1 数学的定義
余弦波は、余弦関数を時間または空間の変数に対して拡張した周期的な波形である。その数学的表現はパラメータによって振幅、周波数、位相が決定される。
1.1 基本式とパラメータ
一般形は f(t) = A cos(ωt + φ) で表される。A は振幅、ω は角周波数、φ は初期位相である。
1.1.1 振幅・周波数・位相
振幅 A は波の最大値（絶対値）を表す。角周波数 ω は単位時間あたりの位相変化量で、周波数 f とは ω = 2πf の関係にある。初期位相 φ は t=0 における余弦波の位相位置を決定する。
1.1.2 周期と波長
周期 T は 1 サイクルにかかる時間で、T = 2π/ω = 1/f と表される。空間的な余弦波（例えば f(x) = A cos(kx + φ)）では、波数 k と波長 λ の間に k = 2π/λ の関係がある。
1.2 サイン波との関係
余弦波とサイン波は本質的に同じ波形であり、π/2 の位相差で変換可能である。
1.2.1 位相シフト
余弦波はサイン波を π/2 だけ左にシフトしたものと等しい： cosθ = sin(θ + π/2)。逆に sinθ = cos(θ - π/2)。この関係により、任意の正弦波は余弦波の位相シフトとして表現できる。
1.2.2 微分・積分における変換
余弦波の微分は -ω sin(ωt + φ) となり、振幅が ω 倍、位相が π/2 進む。積分は (1/ω) sin(ωt + φ) + 定数 となり、振幅が 1/ω 倍、位相が π/2 遅れる。これらの変換は電気回路や振動解析で頻繁に用いられる。
1.3 フーリエ級数と余弦波
フーリエ級数展開において、余弦波は偶関数成分を構成する基本要素である。
1.3.1 偶関数としての性質
余弦関数 cos(ωt) は t に関して偶関数（cos(-θ)=cosθ）である。そのため、任意の周期関数をフーリエ級数展開する際、余弦項（cosine系列）は偶関数成分を担当する。
1.3.2 余弦波の直交性
区間 [0, 2π] または [-π, π] において、異なる周波数の余弦波同士は内積がゼロとなる直交性を持つ（∫ cos(mθ) cos(nθ) dθ = 0 (m≠n)）。この性質はフーリエ級数の係数計算の根拠となる。
2 物理的性質
実際の物理現象において、余弦波は理想的な振動や波動のモデルとして用いられる。
2.1 波動の特性
余弦波は連続媒質中を伝播する波動の基本的な形である。
2.1.1 波長と速度
空間的な余弦波 f(x,t) = A cos(kx - ωt) において、位相速度 v = ω/k = λf で波が伝播する。この関係は波長 λ と周波数 f から速度を求める基本式である。
2.1.2 重ね合わせと干渉
複数の余弦波が重なると、干渉現象が生じる。同周波数・同位相の波は強め合い（建設的干渉）、逆位相の波は弱め合う（相殺的干渉）。異なる周波数の波の重ね合わせはうなりを生じる。
2.2 エネルギーと減衰
余弦波が媒質中を伝播する際のエネルギー輸送や減衰について。
2.2.1 振幅減衰モデル
現実の波動は媒質の抵抗や散乱により振幅が指数関数的に減衰する：A(t) = A₀ e^{-γt}。ただし高周波ほど減衰が大きい場合が多い。余弦波に減衰項を組み合わせたモデルは減衰振動や減衰波動を記述する。
2.2.2 電力と実効値
交流電気において、余弦波電圧 V(t)=V₀ cos(ωt) の実効値は V_rms = V₀/√2。抵抗負荷における平均電力は P = V_rms²/R で与えられる。これらの関係は余弦波の二乗平均平方根に基づく。
3 応用分野
余弦波は多くの工学・科学分野で基本的な波形として利用される。
3.1 電気工学
3.1.1 交流回路
発電所から供給される交流電力は余弦波（または正弦波）に近い波形を持つ。コイルやコンデンサを含む回路では、電圧と電流の位相差が生じ、インピーダンスや共振現象の解析に余弦波表現が不可欠である。
3.1.2 信号変調
通信技術では、余弦波を搬送波として情報信号を乗せる振幅変調（AM）や周波数変調（FM）が行われる。cos(ωc t) に信号を乗算することで、スペクトルをシフトさせて伝送する。
3.2 音響学
3.2.1 純音と倍音
単一の余弦波は純音（サイン波）に対応し、音高と音量のみを持つ最も単純な音である。楽音は基本周波数の余弦波とその整数倍の余弦波（倍音）の合成で構成される。
3.2.2 楽器の音色
楽器の音色は、含まれる倍音の振幅分布（余弦波成分のスペクトル）によって決まる。フルートは少ない倍音、バイオリンは豊かな高次倍音を持つ。フーリエ解析により各楽器の余弦波成分が可視化される。
3.3 機械工学
3.3.1 振動解析
機械構造の固有振動は単振動（余弦波）でモデル化される。ばね-質量系の自由振動は x(t)=A cos(ω₀ t+φ) で表され、強制振動では外部からの余弦波加振に対する応答が解析される。
3.3.2 回転運動
回転体の角変位が時間に対して余弦的に変化する場合（例えばクランク機構）、部品の運動解析に余弦波が利用される。また、回転ベクトルの投影は余弦波を生成する（オイラーの公式による複素平面表現）。
4 関連概念
余弦波と密接に関連する数学的概念を挙げる。
4.1 複素数とオイラーの公式
オイラーの公式 e^{iθ} = cosθ + i sinθ により、余弦波は複素指数関数の実部として表現できる。これにより、余弦波の加算・微分・積分が複素平面上の回転として簡潔に扱える。
4.2 離散余弦変換
離散余弦変換（DCT）は有限個の点でサンプリングされた信号を余弦波の重ね合わせに変換する手法である。JPEG画像圧縮やMP3音声圧縮の基礎となっており、低周波成分へのエネルギー集中特性を利用する。
4.3 双曲線余弦関数
双曲線関数 cosh(x) = (e^x + e^{-x})/2 は定義上余弦関数と類似するが、実数軸上で偶関数であり、形状は懸垂線を表す。物理学では特殊相対性理論や電磁気学の一部で現れるが、周期的ではない点で余弦波と異なる。