1 誤差伝搬の基本
1.1 定義と目的
誤差伝搬は、入力側に含まれる不確かさが、関数で結ばれた出力側の不確かさとしてどのように現れるかを体系的に見積もる考え方である。観測値や推定量がばらつきや近似誤差を含むとき、得られる計算結果の誤差（統計的な不確かさを含む）を、単に経験的に増減させるのではなく、数学的な関係と仮定にもとづいて整理することが目的となる。
1.2 不確かさの種類
1.2.1 測定誤差と推定誤差
測定誤差は、測定装置・手順・校正などに起因して生じる入力の不確かさを指すことが多い。推定誤差は、データからパラメータや状態を推定する際に生じる不確かさであり、例えば回帰係数推定や平均推定などが該当する。いずれも「入力の不確かさが出力に及ぶ」という意味では同様の伝搬問題だが、生成過程や取り扱うべき依存関係が異なるため、実務では両者を区別して記述することが望ましい。
1.2.2 系統誤差と偶然誤差
偶然誤差は、同一条件で繰り返してもばらつく要素に由来し、確率的な変動としてモデル化されることが多い。系統誤差は、偏りとして現れる要素であり、平均値のずれを引き起こし得る。誤差伝搬では、偶然誤差は分散や共分散として扱いやすい一方、系統要因は推定・校正・モデル化の不完全さとして別枠で扱う設計が一般的である。
1.3 典型的な適用場面
1.3.1 物理計測
物理計測では、温度・長さ・電圧などの観測量から力、密度、圧力、断熱指数のような派生量を計算する場面が多い。観測量が持つ分解能、校正の不確かさ、環境変動などが、最終的な物理量の標準不確かさにどう反映されるかを示すことが、実験報告の信頼性に直結する。
1.3.2 工学計算
工学では、寸法、公差、センサ出力、材料特性のばらつきなどを入力として、性能指標（応力、効率、電力、耐久性の推定など）を算出する。設計変数のばらつきが性能の分布として表れるように、伝搬の枠組みを使って不確かさを設計要求と結びつけることが行われる。
1.3.3 統計推定の報告
統計推定では、推定量の分散や推定誤差が重要な報告項目となる。例えば平均差、回帰係数、比率など、推定量が他の集計量から計算される場合、入力の不確かさが連鎖して出力に現れるため、誤差伝搬により標準誤差や区間評価を整える。
2 数学的枠組み
2.1 一次近似による伝搬
2.1.1 テイラー展開と線形化
出力 \(y\) を入力ベクトル \(x\) の関数 \(y=f(x)\) とする。入力の真値まわりでの微小な揺らぎを考え、テイラー展開により \[ y \approx f(x_0) + J(x_0)(x-x_0) \] のように一次項までで近似する方法が一次近似である。ここで \(J\) は導関数の集まり（感度係数）であり、入力の微小な変動が出力の微小変動へどう変換されるかを表す。
2.1.1.1 ヤコビアン（感度係数）の考え方
ヤコビアンは、多変数関数における偏微分の行列として定義される。各要素は、ある入力成分をわずかに変えたときに出力がどれだけ変化するか（局所的感度）を示す。一次近似の下では、出力の分散は「感度の大きさ」と「入力の分散（共分散）」の組み合わせとして計算できるため、ヤコビアンの解釈が誤差伝搬の見通しを与える。
2.1.2 1変数の誤差伝搬
入力 \(x\) の不確かさが \(\sigma_x\) として与えられ、出力が \(y=f(x)\) の場合、一次近似では \[ \sigma_y^2 \approx \left(\frac{df}{dx}\right)^2 \sigma_x^2 \] のように表される。導関数が大きい点では小さな入力誤差が大きな出力変動に増幅され、逆に導関数が小さい点では感度が低いことを意味する。線形化が妥当な範囲では、出力の標準不確かさは入力の標準不確かさに比例する。
2.1.3 多変数の誤差伝搬
入力がベクトル \(x\) であり、出力が \(y=f(x)\) のスカラー関数の場合、入力の共分散行列を \(\Sigma_x\)、ヤコビアンを \(J\)（勾配ベクトル）とすると一次近似の分散は \[ \sigma_y^2 \approx J \Sigma_x J^\top \] で与えられる。出力が複数成分（ベクトル関数）の場合は同様に、出力側の共分散を行列で表す枠組みに拡張できる。
2.2 相関を含む誤差伝搬
2.2.1 分散共分散行列による表現
入力の不確かさが相関を持つとき、分散だけでは情報が不足する。そこで分散共分散行列 \(\Sigma_x\) を用いて、対角成分（各成分の分散）と非対角成分（成分間の共分散）を同時に取り扱う。一次近似では、前節の行列表現によって相関が自動的に寄与する形になるため、実装上も一貫した計算が可能になる。
2.2.2 相関係数の扱い
相関係数は、共分散を各成分の標準偏差で正規化した指標として扱われる。一次近似における最終的な不確かさには、共分散の符号が影響するため、相関が正の場合は増幅、負の場合は相殺が起き得る。ただし相関係数は一つの要約量であり、複数変数が絡むときには行列の情報量が必要になる。
2.3 極限・近似の範囲
2.3.1 非線形性の影響
一次近似は局所的な線形化に基づくため、関数の曲率が強い領域では精度が落ちる。入力の不確かさが大きい場合や、導関数が不安定に変化する場合には、高次項が無視できず、予測した分散が過小または過大になることがある。実務では一次近似の妥当性を確認するため、感度の変化や数値的な再計算が用いられる。
2.3.2 高次項の必要性
高次項を含めると、出力の平均や分散の推定式がより複雑になり、分布形状（非対称性）も無視できなくなる。場合によっては、二次までの展開や、実際の計算分布をシミュレーションする手法が選択される。選択は、必要な精度、計算コスト、入力の確率モデルの確からしさに依存する。
3 推定と計算の手法
3.1 解析的手法
3.1.1 近似式の導出
解析的手法では、一次近似の式を出力の形式に合わせて導出し、必要な偏微分や行列計算を行う。入力の分布を正確に知らなくても、微小変化に対する感度と分散・共分散が分かれば不確かさの推定は可能になることが多い。導出過程は、関数の微分可能性や線形化が成立する範囲の確認と結びつく。
3.1.2 単位と次元の整合
誤差伝搬の計算では、導関数が導く次元変換も含めて整合性が重要になる。例えば、長さの誤差が面積の誤差へ反映される際、導関数によって次元が自動的に変換されるはずである。単位系の取り違えや、スケーリングの不整合は不確かさ評価を破綻させるため、計算の途中で次元チェックを行う手順が有効である。
3.2 数値的方法
3.2.1 モンテカルロ法
モンテカルロ法は、入力の確率モデルから多数のサンプルを生成し、それぞれを関数に代入して出力分布を近似する手法である。線形化の前提を緩め、非線形性や相関を直接取り込める点が利点とされる。
3.2.1.1 疑似乱数と分布仮定
実際の計算では疑似乱数を用いてサンプルを作る。入力の分布（例：正規、対数正規、一様など）や相関構造がモデル化され、それに従ってサンプリングされる。分布仮定が外れると結果の不確かさもズレるため、推定対象とデータ生成過程に整合する仮定を置くことが重要になる。
3.2.2 ブートストラップ
ブートストラップは、観測データを再標本化して推定量の分布を近似する手法である。解析的な微分計算が難しい場合や、推定量が複雑な関数（中央値、分位点、複合統計など）である場合に用いられる。データから得た分布を前提に再計算するため、特定の仮定に依存しすぎない利点がある一方、サンプル数や依存構造の扱いには注意が必要となる。
3.3 サンプルサイズと誤差の見積り
3.3.1 頻度論的な不確かさ
頻度論的な枠組みでは、繰り返し実験を想定し、推定量の変動を分散や区間として評価する。誤差伝搬の観点では、入力推定に伴うばらつきが出力に移るため、有限サンプルの影響を見込んだ標準誤差や区間推定が関心の対象になる。モンテカルロ法であれば、サンプル数に伴う近似誤差も同時に管理する必要がある。
3.3.2 ベイズ的な不確かさ（枠組みの概観）
ベイズ的な不確かさでは、未知量に確率分布を割り当て、その不確かさを事後分布として表現する。誤差伝搬は、事後分布のサンプルを生成して出力の分布を求める形で実装されることが多い。結果として、出力の不確かさが「不確実性としての分布」によって直接記述されるため、非線形性の影響や複数情報の統合を扱いやすい場合がある。
4 報告と解釈
4.1 信頼区間・標準不確かさの関係
4.1.1 標準偏差、分散、標準誤差
標準偏差はばらつきの度合いを表す基礎指標であり、分散はその二乗量に対応する。標準誤差は、推定量のばらつき（推定の誤差）を示す概念で、サンプル数が増えると縮小する傾向を持つ。誤差伝搬では、入力の標準偏差や分散が出力の標準不確かさへ変換され、その結果として信頼区間の幅に関わる。
4.1.2 信頼係数と解釈
信頼区間は、同じ手続きを多数回繰り返したときに区間が含む割合（信頼係数）を基準に解釈されるのが一般的である。標準不確かさから区間を作る際には、近似の妥当性（正規性や線形化の成立など）が前提条件として関与する。区間の解釈は読者の誤読を招きやすいため、どの枠組み（頻度論／ベイズ）に基づく区間かを明確にすることが実務上重要になる。
4.2 観測量から結果量への換算
4.2.1 単位変換と伝搬
単位変換は関数として扱えるため、換算係数が一定なら誤差伝搬は比較的単純になる。例えば華氏から摂氏へのような線形変換では、標準不確かさは変換係数の絶対値で比例して変換される。一方、非線形な変換（対数、指数など）では導関数の形に応じて不確かさが変わるため、変換関数を明示して計算することが推奨される。
4.2.2 モデルパラメータの扱い
計算に使うモデルパラメータ自体にも不確かさが含まれる場合がある。このときは、パラメータを入力として誤差伝搬に組み込むか、別途の不確かさとして合成するかを決める必要がある。相関がある推定済みパラメータを扱うときは、共分散の情報を活かして伝搬させるのが整合的である。
4.3 実務上の注意点
4.3.1 仮定（独立性・分布）の妥当性
一次近似の利用には「局所的に線形であること」や「入力の分散・共分散が適切に表せること」が関わる。独立性の仮定が成立しない場合、相関を無視した伝搬は誤りになりやすい。分布仮定も同様で、実際の残差や測定値の歪みが大きいときには、より柔軟な計算（シミュレーション等）を検討する。
4.3.2 桁の丸めと見せ方
丸めは見た目だけの問題ではなく、表現される不確かさの桁数や有効数字の整合に影響する。過度な丸めは情報を失わせ、逆に細かすぎる表示は読者に過度の確実性を与えかねない。標準不確かさと推定値の桁対応を意識し、報告規約に沿って統一することが望ましい。
4.3.3 直感に反する結果への対処（非線形・相関）
非線形性の強い場面では、「直感より小さい」あるいは「直感より大きい」不確かさが出ることがある。相関が絡むと、別々に見積もった誤差が相殺される場合もあり、見かけの増減に驚くことがある。対処としては、一次近似の妥当性検証、シミュレーションによる再評価、共分散情報の確認などを行い、解釈を実データと整合させる。
5 関連概念
5.1 感度分析との関係
感度分析は、出力が入力の変化にどれほど敏感かを調べる枠組みであり、誤差伝搬の「感度（ヤコビアンなど）」の要素と密接に関連する。両者は対象と目的が異なることがあり、感度分析が入力変更の影響の方向性や重要度を重視するのに対し、誤差伝搬は不確かさの大きさとしての影響を定量化する点に主眼がある。
5.2 逆問題・同定との関係（概観）
逆問題や同定では、観測結果から原因側のパラメータや入力を推定する。誤差伝搬は、観測の不確かさが推定結果へどう移るかを理解するうえで役立つ。特に、同定の不確かさが大きくなる領域では、感度の低下や相関構造の増大が起こり、伝搬の計算が重要な指針となる。
5.3 不確かさ評価の規格・枠組み（一般論）
不確かさ評価には、実務で共有される考え方や報告様式を定める枠組みが存在し、測定のトレーサビリティや統計モデルの扱いが議論されることがある。誤差伝搬はその枠組みの一部として位置づけられ、入力の情報をどの形で取得し、どの合成手順で出力へ反映するかという設計に関わる。実施する場面に応じて、適用可能な手順と前提条件を確認しながら整合させるのが一般的である。