1 簡単無作為抽出の概要
1.1 定義と直感
1.1.1 「同じ確率で選ぶ」ことの意味
簡単無作為抽出とは、母集団の各要素が抽出のたびに同程度のチャンスで選ばれるよう設計された抽出法である。具体的には、抽出の結果がどの要素を含むかに関して、事前に定めたルールのもとで各要素の選択確率が等しくなることを指す。ここで重要なのは、「一度選ばれたかどうか」だけでなく、抽出手続き全体を通じて要素間の有利不利が生じないことにある。
1.1.2 標本抽出と母集団の関係
母集団とは、推測したい対象の全体集合であり、標本とはその一部として抽出された要素の集合である。簡単無作為抽出の考え方では、母集団の性質（平均や割合など）を標本から推定するため、標本が母集団を「公平に」写すことが期待される。したがって、母集団が適切に定義されているか、また抽出がその母集団に対して均等に働いているかが、以後の推定結果の信頼性を左右する。
1.2 数学的な定式化
1.2.1 等確率性の表現
母集団を有限集合として表し、その要素を添字で区別する。簡単無作為抽出では、抽出される各要素の確率が同一になるように定義する。たとえば復元抽出なら、各回の選択は同じ確率で行われるため、ある特定の要素が選ばれる確率は一定となる。非復元抽出でも、最終的に得られる標本の組み合わせが、同じ大きさの標本を対象にしたとき同等の確率で生じる形になる。
1.2.2 標本空間と事象
抽出の結果として得られる標本全体を標本空間と呼ぶ。ここでは、標本空間の各要素は「ある抽出結果そのもの」であり、確率はその結果が起こる頻度の理想化として割り当てられる。さらに、例えば「標本平均がある範囲に入る」「特定の属性を持つ個体が標本に含まれる」など、標本空間の部分集合に対応する出来事を事象として扱う。等確率性が成立している場合、事象の確率は事象に含まれる標本の数や、それに対応する確率の合計として整理できる。
1.3 実務上の前提条件
1.3.1 母集団の明確化
実務ではまず、母集団の範囲を特定する必要がある。例えば「ある工場の全製品」か「ある期間に製造されたロット」かなど、対象の境界が曖昧なままだと、無作為抽出の前提が破綻しやすい。さらに、母集団に含まれる個体の重複や取りこぼしがあると、実質的には要素ごとに選ばれやすさが変わり、等確率性が崩れる。
1.3.2 抽出機構の偶然性
次に、抽出手続き自体に偶然性が確保されていることが必要である。乱数表、乱数による番号付け、機械的な抽出などにより、人為的な好みや当て推量が介入しない設計が求められる。実際の作業では、抽出枠の作り方、欠番の扱い、抽出過程の記録の有無といった細部が、見えにくい偏りを生むことがあるため注意が必要である。
2 抽出方式による違い
2.1 復元抽出
2.1.1 一回ごとの独立性
復元抽出では、各回に選ばれた要素を標本に戻し、次回も同じ母集団から再度抽出する。すると、各回での選択結果は互いに独立になりやすい。この独立性により、ある属性を持つ個体が一定回数現れる確率などの計算が、繰り返しの積として整理できる。直感的には「前の抽選の影響がない」状態が保たれる。
2.1.1.1 確率計算の簡単化
独立性があると、複雑な依存関係を考えずに確率をまとめられるため、式の見通しが良くなる。たとえば成功の定義（属性の有無など）を固定した場合、成功回数は「同じ確率での試行の集まり」として扱える。結果として分布導出や推定の理論展開が、比較的扱いやすくなる。
2.1.2 導かれる代表的な分布
復元抽出に対応する代表的な分布としては、成功確率が一定の試行を繰り返す枠組みで現れる分布が挙げられる。特に、固定した成功確率のもとで成功回数を数える場面に自然に適用されるため、比率推定や検定の基礎となることが多い。母集団が十分大きい状況では、非復元でも近似として復元的な扱いが有用になる場合がある。
2.2 非復元抽出
2.2.1 条件付き確率と依存性
非復元抽出では、選ばれた要素を母集団に戻さないため、次回以降の選択確率が変化する。例えば、ある属性を持つ個体が一度選ばれると、それに対応する残数が減るため、以後の選択に影響が出る。したがって、試行間には依存関係が生じ、単純な独立試行としては表しにくい。
2.2.1.1 フェルミ／ハイパージオメトリック型の考え方
非復元抽出では、条件付き確率の枠組みで「残りの個体数」に基づく計数が中心になる。標本に含まれる属性個体の数は、母集団の内訳と標本サイズの関係から決まるため、当該状況では組み合わせ（残数の選び方）の発想が強く働く。この考え方により、成功回数の確率モデルが導かれる。
2.2.2 導かれる代表的な分布
非復元抽出に対応する典型例としては、母集団の内訳（属性個体の個数と残り）と標本サイズを用いて成功数の確率を表す分布が挙げられる。復元に比べて、標本が大きくなるにつれ「変動が抑えられる」傾向が現れやすく、誤差評価や分散推定で差が出ることがある。
2.3 どちらを選ぶべきか
2.3.1 標本サイズと母集団サイズの関係
実務では、母集団に対して標本が占める割合が大きいかどうかが判断材料になる。標本割合が小さければ、非復元でも抽選回数の影響は限定的となり、復元モデルに近い挙動が見られることがある。一方、標本割合が大きい場合は、戻さないことによる依存性が無視できず、非復元に基づく評価が妥当になる。
2.3.2 実データでの適合
実データの解析では、まず採用された抽出手順が復元か非復元かを確認することが出発点になる。次に、推定に使う分散や誤差の見積もりが、観測されるばらつきと整合的かを検討する。抽出手続きが曖昧な場合は、最初にデータ生成過程を整理し、必要なら感度分析として両モデルの結果を比較する方法がとられることがある。
3 推定・推測への利用
3.1 点推定（平均・比率など）
3.1.1 標本平均の性質
標本平均は、標本中の数値を単純に平均した量であり、母平均の推定値としてよく用いられる。簡単無作為抽出の枠組みでは、標本平均は母平均を中心とした変動を持つことが理論的に示される。どちらの抽出方式でも、偏りのない性質（期待値の一致）を満たす条件が整っていれば、平均推定の基本器として利用できる。
3.1.2 標本比率の考え方
比率は、標本内である属性を持つ個体の割合として定義される。たとえば合格率や不良品率など、二値的な判定に基づく指標に適している。無作為抽出が成立していると、標本比率も母集団の比率を中心に揺れる量として解釈でき、成功確率をパラメータとする確率モデルに接続される。したがって、比率の推定とその誤差評価が体系的に組み立てられる。
3.2 不偏性と一致性
3.2.1 不偏推定の確認
不偏推定とは、推定量の期待値が真の母数と一致する性質を指す。簡単無作為抽出では、等確率性や抽出方式に応じた条件が満たされる限り、標本平均や標本比率が不偏推定として扱えることが多い。実務上は「母数の定義」「抽出が本当に均等か」「欠損や測定誤差が母集団の性質と独立か」といった要素が前提として重要になる。
3.2.2 標本数増加による安定化
一致性は、標本サイズが大きくなるにつれて推定値が真の値へ近づく性質である。無作為性が保たれていれば、標本のばらつきは相対的に小さくなり、推定の安定性が増す。復元と非復元では依存性の扱いが異なるが、適切な条件下で「大標本ほど近づく」という一般的な傾向が得られる。
3.3 分散と誤差評価
3.3.1 分散の見積もり
推定の精度は分散によって測られる。標本平均ならば、母集団のばらつきと標本サイズにより分散が決まり、抽出方式によっては分散調整が必要になることがある。非復元では有限母集団効果により変動が抑えられる場合があり、その補正を反映した推定が望ましい。実務では、未知の母分散を標本から推定し、その推定分散を用いて誤差を評価する。
3.3.2 信頼区間の基礎
信頼区間は、真の母数がある範囲に入る確率を意味する推測的な枠組みである。分散や標準誤差の見積もり、そして近似や分布仮定に基づく計算を通じて構成される。標本が小さい場合や非正規性が疑われる場合は、より慎重な手順が必要になることがあるが、無作為抽出という「誤差の源泉」を整理する前提が整っているほど、信頼区間の解釈は明確になる。
4 応用例と注意点
4.1 典型的な応用場面
4.1.1 アンケート調査
アンケートでは、回答者を無作為に選ぶことで、推定結果を母集団へ一般化しやすくする。例えば有権者の意識、顧客満足度、健康関連の指標など、多様な主題で利用される。復元か非復元かは、連絡先の扱いや同一人物への再接触の可否など運用設計に依存するため、手順の記録が重要になる。
4.1.2 品質管理の抜き取り
品質管理では、製品や部品を抜き取り検査することで全数検査の負担を軽減する。ここでも、ロット内からの抽出を均等にすることで、推定された不良率や平均値が偏りにくくなる。抽出間隔、作業順の偏り、検査対象の欠測などがあると、理想的な無作為性から逸脱するため、手順書と監査が有効な管理手段になる。
4.2 落とし穴（偏りの原因）
4.2.1 不完全な母集団の設定
偏りは、母集団の定義が実際の対象と一致していない場合に生じやすい。たとえば「調査可能な人だけ」を母集団にしてしまうと、本来の関心対象（全体）から欠落が起き、選択確率の均等性が崩れる。さらに、名簿の更新漏れや重複登録も、個体ごとの選ばれやすさを変化させる要因になる。
4.2.2 抽出手順の違反
抽出機構が意図した無作為抽出になっていないと、偏りが入り込む。例として、都合の良い回答者だけを優先する、特定のロットを取り分けてから抽出する、抽出結果の再抽選が条件付きで行われるといった運用上の逸脱がある。抽出時点での隠れたルール変更は、分析側で復元できない場合があるため、現場レベルでの統制が必要である。
4.3 計算例と直感チェック
4.3.1 小さな母集団での手計算
小規模な母集団では、全ての抽出結果を列挙し、確率を直接計算して直感を確認できる。例えば、母集団の内訳が少数のとき、成功数が取りうる値とそれぞれの組み合わせ数を数えることで、復元・非復元の違いが視覚的に理解しやすい。手計算は理論の妥当性確認に役立つ。
4.3.2 シミュレーションでの確認
より一般的には、乱数を用いて多数回の抽出を模擬し、推定量の分布や分散を観察する。シミュレーションでは、抽出方式の設定（戻すかどうか、標本サイズ、成功の定義）を明確にし、結果が理論予測と近いかを確認する。これにより、前提条件の違反や計算式の取り違えを発見しやすくなる。