1 狭義定常の概要
狭義定常（wide-sense定常などではなく、狭い意味の定常性）は、確率過程に対して「時刻をずらしても、ある種類の統計的性質が変わらない」ことを要求する考え方である。特に、有限次元の確率分布全体の不変性を求めるよりも緩く、平均や分散、共分散といった低次の統計量に焦点を当てる定義が一般的である。
この概念は、時系列を入力として解析や推定、予測を行う場面で基盤となる。なぜなら、統計量が時間に依存しなければ、推定誤差の挙動やモデル化の単純化が期待でき、計算や理論の整合性が取りやすくなるためである。
1.1 定常性の基本的な考え方
定常性とは、確率過程の統計的構造が時間平行移動に対して不変であるという要請を指す。ここで「統計的性質」とは、平均のような中心傾向、分散のようなばらつき、あるいは相互関係を表す共分散など、分布を要約する指標を含む。
狭義定常では、時刻を動かしたときにこれらの指標がどう変化するかを見て、変化しない範囲を明確にする。結果として、過去と未来の関係が時間によらず同様に振る舞うという見通しが得られる。
1.2 「狭義」が意味する範囲
「狭義」と呼ばれるのは、要求する不変性の対象が限定されるためである。完全に同じ確率分布が時間ずれで一致することまでは求めず、たとえば平均や共分散といった二次までの情報に限って不変性を課す形が代表的である。
そのため、狭義定常であっても、分布の形（裾の重さや歪み等）が時刻によって変化する可能性は残る。解析上は「扱いやすいが万能ではない」という性格がある。
1.3 主要な定義（平均・共分散の観点）
確率過程をランダム信号 \(X(t)\) とみなすとき、狭義定常の中心的な定義は、平均と分散、さらに遅れを介した共分散が時刻に依存しないことで表されることが多い。対象が離散時間であっても同様の考え方が用いられる。
定義は「一次統計量（平均）」「二次統計量（分散と共分散）」に分けて整理すると理解しやすい。
1.3.1 平均が一定であること
平均が時間に依存しないとは、各時刻 \(t\) における期待値が一定値 \( \mu \) に等しいことを意味する。すなわち、ある定数 \( \mu \) が存在して \[ \mathbb{E}[X(t)] = \mu \] が成り立つ、という形で表現される。
平均が一定であることは、基準レベル（オフセット）が変動しないことに相当し、後続の共分散分析を安定化させる要因にもなる。
1.3.2 分散が一定であること
分散が一定であるとは、ばらつきの大きさが時刻によらないことを要求する。具体的には \[ \mathrm{Var}(X(t)) = \mathbb{E}[(X(t)-\mu)^2] \] が一定になること、あるいは二次モーメントが同じ値に保たれることを通じて述べられることが多い。
分散が変動する場合、信号の振幅の規模が時間とともに変わるため、共分散を用いた評価の解釈が複雑になる。
1.3.3 自己共分散が遅れのみに依存すること
狭義定常の特徴は、自己共分散が「時刻」ではなく「遅れ」にのみ依存する点にある。遅れを \(\tau\) とすると、任意の時刻 \(t\) で \[ \mathrm{Cov}(X(t), X(t+\tau)) \] が \(t\) ではなく \(\tau\) のみによって決まる、という条件として定式化される。
この性質により、信号が持つ時間的な関連構造は時間軸上で一様に繰り返されるとみなせる。相関の減衰や周期性なども、遅れの関数として特徴づけやすくなる。
2 数学的定式化
狭義定常は、確率過程の期待値や二次モーメントを用いて明確に記述できる。ここでは連続時間・離散時間の双方で通用する形を意識しつつ、数学的な条件を整理する。
以降、平均を \(\mu\) とし、共分散を遅れに関する関数として表す枠組みを中心に述べる。
2.1 確率過程の記法
確率過程は \(X(t)\)（離散なら \(X_n\)）と書ける。期待値 \(\mathbb{E}[\,\cdot\,]\) と共分散 \(\mathrm{Cov}(\cdot,\cdot)\) が定義されるためには、少なくとも必要なモーメントが有限であることが前提になる。
連続時間の場合も、解析・信号処理で実装されることの多い離散時間の場合も、同じ論理で定常性の条件を記述できる。
2.2 狭義定常の条件整理
条件整理では、まず一次統計量、次に二次統計量を順に並べる。狭義定常として典型的に要求されるのは、平均の時間不変性と、分散および共分散の遅れ依存性である。
この分解は、実装上も「まず平均を取り除く（センタリング）」「次に二次統計量を推定する」という手順に対応しやすい。
2.2.1 一次統計量に関する条件
一次条件は、期待値が一定であること、すなわち \[ \mathbb{E}[X(t)] = \mu \] である。離散時間では \( \mathbb{E}[X_n]=\mu \) と書ける。
もし平均が時間とともに変化するなら、信号にはトレンドや外部入力由来の非定常成分が含まれている可能性があり、狭義定常の仮定は満たされない。
2.2.2 二次統計量に関する条件
二次条件は分散と共分散のふるまいに関わる。分散一定は \[ \mathrm{Var}(X(t)) = \sigma^2 \] の形で表される。さらに自己共分散（あるいは共分散関数）について \[ \mathrm{Cov}(X(t),X(t+\tau)) = R_X(\tau) \] とし、右辺が \(t\) に依らず \(\tau\) のみの関数であることを求める。
このとき、共分散関数 \(R_X(\tau)\) が「時間シフト後も同じ相関構造を与える」指標として機能する。
2.3 共分散関数と相関関数
共分散関数 \(R_X(\tau)\) は、狭義定常を扱う際の中心的対象である。自己共分散の定義は平均を使うため、平均が一定であることと整合している必要がある。
相関関数は共分散を正規化して得られることが多く、比較可能性が高まる。
2.3.1 共分散関数の性質
狭義定常のもとでは、共分散関数は遅れ \(\tau\) のみに依存する。さらに、実値過程では通常の対称性が現れ、符号反転に関する関係が成立する。
また、分散に対応するのは零遅れであり、\(\tau=0\) では \(R_X(0)=\sigma^2\) になる。これは二次モーメントの一貫性を意味する。
共分散が十分滑らかであれば、周波数領域への変換（スペクトル解析）も進めやすくなる。
2.3.2 相関関数の対称性
相関関数 \( \rho_X(\tau) \) を共分散で正規化して \[ \rho_X(\tau) = \frac{R_X(\tau)}{R_X(0)} \] のように定義する場合、零遅れで最大値（通常1）が与えられる。
実値の過程では、一般に \(\rho_X(-\tau)=\rho_X(\tau)\) の対称性が成り立つことが多い。これは、遅れを前後にずらしたときの結びつきが同等である、という直観的説明に対応する。
複素過程では共役が関わり、対称性の形が変わることがあるため、対象の型に応じて定義を確認する必要がある。
3 狭義定常と関連概念
狭義定常は、他の定常性概念と比べて要求水準が低い。ここでは「広義」「厳密」といった区分の違い、さらに二次定常との関係、そして線形性などの性質との混同を避けるための切り分けを行う。
定常性は単体で完結する概念ではなく、統計量の範囲や分布の一致の程度によって複数の階層がある。
3.1 広義定常・厳密定常との違い
定常性の強さは、時刻シフトに対する不変性をどこまで要求するかで分かれる。狭義定常は平均と共分散といった二次までを中心に置くのに対し、より強い概念では分布全体の一致に近づく。
ここで「より強い」とは、満たすための条件が増えるという意味である。
3.1.1 異なる強さの定義
厳密定常（strict sense）は、有限次元分布が時間シフトで一致することを要求する。これは確率分布の形まで強く固定するため、条件が厳しい。
広義定常（wide sense）は、たいてい二次統計量が時刻に依存しないことに焦点を当てる。狭義定常と似た語が使われることがあるが、文献によって用語対応が揺れる場合があるため、定義式（どの統計量が不変か）を確認することが重要になる。
狭義定常は、少なくとも平均と共分散が一定であることを中心に据え、分布の高次特徴は規定しない。
3.1.2 どこまでが保証されるか
狭義定常が保証するのは、一次・二次モーメントの時間不変性にとどまる。したがって、ガウス性が仮定されない限り、確率分布の変化（歪みや尖度の時間変動）までは排除されない。
一方で、線形推定やスペクトル推定の理論では、二次統計量の不変性が直接効いてくるため、実務上は十分な基盤として機能しやすい。
3.2 第二次定常との関係
第二次定常（second-order stationarity）は、二次モーメントに関する不変性を軸に定義される概念であり、狭義定常とほぼ同じ内容を指すとされることが多い。ただし、用語の対応は分野や著者により一致しない場合がある。
実際の区別は「平均の扱いを含めるか」「共分散をどの程度一般に要求するか」など、定義における細部で決まる。したがって、同義と断定せず、条件式の一致を確認して整理するのが確実である。
3.3 定常性以外の性質（線形性など）との切り分け
定常性は、線形性や独立性、マルコフ性のような性質とは別の軸である。狭義定常であっても、線形変換のもとでの分布のふるまいが自動的に決まるわけではない。
また、相関構造が時間不変でも、将来と過去の依存がどの程度「短期」か（どれくらい遅れで無相関に近づくか）といった性質は別途評価が必要になる。したがって、モデル化では「定常性を仮定した後に追加の仮定を置く」順序が重要になる。
4 応用と見通し
狭義定常は、時系列解析や信号処理において、扱いやすさと理論的整合性のバランスを提供する。実務では、定常性が完全に成り立つことよりも、「近似としてどこまで有効か」を検証する姿勢が一般的である。
また、検証結果に応じてモデルを調整することで、解析の頑健性を高めることができる。
4.1 時系列解析での利用
時系列解析では、推定や検出の手続きが定常性の仮定に依存することが多い。狭義定常では平均と共分散の挙動が一定とみなせるため、推定量の分布特性を扱いやすくなる。
推定の安定化だけでなく、予測設計の基礎にも関係する。
4.1.1 推定の安定性への影響
平均や分散が時間に依存しないと、サンプル平均や共分散推定が「時間方向に同じ仕組みで積み上がる」ことになる。その結果、推定量のブレが時間区間の取り方に強く左右されにくくなる。
ただし実データでは、非定常成分が混ざる場合があり、その場合は推定誤差が増える。区間を分割して局所的に評価するなどの工夫が実務で用いられる。
4.1.2 予測への適用
狭義定常の仮定は、過去から将来への依存が遅れの形として一様に表されるという見通しを与える。これにより、自己相関に基づく予測や、共分散構造を利用する線形予測の設計が合理化される。
予測精度は、定常性からの逸脱の程度に影響されるため、推定・検証・再推定を組み合わせて運用することが多い。
4.2 信号処理・制御への接続
信号処理では、狭義定常な確率信号を入力として扱い、フィルタの応答やスペクトル解析を行う枠組みが構築されている。共分散が遅れ関数で表されると、周波数領域での扱いが自然に進む。
制御の文脈でも、ノイズモデルが狭義定常であると仮定することで、評価指標（例えば分散）を安定に定義できる場合がある。
ただし、環境が時間変化する場合には、定常性が近似として破れるため、ロバスト設計や適応的推定と組み合わせることがある。
4.3 実データでの扱い（検証の考え方）
実データにおいては、狭義定常を「厳密な真理」ではなく「分析上の近似」として扱うことが多い。そのため、確認すべき対象は、平均の安定性と二次統計量の遅れ依存性である。
検証は単発の判定というより、モデル選択や前処理の指針になる。
4.3.1 統計量の推移確認
平均が一定かどうかは、スライディングウィンドウで平均を計算し、区間間での差を観察することで検討できることが多い。分散についても同様に、窓ごとのばらつきが大きく変動していないかを確認する。
共分散については、異なる時期のデータ対で推定した自己共分散を比較し、遅れ方向の形が概ね一致するかを見るのが基本的な発想である。
4.3.2 モデル選択との関係
定常性がある程度成り立つなら、自己相関・共分散の構造を使ったモデル（線形時系列モデルなど）の前提が成立しやすくなる。逆に、平均や分散が時間とともに変わる兆候があれば、差分化やトレンド除去、分散安定化といった前処理、あるいは非定常モデルへの切り替えが必要になる。
よって検証結果は、推定パイプラインの選択を左右する「設計入力」とみなすのが実務上合理的である。