1 定義
1.1 基本的な考え方
重心は、物体や図形、あるいは点の集まりについて、質量や面積、体積などの「分布」を、ひとつの代表点として要約する考え方に基づく概念である。直感的には、対象がもつ量がどのあたりに平均的に偏っているかを表し、その点に関する運動や釣り合いを扱うと計算が単純化される。
数学的には、重心は多くの場合「重み付き平均」の形で与えられる。重みは質量や密度、面積要素など、対象の種類に応じて決まるため、同じ幾何図形でも与え方によって異なる点が重心として得られる。
1.2 質量中心との関係
工学・物理で「重心」という語が用いられるとき、多くは質量中心を指す。質量中心は、質量密度を重みとして座標平均をとった点であり、重力場のもとでのつり合い位置と密接に結びつく。
ただし、数学的な重心は、質量中心に限られず面積中心や線分中心、一般の重み付き分布の平均点として定義されることがある。その場合、重心は「中心的な代表点」という役割を保持しつつ、重みの意味が質量から面積や密度へと置き換わる。
1.3 図形の種類による違い
重心は同じ体裁で扱えるが、対象の種類により計算の要所が変わる。離散的な点の集合、線分や領域のような一様性をもつ部分、さらに密度が連続的に変化する媒質などで、重みの与え方が異なるためである。
同一の幾何学的形に対しても、どの測度（点の重み、長さ、面積、体積、あるいは任意の密度）を採用するかで重心位置は変化する。従って「重心」を述べるときには、基準となる重みの定義を明確にする必要がある。
1.3.1 点の集合
点の集合に対する重心は、各点に割り当てられた重みを用いた重み付き平均として定義される。点 \(P_i\) に重み \(w_i\) が与えられるとき、重心 \(G\) は座標の平均として表されることが多い。
この設定は、質量が離散的に分布する系のモデルとしても解釈できる。重みが等しい場合は単なる算術平均に近い形になり、重みが偏っているほど重心は大きい重みの点へ引き寄せられる。
1.3.2 線分
線分の場合、重みは通常は長さ要素に比例して与えられるが、線密度を導入すれば一般化できる。例えば曲線上の密度が一定でないなら、線分を微小要素に分け、その寄与を積み上げることで重心が得られる。
線分が直線で単純に記述できる場合には、重心は幾何的な中心点（たとえば両端の中点）に一致することがある。一方、折れ線や曲線では平均位置が曲線の形状に依存し、計算には積分が現れやすい。
1.3.3 平面図形
平面図形の重心は、領域の面積要素を重みとして平均位置を求める考え方に基づく。密度が一定なら「面積中心」として扱え、密度が変わるなら面密度を反映した平均になる。
具体的には、図形を細分し各部分の面積と位置を用いて平均を取り、極限として連続領域の積分表示へ移行する。図形の境界が複雑でも、分割可能であれば重心を組み合わせで求められる場合がある。
1.3.4 立体
立体の重心は、体積要素を重みとして座標の平均をとった点である。物体の密度が一定であれば体積中心として解釈でき、密度が不均一なら体積密度の分布に従って位置が変化する。
三次元では計算が多段階になりやすく、積分の評価や対称性の利用が重要になる。特に対称性がある立体では、重心の座標の一部が自動的に確定し、残りの軸方向のみを計算すればよいことが多い。
2 数学的表現
2.1 座標による定義
重心は座標系における平均点として書ける。一般に、対象が \(n\) 次元空間に属し、各点や要素が座標で表されるなら、重心は各成分の平均を同時に満たす点として定義される。
定義式では分母に全重み（または全量）が現れ、分子に各成分の重み付き寄与が集計される。これにより重みの正規化の観点が明確になり、計算の安全性や解釈の一貫性が保たれる。
2.1.1 離散点の重心
離散点の重心では、点 \(P_i\) の座標を用い、重み \(w_i\) で割り引かずに平均をとる。たとえば二次元では \[ G_x=\frac{\sum_i w_i x_i}{\sum_i w_i},\quad G_y=\frac{\sum_i w_i y_i}{\sum_i w_i} \] のように表現できる。同様に高次元でも各成分について同型の式が成立する。
重みが物理的な質量である場合、単純な重みの増減は重心位置の移動として現れる。重みが負になりうる数学設定では別の解釈が必要になるが、通常は非負の重みを前提とすることが多い。
2.1.2 連続分布の重心
連続分布の重心では、空間領域を微小要素に分けて和を積分へ置き換える。密度を \(\rho\) とすると、例えば領域 \(D\) の重心座標は \[ G=\frac{\int_D \mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\,dV}{\int_D \rho(\mathbf{r})\,dV} \] の形で記述される。ここで \(\mathbf{r}\) は位置ベクトルである。
面積中心や線分中心は、それぞれ二次元や一次元の測度に置き換えることで同様の公式に従う。密度が一定なら、積分は単に重みの総量を面積や長さで置き換えることになり、計算が簡素化される。
2.2 重み付き平均
重心の中心的な数学的意味は、重み付き平均という枠組みにある。平均とは「全寄与の合計を、全寄与の重みで割る操作」であり、重心ではその寄与が位置ベクトルである。
重みの選び方が異なると平均点も変わる。よって重心は、幾何学的対象に固有の一点というより、対象と重みの組に対応する点として理解するのが適切である。線形性が成り立つため、合成系では分割による計算が可能になりやすい。
2.3 積分による表示
連続対象の重心は、積分による期待値のように表せる。測度を \(d\mu\) 、密度（あるいは重みの密度）を \(\rho\) とすると、重心は \[ G=\frac{\int \mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\,d\mu}{\int \rho(\mathbf{r})\,d\mu} \] としてまとめて書ける。
この表現は、解析学や計算幾何で扱いやすい。座標変数を変換したときに積分のヤコビアンがどう振る舞うかが問題となるが、その処理により変換規則の理解へつながる。さらに、数値計算ではこの積分を離散化した近似として実装することが多い。
3 性質
3.1 対称性
重心は対称性と強い関係をもつ。対象がある平面（あるいは軸）に関して対称であれば、その対称要素に垂直な方向の重心成分は一致する。たとえば反射対称をもつ領域では、反射軸に関する座標が自動的に確定する。
回転対称がある場合も同様で、重心は回転中心に一致することが多い。対称性が多いほど、自由度が減り計算が容易になる。これは解析的な積分評価でも、数値的な近似でも重要な手がかりとなる。
3.2 加法性
重心は合成に対して加法的な性質を示すことがある。たとえば二つの部分領域の重心と、それぞれの全重みが分かっていれば、全体の重心は重み付き平均として合成できる。
この性質により、複雑な形状でも既知の単純形の重心を組み合わせて求められる。分割の線形性が成り立つため、質量や面積の保存に相当する情報を利用できる点が実用上の利点である。
3.3 変換に対する挙動
重心の挙動は、対象に施した幾何学変換の種類に従う。一般に、変換が座標をどう変えるかに応じて、重心も同じ変換で更新される。ただし密度や重みが変換と整合していること（測度の扱い）が前提となる。
以下では代表的な三つの変換について述べる。どれも重心の計算を簡潔にする観点で有用である。
3.3.1 平行移動
対象を平行移動すると、重心も同じだけ平行移動する。これは、重み付き平均において全体の座標が一定ベクトルでシフトするためである。
具体的には、全ての位置ベクトル \(\mathbf{r}\) が \(\mathbf{r}+\mathbf{a}\) に置き換わると、平均も \(\mathbf{a}\) だけ移動する。重みの総量が変わらないなら、この関係は確実に成立する。
3.3.2 回転
回転変換を施すと、重心の位置ベクトルも同じ回転によって変換される。回転は距離や体積要素を保つため、適切な測度の仮定のもとで重み付き平均の整合が保証される。
回転角が変数として与えられる場合でも、重心は連続的に追随する。回転対称性があるときは回転中心が重心になるなど、対称性の節で述べた結果と整合する。
3.3.3 拡大縮小
拡大縮小（スケーリング）では、重心は基準点を中心として同率で移動する。対象の位置がスケールされると、重み付き平均に含まれる位置成分も同様に拡張されるためである。
密度がスケールによって変化する設定では注意が必要である。測度（面積や体積）に対応する重みの扱いを統一し、スケーリング則に従うことで正しい重心更新が得られる。
4 計算法
4.1 基本図形の重心
基本図形の重心は、対称性と既知の幾何量により導出できることが多い。対象が標準形で与えられる場合、一般式として表せるため、応用計算の部品として利用しやすい。
以下では代表的な図形に対し、重心の位置がどのように決まるかを述べる。実際の導出は座標設定や積分の評価に依存するが、結論としての配置関係は比較的単純になりやすい。
4.1.1 三角形
三角形の重心は、三つの頂点を結ぶ中線の交点として与えられる。各中線は対辺の中点を通る直線であり、その交点は頂点からの距離比が一定になる性質をもつ。
面密度や質量密度が一様な三角形では、この交点が重心になる。三角形の形状を座標で与える場合でも、中線の式から容易に求められることが多い。
4.1.2 四角形
四角形の重心は一般には単一の単純な交点で表せない。特に一般四角形では、面積分に基づく積分計算や、対角線での分割により求めるのが一般的である。
ただし、四角形に対称性がある場合には簡潔になる。たとえば平行四辺形や長方形などでは重心が対称中心と一致し、幾何学的に確定できる。作図や式変換の方針により、計算負担を抑えられる。
4.1.3 多角形
多角形は、三角形への分割によって重心を計算できる。多角形を任意の基準点を共有する複数の三角形に分け、それぞれの重心と面積（重み）を用いて全体の平均を取る。
この手法は計算幾何で扱いやすい。頂点の順序や凹凸の扱いを適切に設計すれば、面積や重心の符号付き合成によって一貫した結果が得られることがある。
4.1.4 多面体
多面体の重心は、一般には体積積分または分割により求める。実務では、多面体を四面体へ分解し、四面体ごとの重心と体積を重みとして合成する方法がよく用いられる。
四面体の重心は頂点座標の平均として表せるため、分解さえ適切に行えば計算可能になる。さらにメッシュデータから多面体を構成する場合、分割は自然にデータ構造へ落とし込める。
4.2 分割による方法
分割法は「複雑な対象を扱える基本要素へ分け、重心の加法性で合成する」方針である。領域を部分領域に分け、各部分の重心と全重みを用いて全体の重心を計算する。
この方法の利点は、解析的な積分が難しい形状でも対応できる点にある。分割の細かさを調整することで精度と計算量を制御でき、さらに対称性を併用すると効率が上がる。
4.3 数値計算
数値計算では、連続積分を離散点の集まりへ置き換えたり、領域を格子や要素で近似したりする。目的は、重心をある許容誤差の範囲で求めることにある。
形状データが多いほど、計算手法の選択が重要になる。計算誤差の発生源は、離散化の粒度、重みの評価、座標表現の丸め誤差などに分けられる。
4.3.1 近似計算
近似計算では、対象領域を細分し、各要素の代表点と重みを用いて和の形に置き換える。例えば領域が滑らかであれば、要素サイズを小さくするほど精度が向上する傾向がある。
ただし凹凸や境界の急な変化がある場合、単純な一様分割だけでは精度が頭打ちになることがある。その場合は適応的な分割や境界近傍の補正が有効になる。
4.3.2 計算機による求解
計算機では、メッシュや点群データから重心を推定する手順がよく用いられる。点群の重みが与えられているなら、重み付き平均をそのまま実装できる。
メッシュの場合は、要素（多角形や四面体など）ごとの体積や面積を重みとして、局所重心を合成する。効率面では、前計算で要素量を保持したり、ベクトル演算でまとめて処理したりすることで高速化が可能である。
5 応用
5.1 力学における利用
力学では重心は運動の整理に役立つ。質量の総和と重心の位置を用いることで、外力の作用を重心の加速度として表し、運動方程式の形を単純化できる。
たとえば剛体では、重心の運動と回転の運動を別々に記述できる枠組みがある。これにより、複雑な連成運動でも解析が進めやすくなる。
5.2 幾何学における利用
幾何学では重心が平均位置や平衡点の役割を担う。図形の対称性の解析、重心移動や最適化問題、あるいは幾何的平均の考え方に関連する。
計算幾何では、多角形や多面体の重心を求めることが、重力モデル、形状処理、モデリング補助などに直結する。さらに重心を中心とした座標変換は、数式の簡潔化にも寄与する。
5.3 統計学との関連
統計学では平均や期待値が中心的概念であり、重心はその幾何学的な具現化と見なせる。確率分布に対して、位置の期待値を取ればそれは連続分布の重心と一致する場合が多い。
この観点から、分布の「中心」を定量化する道具として重心が理解される。データが点として与えられている場合、重み付き平均は実質的に推定量に対応することがある。
5.4 工学・設計への応用
工学設計では、部品や構造物の重心が姿勢制御や安全性評価に関わる。重心がどの方向へどれだけ偏るかは、支持条件や転倒の評価に結びつくためである。
また、機構設計では重心位置を基準にしてバランスを取り、振動や応答を抑える方針が採られることが多い。単純な計算から始められるため、試作前の見積もりにも利用される。
6 関連概念
6.1 中心
中心は、対象を特徴づける代表点を指す一般語として用いられる。重心はその一種とみなせるが、中心という言葉は対称性や距離、面積など別の基準で定義される場合がある。
重心が「重み付き平均」という基準に基づくのに対し、中心の種類は複数存在する。したがって用途に応じて、どの中心を採用するかを明確にする必要がある。
6.2 図形の中心
図形の中心という語は、図形の特性に基づく代表点の総称として使われる。重心以外にも、外接円や内接円に関する中心、放物線など曲線の中心的概念、あるいは対称中心などが含まれうる。
対称中心と重心が一致する場合は多いが、一般には一致しない。よって計算結果の解釈では、対称性の有無と重みの定義を確認することが重要になる。
6.3 慣性中心
慣性中心は、動力学において回転や慣性の性質と結びつく点として現れる。重心は質量分布の平均点として定義されるのに対し、慣性中心は慣性テンソルや回転の扱いと関連することが多い。
剛体の運動を記述する際、重心と慣性に関する量はともに重要になるが、概念は同一ではない。慣性中心の定義は文脈や対象の条件によって表現が異なるため、使う分野での意味を確認するのが適切である。
6.4 平均値との関係
重心は、幾何学的に表現された平均値である。離散点では加重平均、連続分布では期待値に類する積分として理解できるため、統計の平均と数学的に同型な側面を持つ。
ただし「平均値」という語は、線形な平均だけでなく、幾何平均や他の統計量をも含みうる。重心の場合は位置の線形平均を採用することが基本であり、そこで得られる代表点が重心として位置づけられる。