの次数を位数として採用する。
2.2 既約な形への変形
2.2.1 因数分解とキャンセルの影響
有理関数の場合、極の位数は因数分解に基づいて機械的に求められることが多い。たとえば \[ f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} \] で \(Q(a)=0\) だが \(P(a)\neq 0\) のとき、極の位数は \(a\) における \(Q\) の零の次数に一致する。しかし \(P(a)=0\) でも、共通因子があれば既約化によりキャンセルされ、位数が変化する。
このため「分子・分母を既約な形にした上で」分母に残る零の次数を数えるのが基本戦略になる。キャンセルは主部の先頭項を消す働きを持つため、位数の過大評価を防ぐために重要である。
2.2.2 分子分母の次数比較
分母 \(Q(z)\) が \(z=a\) で零になる次数を \(\alpha\)、分子 \(P(z)\) が同点で零になる次数を \(\beta\) とする。既約化でキャンセルが起きる前提で整理すると、一般に位数は \(\alpha-\beta\) に相当する（ただし \(\alpha>\beta\) の場合に限る）。この比較は、ラurent級数に現れる最強の負次数の出どころを、分母側の次数に帰着させる見方である。
逆に \(\alpha\le \beta\) の場合、発散は起こらず、零点や正則性の議論へ移る。この境界条件を意識することが位数の判定では誤りを減らす。
2.3 極の位数と極限での評価
2.3.1 有限極限による検証
位数が \(m\) であることは、適切に \((z-a)^m\) を掛けた極限が有限かつ非零になることによって特徴づけられる。すなわち \[ \lim_{z\to a}(z-a)^m f(z) \] が有限かつ \(0\) でないなら、先頭の負次数が \(-m\) である可能性が高い。この極限が \(0\) になる場合は、実際にはより小さい位数に相当する（主部の先頭が消えている）ため、別の \(m\) を再検討する必要がある。
この手法はラurent級数を逐次導出する代わりに、主部の先頭係数を極限で検証する形になっている。
2.3.2 発散率からの推定
位数が分かれば、発散の率のべき指数として推定が可能になる。たとえば、ある定数 \(C\neq 0\) が存在して十分近傍で \[ f(z)\approx C(z-a)^{-m} \] とみなせるなら、位数はそのべき指数 \(m\) に一致する。数値計算や経験的議論では、この近似の精度を確認しつつ、候補となる指数を絞り込むことで判定することがある。
ただし一般論としては、厳密な評価には係数や展開（または極限の厳密な計算）が必要になる。
3 代表的な例
3.1 有理関数に現れる極の位数
有理関数 \[ f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} \] の \(a\) が極になるのは \(Q(a)=0\) かつ既約化後も分母に零が残るときである。位数は、既約な形において分母に残る零の次数として与えられる。
たとえば \(Q(z)\) が \((z-a)^\alpha\) を因子として持ち、分子が \((z-a)^\beta\) を因子として持つとする。既約化により共通因子が消える結果、分母側の残差次数が \(\alpha-\beta\) になるなら、その値が極の位数である。分子がより高次に零になる（\(\beta\ge \alpha\)）場合は発散しないため、極にならない。
3.2 既知の基本関数の例
3.2.1 1/(z-a)^n 型
最も基本的な形は \[ f(z)=\frac{1}{(z-a)^n} \] である。これは明示的にラurent級数展開の主部がちょうど \((z-a)^{-n}\) から始まるため、極の位数は \(n\) となる。係数は \(1\) で非零なのでキャンセルの心配はない。
さらに一般化として \[ f(z)=\frac{g(z)}{(z-a)^n} \] で \(g(z)\) が \(a\) で正則かつ \(g(a)\neq 0\) であれば、位数はやはり \(n\) である。ここでは \(g\) が主部先頭の係数を補強する役割を持つ。
3.2.2 正弦・指数関数を含む合成例
例えば \[ f(z)=\frac{\sin z}{(z-a)^n} \] のような形では、\(\sin z\) のゼロの位置が位数に影響する。特に \(a\) の近傍で \(\sin z\) が \(0\) になっていると、分子が \((z-a)^\beta\) の形で追加の零を持つため、位数は \(n-\beta\) に下がることがある。
指数関数 \(e^z\) は \(z\) 平面で零を持たないため、分子が \(e^z\) を含む場合はキャンセルによる低下が起こりにくい。たとえば \[ f(z)=\frac{e^z}{(z-a)^n} \] なら位数は \(n\) になりやすい。合成の結果として位数を決めるには、分子側がその点でどれだけの次数の零を持つかを確認するのが要点である。
3.3 合成・商・冪による極の位数の変化
3.3.1 冪乗による増減
ある関数 \(f(z)\) が \(a\) において極の位数 \(m\) を持つとき、冪 \(f(z)^p\)（整数 \(p>0\)）はおおむね位数が \(pm\) になる。直感的には主部先頭が \((z-a)^{-m}\) であるため、それを \(p\) 回掛け合わせると \((z-a)^{-pm}\) が支配する。
ただし \(p\) が負や非整数の場合は別の取り扱い（多価性や分枝）を要することがあり、通常は整数べきの範囲で議論するのが整理に適している。
3.3.2 積・商における位数の計算
位数は積や商で加減則的に振る舞う。極の位数を \(\nu_a(f)\) のように表すと、積では \[ \nu_a(fg)=\nu_a(f)+\nu_a(g) \] が成り立つ形が基本である（それぞれの主部の次数が加算されるため）。商では、分子・分母のそれぞれの寄与を差として扱い、 \[ \nu_a\!\left(\frac{f}{g}\right)=\nu_a(f)-\nu_a(g) \] のような関係が現れる。ただし分母の位数が分子を上回る場合、結果は極だけでなく正則性や零の性質に移るため、符号と分類（極か、零か）を同時に把握する必要がある。
4 留数との関係と応用
4.1 留数定理・留数計算への利用
留数は複素積分、とりわけ留数定理 \[ \oint_C f(z)\,dz=2\pi i \sum \operatorname{Res}(f,a_k) \] の計算で中心になる。極の位数が分かると、各特異点で留数を得るために必要な主部の範囲が明確になる。留数はラurent級数における \((z-a)^{-1}\) の係数なので、位数が \(1\) のときは主部の先頭そのものが留数に直結し、高位の極では該当次数まで項を追う必要がある。
この意味で極の位数は、積分の計算手間を見積もる指標にもなる。
4.2 位数と係数の対応（係数抽出）
位数 \(m\) が与えられると、主部の構造は概ね \[ f(z)=\frac{c_{-m}}{(z-a)^m}+\frac{c_{-m+1}}{(z-a)^{m-1}}+\cdots+\frac{c_{-1}}{z-a}+\text{正則部} \] の形に整理できる。ここで留数は \(c_{-1}\) に一致する。
したがって、位数が分かっても即座に留数が出るわけではないが、少なくとも必要な係数位置が \(-1\) に固定されるため、どの次数までの展開が必要かの目安が立つ。位数が大きいほど、その内部の係数抽出は一般に複雑になる。
4.3 高次の極に対する公式的計算
4.3.1 微分による留数表現
位数が \(m\) の高次の極を持つ場合、留数は微分を用いた公式で表されることがある。代表的に、\(f\) が \[ f(z)=\frac{g(z)}{(z-a)^m} \] の形で、\(g\) が \(a\) で正則かつ適切な条件を満たすとき、留数は \[ \operatorname{Res}(f,a)=\frac{1}{(m-1)!}\,g^{(m-1)}(a) \] として計算できる形に整理される（表現は定義の取り方に依存するが、基本は「\((z-a)^{-1}\) を生む項を微分で抽出する」機構である）。
この公式により、位数が分かると必要な微分階数が自動的に決まる。
4.3.2 具体計算の手順整理
手順としては、(1) まず対象点での位数を定める、(2) 必要な形に書き換える（分子分母、または主部を分離）、(3) 留数に対応する係数または微分式を計算する、の流れになる。
特に高次の極では、主部の次数が増えるため計算量が増えるが、公式は微分階数と係数の対応を体系化する。さらに、共通因子のキャンセルがある場合は既約化を先に行うと、位数が下がり計算階数が減ることがある。
4.4 複素積分での実用的役割
極の位数は、積分経路を選ぶ際の期待値にも関係する。たとえば、ある領域に複数の特異点が含まれるとき、留数定理では各点での留数が必要になる。位数が大きい点は一般に係数抽出が難しくなるが、逆に言えば位数が小さい点ほど計算が単純になりやすい。
また、対称性や零点の情報と組み合わせることで、主部の構造を読み替え、留数の候補を絞り込むことができる。結果として、極の位数は“どこまで情報が要るか”を示す実務的な指標として位置づけられる。