1 基本概念
1.1 定义
仿射变换是指在几何空间中，将点集映射到另一点集的一类变换。它通常可表示为线性变换与平移的组合，即先对图形进行旋转、缩放、剪切或反射等线性操作，再整体移动到新位置。由于这类变换能够保持直线、平行关系和同一直线上的比例结构，因此在几何学和应用数学中具有基础地位。
1.2 几何直观
从直观上看，仿射变换不会“弯曲”图形，而是以一种规则方式拉伸、倾斜、移动或翻转对象。例如，一个正方形经过仿射变换后，可能变为平行四边形，但边仍保持为直线，且对边仍然平行。它更像是对空间坐标系进行重塑，而不是对图形本身进行非线性扭曲。
1.3 与线性变换的关系
线性变换是仿射变换的特例。当仿射变换中的平移部分为零时，就退化为线性变换。线性变换以原点为固定参考，强调向量之间的运算关系；而仿射变换则允许整个空间整体偏移，因此适合描述更广泛的几何位置变化。
1.4 与平移的关系
平移可以看作仿射变换中最简单的一种情形。它不改变图形的方向、大小和形状，只改变其位置。仿射变换常将平移与线性变换结合使用，使得图形既可以发生形变，也可以发生位移，从而更符合实际建模需求。
1.5 仿射空间中的表述
在仿射空间中，点与向量被区分对待。点表示位置，向量表示位移。仿射变换在这一框架下可理解为：对位移部分施加线性作用，并对点的位置附加一个平移项。这样的表述避免了将原点视为特殊点，因而更适合处理坐标系无关的几何问题。
2 数学性质
2.1 保持性质
2.1.1 直线保持性
仿射变换会把直线映射为直线，或在退化情况下映射为一个点。若一组点原本共线，那么经过仿射变换后仍然共线。这一性质使其在几何推导和工程制图中非常有用。
2.1.2 平行保持性
平行线在仿射变换下仍保持平行，除非发生退化。也就是说，如果两条直线在原空间中没有相交，那么它们经过仿射变换后通常仍不会相交。这种特性是“仿射”区别于一般曲线变换的重要标志之一。
2.1.3 比例关系保持性
在同一直线上的点之间的比例关系会被保持。若某点将线段按固定比例分割，那么经过仿射变换后，这种分割比例仍然成立。因而，仿射变换能够保留线段内部的相对位置关系。
2.2 不变量
2.2.1 面积与长度的变化
仿射变换一般不保持长度和角度，但会以统一的方式改变面积或体积。不同方向上的长度可能按不同倍率变化，因此原图形的大小通常会发生改变。只有在特殊情形下，某些方向上的长度才可能保持不变。
2.2.2 角度与形状的变化
角度通常不是仿射不变量，正方形也不一定仍然保持为正方形。仿射变换允许图形发生倾斜和压扁，因此整体形状可能显著改变。不过，由于直线性和比例结构仍被保留，图形并不会失去其基本拓扑轮廓。
2.3 可逆性
2.3.1 逆仿射变换
若仿射变换可逆，则其逆映射仍然是仿射变换。逆变换可以将变换后的图形恢复到原始状态，常用于坐标反求、图像纠正和几何配准等场景。
2.3.2 可逆条件
仿射变换是否可逆，取决于其线性部分是否可逆。若对应矩阵行列式不为零，则通常存在唯一逆变换；若行列式为零，则会出现压缩维度、信息丢失或退化映射，无法完全恢复原图形。
2.4 复合运算
2.4.1 变换复合
多个仿射变换可以连续复合，得到新的仿射变换。复合后的结果仍属于仿射变换类，这使得复杂操作可拆解为若干基本步骤来实现。实际应用中，常将多个坐标变换合并，以提高计算效率。
2.4.2 复合的非交换性
仿射变换的复合通常不满足交换律。先平移后旋转，和先旋转后平移，往往得到不同结果。这种非交换性说明变换顺序在几何处理与程序实现中都十分重要。
3 代数表示
3.1 矩阵表示
3.1.1 齐次坐标表示
在齐次坐标中，仿射变换可写成矩阵形式，使平移与线性变换统一到同一框架内。通过增加一个辅助坐标，原本需要单独处理的平移项也可以纳入矩阵乘法，便于统一计算与组合。
3.1.2 增广矩阵形式
增广矩阵形式通常将线性部分与平移部分合并书写，直观展示变换的结构。它常用于计算机图形学和线性代数算法中，便于求逆、求复合以及进行数值实现。
3.2 参数分解
3.2.1 平移分量
平移分量描述图形整体移动的距离与方向。它不改变图形内部结构，只影响位置。分析平移分量时，通常关注各坐标轴上的位移量。
3.2.2 线性分量
线性分量决定图形的拉伸、压缩、旋转和剪切等行为。它是仿射变换的核心部分，决定空间中方向与尺度的变化方式。对这一部分的分析，有助于理解变换对几何形态的具体影响。
3.2.3 缩放、旋转与剪切分解
许多仿射变换都可以进一步分解为缩放、旋转与剪切的组合。不同分解方式对应不同的几何解释，也方便在实际中按功能逐步实现。某些算法会优先提取旋转成分，再处理其余变换，以增强可读性和稳定性。
3.3 特征分析
3.3.1 行列式与面积缩放
在线性部分中，行列式反映面积或体积的缩放倍数。其绝对值表示几何尺度变化的程度，符号则与方向是否翻转有关。若行列式为零，则说明变换会压缩维度，导致信息丢失。
3.3.2 特征值与特征向量
特征值和特征向量揭示了变换在特定方向上的作用方式。若某一方向对应特征向量，则该方向在变换下只会发生伸缩而不改变方向。通过特征分析，可判断变换的主轴、稳定方向及形变特征。
4 几何类型
4.1 平移
平移是将所有点按相同向量移动的变换。它保持形状、大小和方向不变，是最直观也最常见的仿射操作之一。平移常用于对象定位和场景调整。
4.2 旋转
旋转是围绕某一中心或轴线改变图形朝向的变换。在纯旋转中，距离和角度保持不变，因此它不仅属于仿射变换，也属于更严格的欧几里得变换。旋转在姿态描述中非常常见。
4.3 缩放
缩放通过按比例放大或缩小图形来改变尺寸。若各方向缩放比例一致，则属于均匀缩放；若不同方向比例不同，则会带来形状变化。缩放常见于图像显示、模型调整和坐标归一化。
4.4 剪切
剪切会使图形某一方向发生倾斜，常表现为矩形变成平行四边形。它通常保持面积的某种线性关系，但会改变角度与局部方向。剪切在字体设计和几何建模中经常出现。
4.5 镜像与反射
镜像或反射会将图形关于某一轴、平面或直线翻转。它通常改变图形的朝向，并可能导致左右对调。反射也是一种特殊的仿射变换，常用于对称性分析和图像处理。
4.6 组合仿射变换
组合仿射变换是多个基本变换按一定顺序叠加形成的结果。实际问题中，一个复杂的映射往往需要同时包含平移、旋转、缩放和剪切。通过组合，可以更灵活地拟合空间中的真实变化。
5 仿射变换群
5.1 仿射群的定义
仿射群是所有可逆仿射变换在复合运算下构成的集合。它将几何变换纳入代数结构之中，使“变换的变换”也能被系统研究。仿射群中的元素对应一类保持仿射结构的双射。
5.2 群结构与性质
仿射群满足群的基本公理，包括封闭性、结合性、单位元和逆元存在。单位元对应恒等变换，逆元对应可逆仿射变换。其群结构为分类和研究几何对称性提供了统一框架。
5.3 子群与特殊情形
在仿射群内部，可以找到多个重要子群，如仅含平移的子群、仅含线性变换的子群，以及保持长度和角度的子群。不同子群对应不同程度的几何约束，反映了仿射变换的层次结构。
5.4 与欧几里得群的关系
欧几里得群是仿射群的一个重要子群，主要由旋转、反射和平移组成，并保持距离不变。相比之下，仿射群更宽泛，允许缩放和剪切等形变。可以说，欧几里得群强调“刚体运动”，而仿射群强调“保持直线与平行结构”。
6 计算方法
6.1 参数求解
6.1.1 已知对应点的求解
当给定若干原始点及其变换后对应点时，可以通过建立线性方程组求解仿射变换参数。只要对应点数量足够且布局合理，便可唯一确定变换。该方法在图像校正和坐标配准中十分常用。
6.1.2 最小二乘拟合
若对应点存在测量误差或数据不完全一致，则常用最小二乘方法估计仿射参数。该方法通过最小化整体偏差，获得最能解释观测数据的近似变换，适合处理噪声环境下的问题。
6.2 数值稳定性
6.2.1 病态问题
当点集分布过于集中、共线或接近退化时，参数求解可能变得不稳定，表现为对微小误差极其敏感。这类问题通常被称为病态问题，需要通过数据预处理或正则化方法改善。
6.2.2 误差传播
在连续计算过程中，舍入误差和测量误差会沿着变换链传递并累积。若复合次数较多，误差可能放大，影响最终结果的可靠性。因此，实际计算中常关注浮点精度和矩阵条件数。
6.3 计算实现
6.3.1 计算机中的矩阵运算
在程序实现中，仿射变换通常以矩阵乘法完成。通过统一的数据结构，可以高效地执行多次变换，并利用硬件加速库提升性能。图形软件和科学计算平台往往都采用这种表示。
6.3.2 坐标变换流程
典型流程包括：确定原坐标系与目标坐标系，建立映射矩阵，执行点或向量转换，最后将结果回写到目标系统。该流程适用于图像处理、建模软件和机器人控制系统。
7 应用领域
7.1 计算机图形学
7.1.1 图像平移与缩放
在图形学中，仿射变换是图像显示与对象编辑的基础工具。平移用于调整位置，缩放用于改变尺寸，这些操作常见于界面设计、动画制作和场景布局。
7.1.2 纹理映射与渲染
纹理映射中，仿射变换可用于把二维纹理坐标对应到三维表面片段。渲染过程中也常利用它来控制对象局部区域的形变与投影近似，从而提升视觉效果与计算效率。
7.2 计算机视觉
7.2.1 图像配准
图像配准需要将不同来源或不同视角下的图像对齐。仿射模型能够描述一定程度的旋转、平移、缩放和剪切，因此常用于医学图像、遥感影像和普通视觉任务中的初步对齐。
7.2.2 特征点对齐
在特征点匹配后，常通过仿射变换将两组关键点尽可能对应起来。若场景变形较小，这种方法能够较好地恢复局部几何关系。它在目标识别、拼接和跟踪中都很常见。
7.3 机器人学
7.3.1 位姿描述
机器人系统中的位姿描述常涉及位置与方向的联合表达。仿射变换可用于表示坐标系之间的转换，帮助描述机械臂末端、传感器或工作空间中的几何关系。
7.3.2 运动规划中的坐标变换
在运动规划中，不同模块往往使用不同坐标系。仿射变换便于在世界坐标、机器人本体坐标和局部操作坐标之间进行转换，从而实现路径规划、避障和动作控制。
7.4 工程与建模
7.4.1 结构设计中的几何映射
在结构设计和制图中，仿射变换可用于尺寸调整、局部改形和坐标重定位。它能够在保持关键几何关系的同时，快速生成不同版本的设计方案。
7.4.2 有限元中的坐标变换
有限元分析常涉及从参考单元到实际单元的映射。仿射变换在网格单元的坐标转换中具有基础作用，有助于将局部计算结果推广到整体模型。
8 相关概念
8.1 欧几里得变换
欧几里得变换是一类保持距离和角度不变的变换，包括平移、旋转和反射。它比仿射变换限制更强，因此可视为仿射变换中的特殊类别。
8.2 相似变换
相似变换在保持角度与形状相似性的同时，允许统一缩放。它是介于欧几里得变换与一般仿射变换之间的重要概念，常用于几何比较和比例建模。
8.3 投影变换
投影变换比仿射变换更一般，能够描述透视效果。它不一定保持平行性，因此常用于摄影测量、透视校正和视觉成像模型。
8.4 双线性变换
双线性变换通常指一种不同于仿射变换的坐标映射方式，在某些二维插值和图像处理中会出现。与仿射模型相比，它在网格单元内部具有更灵活的形变表达能力。
8.5 线性映射与仿射映射的区别
线性映射要求保持加法和数乘结构，并固定原点；仿射映射则允许加入平移项，不必保持原点不动。简言之，线性映射关注向量空间结构，而仿射映射更强调点的几何位置变化。