1 基本概念
结构化网格是计算网格中的一种基本形式，其核心特征在于网格单元按照固定的拓扑规则排列，单元之间的相邻关系可以通过编号直接推导，无需复杂的邻接搜索。由于这种规则性，它在数值计算中通常具有较高的存储效率和较好的程序可实现性。
1.1 定义与特征
结构化网格通常指在一个网格区域内，节点、边和单元按规则序列组织的网格体系。与其“结构化”相对应的是其拓扑有序、索引清晰的特点，即网格中的任意一个点往往都能通过一组整数编号唯一标识。
这类网格的典型特征包括：单元排列整齐、邻接关系固定、数据结构简洁，以及便于进行批量计算和数组访问。正因为如此，结构化网格常被用于规则几何域或可以经过变换后规则化的计算区域。
1.2 拓扑结构
结构化网格的拓扑结构强调的是“连接关系”而非几何形状。即便网格单元在物理空间中经过弯曲变形，只要它们在逻辑上仍保持规则排列，通常仍可归入结构化网格。
1.2.1 节点编号规则
节点编号规则一般按照行、列或层次顺序递增，例如从左到右、从下到上，或者在三维情形中按层推进。这样的编号方式使得网格点之间的关系可以通过简单的算术表达式获得，减少了额外的数据记录需求。
1.2.2 邻接关系表示
在结构化网格中，某个节点或单元的邻接对象通常可以由其索引推算出来。例如二维网格中，某节点的上下左右邻点都可通过固定偏移量确定。这种表示方式使得边界处理、差分模板构造和守恒量计算更为直接。
1.3 与非结构化网格的区别
结构化网格与非结构化网格的主要区别在于拓扑组织方式。前者采用规则索引，便于存储和计算；后者则更灵活，能够适应复杂几何边界，但通常需要显式记录连接关系，数据管理也更复杂。
在规则区域中，结构化网格往往具有更高的计算效率和较低的实现成本；而在边界形状复杂、局部细节丰富的区域，非结构化网格通常更具适应性。两者各有适用场景，常根据问题性质选择。
2 分类与形式
结构化网格可从维度、坐标类型和单元排列方式等角度进行划分。不同分类方式并不彼此排斥，实际应用中常常交叉出现。
2.1 按维度分类
按维度划分主要取决于网格所描述的空间范围，通常分为一维、二维与三维结构网格。
2.1.1 一维结构网格
一维结构网格用于描述线段、管道轴线或其他沿单一方向变化的区域。其单元沿一条主方向排列，主要用于简化模型、标量场离散或一维传输问题。
2.1.2 二维结构网格
二维结构网格在平面上按行列组织，常见于平板、翼型截面、二维腔体等计算域。它是工程计算中最常用的网格形式之一，既便于离散，又能保持较好的数值稳定性。
2.1.3 三维结构网格
三维结构网格由三组索引共同描述，适用于体积区域的离散，如流体通道、固体结构和三维传热问题。三维结构网格对存储和计算资源的需求更高，但在规则或可规则化区域中仍具有显著优势。
2.2 按坐标类型分类
按坐标类型划分主要依据网格点在物理空间中的分布方式及其与坐标系的关系。
2.2.1 笛卡尔网格
笛卡尔网格又称直角网格，网格线彼此正交，单元多为矩形或长方体。它结构简单，差分格式容易构建，是最基础也最常见的结构化网格形式之一。
2.2.2 曲线坐标网格
曲线坐标网格允许网格线随边界形状弯曲，从而更好地贴合复杂几何。虽然其几何表达比笛卡尔网格更灵活，但在数学处理上通常需要引入坐标变换与度量项。
2.2.3 贴体网格
贴体网格是对边界几何进行适配的结构化网格形式，网格线尽量沿边界走向布置，以提高对复杂曲面或曲边区域的描述精度。它广泛应用于气动外形、叶片和管道等边界敏感问题。
2.3 按单元排列方式分类
单元排列方式决定了网格的组织形态，以及不同区域之间的连接策略。
2.3.1 规则矩形网格
规则矩形网格的单元大小和排列方式都较为整齐，通常用于几何边界简单、尺度变化不大的区域。它便于采用统一的离散模板，计算流程也更为规整。
2.3.2 周期性网格
周期性网格在某些方向上满足重复连接或循环对应关系，适合描述具有周期结构的物理问题。此类网格常见于周期边界条件下的数值分析，能够减少冗余计算。
2.3.3 分块结构网格
分块结构网格将复杂区域划分为若干个结构化子块，每个子块内部保持规则拓扑，子块之间通过接口连接。它兼顾了结构化网格的计算便利与复杂几何的适应能力。
3 数学表示
结构化网格的数学表示通常依赖索引系统与坐标映射，通过逻辑空间和物理空间的对应关系描述网格点、边和面。
3.1 索引系统
索引系统是结构化网格最重要的数学表达工具之一，它通过整数编号建立网格的逻辑结构。
3.1.1 i-j 表示法
i-j 表示法用于二维结构网格，通常以两个方向的整数索引定位节点或单元。该方法直观明了，便于表示平面网格中的行列关系，也便于构造差分算子。
3.1.2 i-j-k 表示法
i-j-k 表示法用于三维结构网格，分别对应三个空间方向上的索引。通过这组三重编号，可以明确描述任一点、单元或控制体在三维空间中的相对位置。
3.2 网格点与单元关系
结构化网格中，节点、边和面之间的关系具有明确的层级性，适合从离散几何角度进行统一描述。
3.2.1 节点
节点是网格的基本离散点，通常承载未知量或作为几何定位的基础。节点位置决定了单元的形状，也影响数值插值和导数近似的精度。
3.2.2 边
边连接相邻节点，构成网格的线性骨架。在二维中，边定义单元轮廓；在三维中，边则参与构成立方体或其他多面体单元的几何边界。
3.2.3 面
面是三维结构化网格中重要的几何要素，用于描述单元之间的分界以及通量交换位置。面的位置和朝向对有限体积方法中的守恒计算尤为关键。
3.3 坐标映射
坐标映射用于建立逻辑空间中的规则网格与物理空间中的实际几何之间的联系，是曲线网格和贴体网格的基础。
3.3.1 物理空间映射
物理空间映射是指将规则索引点转换为真实空间中的坐标点。通过该映射，计算域中的不规则边界可以被规则拓扑的网格所描述。
3.3.2 计算空间映射
计算空间映射则是将物理空间问题转换到逻辑网格上进行处理。这样做有助于统一离散格式，并在规则索引下完成变量求解和数值迭代。
4 生成方法
结构化网格的生成方法通常围绕几何规则性和边界适配性展开，不同方法适用于不同复杂程度的计算区域。
4.1 规则区域生成
对于几何形状较为简单的区域，结构化网格往往可以直接按规则划分，无需复杂的边界处理。
4.1.1 等距划分
等距划分是指在各方向上采用相同或近似相同的间距布置网格点。这种方法实现简单，适合均匀场或几何尺度变化不大的问题。
4.1.2 非等距划分
非等距划分允许在局部区域加密网格，以提高对边界层、梯度突变区或关键结构的分辨能力。其网格间距可按幂函数、指数函数或经验分布进行调整。
4.2 曲边区域生成
对于存在弯曲边界的区域，网格生成往往需要同时兼顾几何贴合与单元质量。
4.2.1 边界拟合
边界拟合是使网格边界尽可能与真实几何边界一致的过程。通过这种方式，可以更准确地表示外形轮廓，减少几何误差对计算结果的影响。
4.2.2 光滑插值
光滑插值用于在已知边界和内部控制点之间生成平稳过渡的网格线。它有助于避免单元扭曲或突变，使网格分布更均匀自然。
4.3 分块与拼接
在复杂区域中，常通过分块策略将一个大区域拆分成多个较简单的子区域，再将各块拼接起来形成整体网格。
4.3.1 多块拼接
多块拼接将若干结构化子网格组合成完整计算域。每个子块内部保持规则排列，整体上则通过块间协同完成复杂几何的离散。
4.3.2 接口匹配
接口匹配关注相邻子块之间节点、边或面的对应关系。若接口处理得当，可保证变量传递顺畅，并维持整体计算的一致性。
5 质量评价
结构化网格的质量直接影响离散精度、收敛速度与数值稳定性，因此通常需要从几何和数值两方面进行评价。
5.1 几何质量
几何质量主要反映网格形状本身是否合理，是否存在过度拉伸、扭曲或不连续变化。
5.1.1 单元长宽比
单元长宽比描述一个单元在不同方向上的尺度差异。长宽比过大可能导致离散误差增大，并降低部分算法的稳定性，尤其在梯度变化较强的区域更为明显。
5.1.2 正交性
正交性用于衡量网格线或单元边界之间是否接近垂直。良好的正交性通常有助于提高通量计算和导数近似的准确性。
5.1.3 平滑性
平滑性反映相邻单元尺寸和形状变化是否连续。若网格突变明显，可能引入局部误差集中，从而影响整体求解效果。
5.2 数值质量
数值质量强调网格对计算过程的实际影响，尤其关注误差传播、收敛行为和稳定性。
5.2.1 收敛性影响
网格质量会影响迭代求解的收敛快慢。通常情况下，规则且平滑的结构化网格更有利于形成稳定的迭代过程。
5.2.2 离散误差
离散误差来自连续方程在离散网格上的近似表达。网格越合理，离散误差通常越可控，尤其在关键区域加密后，局部精度往往会有所提升。
5.2.3 稳定性分析
稳定性分析用于考察数值解在时间推进或迭代过程中是否容易发散。网格尺度、形状和正交性都可能对稳定性产生影响，因此常需结合具体算法综合评估。
6 计算与实现
结构化网格在计算机实现上通常较为高效，适合以数组和规则循环的方式组织程序。
6.1 存储结构
存储结构决定了网格数据在内存中的组织方式，也影响后续计算速度和维护成本。
6.1.1 数组化存储
数组化存储是结构化网格的典型方式。由于索引规则明确，节点坐标、物理量和辅助参数常可直接按多维数组保存，访问效率较高。
6.1.2 稀疏表示
在某些扩展实现中，也可对局部信息采用稀疏表示，以减少冗余存储。此方法更多出现在需要额外记录边界、接口或局部修正信息的情形中。
6.2 计算效率
结构化网格的规则性使其在邻域访问和并行处理方面具有天然优势。
6.2.1 邻域搜索
由于邻接关系可由索引直接计算，结构化网格几乎不需要复杂的邻域搜索过程。这一特点显著降低了预处理和迭代过程中的开销。
6.2.2 并行计算
结构化网格非常适合区域分解与并行循环。规则的数据布局有利于负载划分和缓存优化，因此在高性能计算中应用较广。
6.3 软件实现
在工程软件中，结构化网格通常伴随完整的预处理、求解和可视化流程。
6.3.1 网格预处理
网格预处理包括几何读取、边界定义、网格生成、质量检查和变量初始化等步骤。该阶段决定了后续计算是否能够顺利进行。
6.3.2 后处理可视化
后处理可视化用于展示计算结果，如速度场、温度场、应力分布等。结构化网格的规则排列也便于结果插值、切片显示和等值线绘制。
7 应用领域
结构化网格因组织清晰、实现方便，在多个工程与科学计算领域长期保持重要地位。
7.1 结构力学分析
在结构力学中，结构化网格常用于梁、板、壳体或规则实体的离散分析。它有助于表达应力、位移和变形分布，特别适用于几何相对规则的构件。
7.2 流体与传热计算
流体力学和传热分析是结构化网格最常见的应用方向之一。无论是管道流动、腔体对流，还是换热器内部的温度场计算，结构化网格都能提供较稳定的离散框架。
7.3 地质与岩土模拟
在地质与岩土模拟中，结构化网格可用于描述层状介质、规则剖面或局部简化模型。它在模拟渗流、沉降和应力传递时，具有较好的计算便利性。
7.4 工程仿真中的典型场景
在工程仿真中，结构化网格常见于风道、热交换器、简化机械部件、传热板以及规则包络区域等场景。对于边界较规整的问题，它往往能够在精度与效率之间取得较好平衡。
8 发展与相关技术
随着计算需求的提升，结构化网格不断与自适应、并行和高阶方法结合，以增强其适用范围和计算能力。
8.1 网格自适应
网格自适应是根据误差分布或物理量变化动态调整网格密度的技术。它能够在关键区域加密网格，在平缓区域保持较粗网格，从而兼顾效率与精度。
8.2 多重网格方法
多重网格方法通过不同尺度网格之间的协同迭代加速求解，是提升结构化网格计算效率的重要技术之一。它在处理大规模线性或非线性方程组时效果尤为明显。
8.3 混合网格技术
混合网格技术将结构化网格与其他类型网格结合使用，以适应复杂几何与局部规则区域并存的情况。该方法常用于在计算效率与几何适应性之间寻求折中。
8.4 高阶离散方法
高阶离散方法通过提高差分、有限体积或有限元近似的阶次，增强对细节变化的捕捉能力。结构化网格因其规则性，通常更便于实现高阶格式及相关修正策略。