1 停留点の基本
1.1 定義と直観
1.1.1 接線の傾きと停止
停留点は、関数のグラフ上で「その点における接線の傾き」が0になる（あるいは傾き0として扱える）点である。傾きが0とは、局所的に見たときに、曲線がその点で水平に振る舞うことを意味する。水平な接線は、増減が切り替わる場合だけでなく、曲線が一度は増えてから同じ方向に戻るような状況でも現れる。
1.1.2 導関数が0となる点
一次導関数がその点で定義されている場合、停留点は通常「導関数が0になる点」として与えられる。より一般には、導関数が定義されない点でも、接線の傾きが0相当として扱う整理が行われることがあるが、その場合は幾何学的・解析的な根拠を個別に確認する必要がある。
1.2 停留点の種類
1.2.1 極大（山）
極大の停留点は、その点の近くで関数値が周辺より大きくなる点である。グラフを左右に見ると、値が上がってきた後にそこで山の頂点を作り、その後は下がるという局所的な折り返しが観察される。
1.2.2 極小（谷）
極小の停留点は、その点の近くで関数値が周辺より小さくなる点である。左右の近傍で値が下がってきて、その点で底をつけたのちに上がるという形になる。
1.2.3 鞍点（変化が方向により異なる）
鞍点では、停留条件は満たすものの、増減が切り替わる方向が「見る向き」に依存するような性質が生じる。たとえば二次関数のように一変数で描いた場合でも、谷や山にならず、近傍で増加と減少が入り交じるように見えることがある。極大・極小と異なり、局所的に単調性が一方からだけで整理できない振る舞いとして理解される。
1.3 増減表との関係
増減表は、関数の増加・減少の区間を区切って示し、極値や停留点の位置を把握するための道具である。導関数が正の区間では関数は増加し、負の区間では減少する。導関数が0で符号が変わるときには極大または極小が候補として浮かび、符号が変わらない場合には停留点でも極値にならない可能性が残る。増減表は判定の補助として有用だが、二次以上の情報が必要な場合がある。
2 停留点の求め方
2.1 一般手順
2.1.1 関数の微分と条件設定
一般に、まず関数を微分し、停留候補を得るための条件を立てる。通常は「導関数を0とおく」ことで候補点を計算する。区間の端点が問題に含まれる場合は、端点での増減も別途確認し、内部の停留点と同列に扱うかどうかを設問の定義に従って整理する。
2.1.1.1 導関数=0の解の取得
導関数の方程式を解いて、停留候補の座標を列挙する。解が複数ある場合は、それぞれが定義域内に含まれるか、また微分が正しく行えているかを点ごとに確認する。方程式の解が得られても、元の関数がその点で定義されていない場合は候補から除外する。
2.1.2 解の候補の検証
候補点を列挙したら、それが実際に停留点として扱えるかを判定する。定義域の確認に加え、導関数の振る舞い（近傍での符号変化）や、より高い導関数の値によって、極大・極小・鞍点のどれに属するかを決める。単に導関数が0という事実だけでは、極値の種別は確定しないことに注意が必要である。
2.2 二次導関数による判定
2.2.1 二次導関数が正のとき
二次導関数の値が正で、かつ一次導関数が0となる点では、関数は局所的に下に開く形（実際には上に凸の形）になりやすい。結果として、停留点は極小として分類されることが多い。直観的には、曲線がその点で底を作り、周辺では値が上がる方向に変化する。
2.2.2 二次導関数が負のとき
二次導関数が負の場合は、局所的に上に開く形になり、停留点は極大になる。点の前後で関数値が大きくなる山の頂点として振る舞い、近傍での値は周囲より低くならない。
2.2.3 二次導関数が0のときの扱い
二次導関数が0の場合は、二次情報だけでは形状を確定できない。たとえば三次以降の成分が支配すると、鞍点のような挙動や、極値のように見えるが正確には別の分類になる可能性がある。したがって、この場合は高次導関数あるいは増減の符号を用いて追加判定を行う。
2.3 高次の判定法
2.3.1 三次導関数などの利用
二次導関数が0で判断ができないとき、三次導関数や四次導関数の符号・ゼロの位数を手がかりにする。特に三次が非ゼロであれば、その符号が増減の方向性を規定し、鞍点としての振る舞いが現れることがある。一方、四次が支配すると、極値が確定する場合もある。
2.3.2 変化の符号（増減）確認
高次判定の実務的な代替として、導関数の符号を候補点の前後で調べる方法がある。候補点を挟んで導関数が正から負へ変われば極大、負から正へ変われば極小が期待できる。符号が変わらない場合は、停留点であっても極値ではない可能性が高い。この考え方は増減表とも整合し、計算結果の整合性検証にも向く。
3 停留点の幾何学的理解
3.1 接線・曲線の局所挙動
停留点では接線が水平になるため、局所的な方向転換が起こりやすい。ただし「接線が水平」だけでは、山・谷・鞍のどれかは決まらない。局所曲率や次の次数の項が、曲線がその点を中心にどのように曲がるかを決めるためである。結果として、同じ“傾き0”でも形状は複数の型に分かれる。
3.2 凹凸との対応
凹凸は二次導関数の符号と密接に関係し、停留点の分類と結び付く。正負の二次曲率が異なることで、同じ水平接線でも曲線が上にふくらむのか下にふくらむのかが変わる。二次情報が消えている場合には、より高い階の曲がり方が支配するため、凹凸の対応は単純にならず、高次の検査が必要となる。
3.3 グラフからの読み取り
グラフ上では、停留点は水平な接線をもつ点として視覚的に捉えられる。さらに極大や極小は、周囲と比べて値が上回るか下回るかで判別できることが多い。鞍点は、片側では増え、別の局所では減るなど、単調な切り替えが見えにくいことがあるため、前後だけでなく局所の形状に注意して読む必要がある。概形から推測してから解析的な検算を行うと誤りを減らせる。
4 応用と注意点
4.1 最適化問題での役割
4.1.1 極値による最大・最小の探索
最適化では、関数がとる最大値・最小値を探す。内部の候補としては停留点が重要で、加えて区間の端点も候補になり得る。停留点での値を評価し、端点や他の境界条件と比較することで、最適解がどこで達成されるかが決まる。極大・極小の区別は目的（最大化か最小化か）に直結する。
4.1.2 制約を含む場合の考え方（基礎）
制約がある最適化では、変数は許容領域内に限られるため、無制約の停留点探索をそのまま適用できないことがある。許容領域の内部に対応する点では停留条件の発想が利用され、境界に対応する点では別の検査が必要になる。基礎的には「許される方向の変化が生じるか」を考えることで、候補点の絞り込みが行われる。
4.2 停留点と臨界点の違い
臨界点は、導関数が0になるか、あるいは導関数が定義されないために停留条件が成立する可能性をもつ点の総称として用いられることがある。そのため、停留点は臨界点の一部として扱われる場合が多い。一方で、定義や扱い方は教科書・流儀により差が出ることがあるため、文脈での定義を確認することが重要である。
4.3 判定の落とし穴
4.3.1 微分できない点の扱い
導関数が存在しない点は、二次導関数による判定が使えないことが多い。接線の傾きが0相当かどうかは、定義に従って極限や幾何学的観察から判断する必要がある。特に折れ点や尖点では、“傾き0に見える”という直観が誤導になることがあるため、厳密な条件で点の性質を整理する。
4.3.2 計算ミスの典型パターン
典型的な誤りとして、導関数の微分規則の適用ミス（符号・定数の取り違え）、候補点の代入忘れ、定義域チェックの欠落が挙げられる。さらに、二次導関数の符号に基づく分類で、極大と極小を取り違えるケースも多い。計算の最後に、増減の符号変化やグラフの概形と照合し、結論が整合しているかを確認する手順が有効である。