平均絶対誤差 - Ciallo Wiki

1 定義と数式

平均絶対誤差（Mean Absolute Error, MAE）は、予測値と実測値の差の絶対値を計算し、その平均を取った値を指す。誤差の大きさを符号に関係なく絶対値で評価するため、予測の全体的な精度を直感的に把握できる指標である。n個のデータポイントがある場合、次のように定義される：

MAE = (1/n) * Σ	y_i - ŷ_i

ここで、y_iは実測値、ŷ_iは予測値、nはサンプル数を表す。

標本平均絶対誤差は、観測された標本データに基づいて計算されるMAEの推定値である。母集団の真の平均絶対誤差を標本から近似するもので、機械学習のモデル評価においてはテストデータや検証データを用いて算出される。標本数が増えるほど、推定値は真の値に収束する性質を持つ。

MAEは絶対値を用いるため、外れ値に対して比較的頑健である。二乗誤差を使用する指標と異なり、極端に大きな誤差が全体の評価値に過度な影響を与えない。この性質により、外れ値を多く含むデータセットの評価や、異常値が発生しやすい実務的な予測タスクにおいて有効に機能する。

MAEの値は元のデータと同じ単位を持つ。例えば、目的変数が「温度（摂氏）」であればMAEも摂氏で表され、実用的な解釈が容易である。この直感的な解釈可能性は、ビジネスレポートや技術文書における説明資料として有用である。

MAEは誤差の絶対値を取るため、誤差がゼロとなる点で微分不可能である。この性質は、勾配降下法を用いて最適化を行う際に課題となる。ただし、サブグラディエント法や近接勾配法などの代替手法を用いることで、最適化は可能である。

MSEは誤差の二乗を平均するため、外れ値の影響を強く受ける。一方、MAEは外れ値の影響が抑制される。MSEは微分可能で解析的に扱いやすいが、解釈の際に単位が元のデータの二乗となる。MAEは解釈が容易であるものの、最適化の計算が複雑になる場合がある。

RMSEはMSEの平方根を取った値で、MAEと同じく元のデータと同じ単位を持つ。RMSEは外れ値に敏感であり、大きな誤差をより重視する。MAEは全体的な平均的な誤差を示すのに対し、RMSEは誤差の分散を反映するため、両指標を併用することでモデルの性能を多角的に評価できる。

MAPEは誤差を実測値に対するパーセントで表現する。MAEが絶対的な誤差を評価するのに対し、MAPEは相対的な誤差を評価するため、スケールの異なるデータ間での比較に適する。ただし、MAPEは実測値がゼロに近い場合に値が発散する問題があり、MAEはこの制約を受けない。

回帰モデルの性能評価において、MAEは基本的な指標として広く利用される。線形回帰、決定木、ニューラルネットワークなど、さまざまな回帰手法の精度比較に用いられる。特に、予測誤差の実用的な影響を評価する際に、直感的な解釈が可能なMAEが好まれる。

時系列データの予測精度検証では、MAEは期間ごとの誤差傾向を把握するのに有用である。需要予測、気象予報、在庫管理など、逐次的な予測が求められる分野で、平均的な予測誤差の評価基準として採用される。

データの平滑化処理やフィルタリングの評価において、MAEは入力データと出力データの乖離を測定するために使用される。外れ値の影響を抑えつつ、全体的な情報損失を定量的に評価できるため、ノイズ除去アルゴリズムの比較に適している。

MAEは絶対値の平均を取るため、分母がゼロになる問題は生じない。ただし、サンプル数が極端に少ない場合や、すべての誤差がゼロである場合には、平均値の計算が統計的に意味を持たなくなる。実務上は、一定数のサンプルが確保されていることを確認する必要がある。

MAEは元のデータのスケールに依存するため、スケールの異なるデータセット間での直接比較には適さない。例えば、百の位の値を扱うデータと千の位の値を扱うデータでは、同じモデル性能でもMAEの値が異なる。比較を行う場合には、データの正規化や標準化を事前に実施することが推奨される。

絶対偏差は、個々のデータポイントと代表値（平均値や中央値）との差の絶対値である。MAEは予測誤差の絶対偏差の平均と解釈でき、統計学における変動性の測定と共通の概念基盤を持つ。

MAEはL1ノルムの平均に相当する。機械学習におけるL1正則化（Lasso回帰）は、パラメータのL1ノルムを損失関数に加えることで、スパースな解を誘導する。MAEの最適化はL1ノルムの最小化と数学的に同型であり、両者は密接に関連する。

MAEはロバスト統計の考え方に基づく指標の一つである。ロバスト統計は、外れ値やモデルの仮定からの逸脱に対して頑健な推定方法を提供する。MAEが使用する絶対値は、中央値が平均よりも外れ値に強いという性質と共通するロバスト性を持つ。