1 基本概念
1.1 定义
质心是描述物体或系统质量分布的一个几何点，可视为全部质量平均作用的位置。它并不一定对应某个实际材料点，而是由整体质量分布决定的等效位置。在研究物体受力、平衡和运动时，质心常被当作简化模型中的代表点。
1.2 质心与重心的关系
在均匀重力场中，质心与重心通常重合。重心是物体所受重力的合力作用点，而质心是质量分布的平均位置。若重力场近似均匀，二者在工程和力学计算中往往可以互相替代；若重力场存在明显变化，则两者可能不再一致。
1.3 质心与几何中心
几何中心是纯粹由形状确定的中心点，不考虑质量分布。对于密度均匀、形状规则的物体，几何中心常与质心一致；但对于密度不均匀或内部结构复杂的物体，质心会偏离几何中心。换言之，几何中心强调“位置对称”，质心强调“质量对称”。
1.4 质心的物理意义
质心的物理意义在于，它可以把复杂系统的整体行为简化为单点运动或受力分析。许多外力作用于系统时，其对整体平动的效果可等效为作用在质心上的合力。因而质心不仅是一个几何概念，也是连接质量分布与运动规律的重要桥梁。
2 数学表达
2.1 离散质点系统的质心公式
对于由若干质点组成的系统，质心坐标可表示为各质点坐标按质量加权后的平均值。若系统总质量为 \(M\)，第 \(i\) 个质点质量为 \(m_i\)，位置矢量为 \(\mathbf r_i\)，则质心位置 \(\mathbf R\) 满足 \[ \mathbf R=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i} \] 该表达式表明，质量越大的质点，对质心位置的影响越显著。
2.2 连续分布物体的质心公式
对于连续分布的物体，需要将离散求和改为积分。若微元质量为 \(dm\)，位置矢量为 \(\mathbf r\)，则质心可写为 \[ \mathbf R=\frac{1}{M}\int \mathbf r\,dm \] 其中 \(M\) 为物体总质量。若已知密度分布，还可进一步将 \(dm\) 表示为密度与体积、面积或长度微元的乘积，从而适用于不同维度的物体。
2.3 多维坐标中的表示
在直角坐标系中，质心可以分解为各坐标分量分别求平均。若质心坐标为 \((\bar x,\bar y,\bar z)\)，则 \[ \bar x=\frac{1}{M}\int x\,dm,\quad \bar y=\frac{1}{M}\int y\,dm,\quad \bar z=\frac{1}{M}\int z\,dm \] 离散系统中也可写为对应坐标的质量加权平均。该表示法便于在实际计算中逐项处理。
2.4 质量加权平均的思想
质心计算的核心思想是“以质量为权重进行平均”。这意味着空间中的每一部分对结果的贡献并不相同，而是由其质量大小决定。与普通平均不同，质量加权平均更能反映系统的真实分布特征，因此在力学建模中具有广泛适用性。
3 计算方法
3.1 利用对称性判断
当物体具有明显对称性时，质心往往位于对称轴、对称面或对称中心上。若一个均匀物体左右对称，则质心必在对称轴上；若三维形体在多个方向上都对称，则质心通常处于对称中心。利用对称性可以避免繁琐运算，是最常见的判断方法之一。
3.2 分段积分法
对于形状复杂但密度分布已知的连续物体，常将其划分为若干小区域，再对各部分分别积分求和。通过设定适当的坐标系与微元形式，可逐步得到总质量及质心坐标。该方法适用于非规则边界、变密度材料以及由不同区域拼接而成的对象。
3.3 组合体质心计算
组合体通常由多个简单几何体拼接或挖去部分区域形成。此时可将各子体的质心和质量分别求出，再根据加权平均得到整体质心。若组合体中存在空洞或缺口，通常把被去除部分视为“负质量”区域参与计算。
3.3.1 坐标分解法
坐标分解法是把组合体质心问题拆成若干坐标方向分别处理。先选定参考原点，再求各子体在各坐标方向上的位置分量，最后按质量加权求和。该方法步骤清晰，适合平面图形和规则立体的计算。
3.3.2 代数叠加法
代数叠加法把组合体视为多个基本图形质量的代数和。对于保留部分取正质量，对于切除部分取负质量，然后统一代入质心公式。此法在工程制图和结构分析中十分方便，尤其适用于孔洞、缺口和附加构件较多的模型。
3.4 常见标准图形的质心
许多标准图形的质心位置已有成熟结论，可直接用于计算。掌握这些结果能显著提高分析效率，也便于验证复杂模型的计算是否合理。
3.4.1 线段、三角形与圆形
均匀线段的质心位于中点；均匀三角形薄板的质心是三条中线的交点；均匀圆形薄板的质心位于圆心。对于弧线或扇形等变体图形，质心位置通常不再与几何中心完全一致，需要结合具体形状求解。
3.4.2 长方体、圆柱体与球体
均匀长方体的质心位于空间对角线的交点；均匀圆柱体的质心在其轴线上且位于几何中心处；均匀球体的质心就在球心。由于这些图形具有高度对称性，其质心结论通常可以直接由对称性推出。
4 力学中的应用
4.1 刚体平衡分析
在静力学中，物体是否平衡常与质心位置密切相关。若质心的竖直投影落在支撑区域内，物体通常更容易保持稳定；若投影超出支撑范围，则容易发生倾倒。因而质心是判断稳定性、支撑条件和受力分布的重要依据。
4.2 运动学中的质心运动
刚体或系统的整体平动可通过质心轨迹来描述。即使物体内部存在复杂振动、旋转或局部变形，只要考察整体平动，质心运动仍然是最简洁的表征方式。许多复杂系统可以先分析质心，再分别处理内部相对运动。
4.3 动力学中的质心定理
质心定理指出，系统质心的加速度由外力合力决定，而与系统内部作用力无关。也就是说，系统内部力虽然会改变各部分之间的相对运动，但不会改变质心作为整体的受力平动规律。这一结论是分析多体系统的重要基础。
4.4 碰撞与系统响应
在碰撞问题中，质心常用于判断系统总体冲量效应和后续运动趋势。碰撞过程中，内部能量可能转化为形变、热量或振动，但系统质心的总体运动仍服从外力与动量变化关系。工程中常借助质心分析来估计碰撞后的位移、翻转和稳定性变化。
5 相关概念
5.1 质量中心
质量中心是质心的另一种常见表述，强调由质量分布决定的位置。二者在一般力学语境下常被视为同义或近义概念。不同文献中使用习惯略有差别，但核心含义基本一致。
5.2 重心
重心是物体所受重力的合力作用点。在重力场均匀时，重心与质心相同；在非均匀重力场中，两者可能产生偏离。实际工程中，若场强变化不大，常用质心近似代替重心进行分析。
5.3 几何中心
几何中心主要由形状决定，不直接考虑质量差异。对于均匀密度物体，几何中心往往可以作为质心位置；而对于偏心结构、局部加厚或材料密度不均的物体，几何中心与质心之间可能存在明显差距。
5.4 惯性中心
惯性中心通常与质心相关联，用于描述系统对运动状态变化的整体响应。某些语境下，它与质心在位置上重合，但强调的侧重点不同：前者更偏向动力学意义，后者更强调质量分布的平均位置。
6 常见性质
6.1 唯一性
在给定质量分布和参考空间中，质心通常是唯一确定的。只要系统总质量不为零，按加权平均得到的结果就不会出现多解。这种唯一性使质心成为稳定可靠的分析对象。
6.2 对称性性质
如果物体在某一方向上完全对称，那么质心必定位于该对称结构所约束的位置上。对称性越强，质心位置越容易判断。该性质在规则图形、机械零件和建筑构件分析中尤为常用。
6.3 位置可偏移性
当物体内部质量重新分布时，质心会随之移动。增加某一侧的质量会使质心向该侧偏移，而减轻某一部分质量则可能把质心拉向另一方向。质心的可偏移性反映了其对质量分布变化的敏感性。
6.4 切分与组合性质
把一个整体切分成若干部分后，各部分质心可以单独求出，再合成为整体质心；反之，多个部分拼接成组合体时，也可通过分部质心反推整体位置。这个性质使复杂形体的分析可以转化为若干简单对象的叠加问题。
7 典型实例
7.1 均匀杆的质心
均匀细杆的质量沿长度方向均匀分布，因此其质心位于杆的正中点。若细杆两端条件相同，无论水平放置还是竖直放置，这一位置都不变。该例子常被用作质心概念的入门模型。
7.2 三角形薄板的质心
均匀三角形薄板的质心位于三条中线交点处，也称为重心点。该点将每条中线按固定比例分割，靠近顶点的部分较短。由于这一结果具有很强的几何规律性，常用于平面图形和结构板件分析。
7.3 圆盘与环形物体的质心
均匀圆盘的质心在圆心，因为各方向质量分布一致。对于均匀圆环，若材料沿圆周对称分布，质心同样位于圆心，即使圆心处并无实际材料。此类实例说明，质心可以落在物体内部空白区域中。
7.4 不规则物体的质心估算
对于形状复杂、密度又不完全均匀的物体，常先通过分块、称重或测量得到近似质量分布，再用加权平均估算质心。实际工作中也可借助悬挂法、平衡法或数值建模进行近似求解。虽然结果未必精确，但通常足以满足工程判断和实验分析需求。