1 定义与基本概念
曼哈顿距离是一种基于坐标差绝对值之和的距离度量方法。它常用于描述只能沿水平、垂直或其他坐标轴方向移动的情形，因此在网格化空间、离散路径和某些特征空间中十分常见。与直接连接两点的几何直线不同，曼哈顿距离强调沿坐标方向分步累加的“路径长度”。
1.1 距离的数学定义
在二维平面中，设两点分别为 \(P(x_1,y_1)\) 与 \(Q(x_2,y_2)\)，它们的曼哈顿距离定义为：
\[
| d(P,Q)= | x_1-x_2 | + | y_1-y_2 |
|---|
\]
在 \(n\) 维空间中，若两点坐标分别为 \(\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\) 和 \(\mathbf{y}=(y_1,\dots,y_n)\)，则距离可写为：
\[
| d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{i=1}^{n} | x_i-y_i |
|---|
\]
该定义表明，距离的大小由各维度上的偏差共同决定，而不是由空间中的直线长度决定。
1.2 几何直观
曼哈顿距离可以理解为“沿坐标轴走路”所需的总步数。比如在城市街区中，从一个路口到另一个路口，若只能沿东西和南北方向行走，那么总路程往往由横向位移与纵向位移相加得到。这个直观图像也是其别名“城市街区距离”的来源之一。
1.3 与其他距离的关系
曼哈顿距离属于常见的距离度量之一，与欧氏距离、切比雪夫距离等在定义和几何意义上都有明显差别。不同距离适用于不同类型的问题，因此在建模时需要根据数据结构和移动约束加以选择。
1.3.1 与欧氏距离的比较
欧氏距离度量两点之间的直线长度，公式为各坐标差平方和再开方。曼哈顿距离则是绝对值之和。前者更贴近几何中的“直线距离”，后者更符合网格移动或分维累加的情形。对于同一对点，曼哈顿距离通常不小于欧氏距离，但二者的数值差异会随着维度和坐标分布而变化。
1.3.2 与切比雪夫距离的比较
切比雪夫距离取各坐标差绝对值中的最大值，反映的是“最费力的单一方向偏差”。曼哈顿距离则将所有方向上的偏差累加，因此更关注总位移量。若系统允许同时在多个方向上平行调整，切比雪夫距离更合适；若只能逐轴移动，曼哈顿距离通常更自然。
1.4 命名来源
“曼哈顿距离”这一名称通常与纽约曼哈顿的街道网格结构相关。该区域道路排列较规则，行走时常需沿街区转折前进，因此用沿街区移动的总步行距离来类比这种度量方式十分贴切。“出租车距离”也是常见称呼，形象地说明了车辆在城市道路中通常不能直线穿行，而是依道路网络行驶。
2 数学性质
曼哈顿距离不仅便于计算，而且满足度量所要求的一系列基本性质，因此可以作为严格的数学距离使用。
2.1 非负性与对称性
曼哈顿距离总是非负的，因为绝对值本身不会为负。若两点完全重合，则各坐标差都为零，距离也为零；反之，只要存在任一坐标不同，距离就大于零。
同时，它具有对称性，即：
\[ d(\mathbf{x},\mathbf{y})=d(\mathbf{y},\mathbf{x}) \]
这是因为绝对值对交换顺序不敏感。
2.2 三角不等式
曼哈顿距离满足三角不等式：
\[ d(\mathbf{x},\mathbf{z}) \le d(\mathbf{x},\mathbf{y}) + d(\mathbf{y},\mathbf{z}) \]
这一性质意味着，从点 \(\mathbf{x}\) 到点 \(\mathbf{z}\) 的直接距离不会超过经由中间点 \(\mathbf{y}\) 的总距离。它是距离度量能够支持优化、搜索和几何分析的重要原因之一。
2.3 度量空间性质
以曼哈顿距离定义的空间构成一个度量空间。也就是说，在该距离下，点集满足距离定义所需的基本公理，可以进行邻域分析、收敛讨论和连续性研究。正因为如此，曼哈顿距离不仅是一个计算公式，也是一种完整的空间结构定义方式。
2.4 坐标变换下的表现
曼哈顿距离对某些坐标变换具有稳定性，但在另一些变换下会发生变化。这使它既有清晰的几何解释，也具有一定的坐标依赖性。
2.4.1 轴平移
若所有点同时沿各坐标轴平移相同的量，那么点与点之间的坐标差不变，曼哈顿距离也保持不变。因此，它对平移具有不变性，这与绝大多数常用距离度量一致。
2.4.2 旋转与缩放
一般情况下，曼哈顿距离对任意旋转并不保持不变，因为旋转会改变各坐标上的差值分配方式。相较之下，欧氏距离对旋转不敏感。至于缩放，如果各坐标轴按相同倍数缩放，距离也会按同样比例变化；若不同坐标轴缩放不一致，则距离的变化会更复杂。
3 几何解释
曼哈顿距离的几何意义很强，尤其适合用图形来理解。它所形成的等距结构，与常见的欧氏几何图形有明显差别。
3.1 二维平面中的“街区”模型
在二维平面上，如果点只能水平和竖直移动，那么从起点到终点的最短路径通常由若干段横向和纵向线段组成。只要总横向位移和总纵向位移相同，具体转折位置并不会改变距离。这与城市街区中的通行方式十分相似。
3.2 高维空间中的几何形状
进入高维后，曼哈顿距离所对应的几何对象不再是熟悉的圆形或球形，而会呈现出更复杂的多面体结构。随着维数增加，距离等值集合的边界会由许多平面片组成，体现出“轴向累积”的几何特点。
3.3 等距线与等距面
曼哈顿距离的等距集合是理解其几何性质的关键。给定一个固定距离值，所有满足该距离的点构成一条等距线或一个等距面。
3.3.1 二维中的菱形轮廓
在二维平面中，以某点为中心、距离为常数的点集通常形成一个菱形。这个菱形的四个顶点分别位于坐标轴方向上，反映出距离是由横向和纵向差值共同决定的，而不是沿对角线直接展开。
3.3.2 三维及更高维的超多面体
在三维空间中，等距面呈现为八面体形状；更高维情况下，则对应某种超多面体。它们的共同特征是边界由多个平面片拼接而成，体现出曼哈顿距离的分段线性特征。
4 计算方法
曼哈顿距离的计算过程直接而高效，通常只需对各维坐标差取绝对值并求和即可。
4.1 基本公式计算
对于两个点，先逐维相减，再取绝对值，最后累加即可。例如在二维中，点 \((2,3)\) 与 \((7,1)\) 的曼哈顿距离为：
\[
| 2-7 | + | 3-1 | =5+2=7 |
|---|
\]
这一过程不涉及平方、开方等运算，因此实现简单，适合快速估算。
4.2 向量形式表示
若将点视为向量，则曼哈顿距离可写成两向量差的 L1 范数：
\[
| d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|_1 |
|---|
\]
这种写法在数学分析和机器学习中较为常见，便于与其他范数统一处理。
4.3 批量数据中的快速计算
在处理大规模数据时，曼哈顿距离可以通过向量化运算或并行计算提高效率。对一组样本与查询点逐一比较时，只需对矩阵中的对应元素做差、取绝对值并按行或按列求和，即可得到整批距离结果。
4.4 复杂度分析
对单对点的距离计算，其时间复杂度通常为 \(O(n)\)，其中 \(n\) 为维度数。若面对 \(m\) 个样本与一个查询点，则复杂度通常为 \(O(mn)\)。由于计算规则简单，曼哈顿距离在高频调用场景中具有较好的实用性。
5 应用领域
曼哈顿距离广泛应用于需要轴向移动、离散度量或稳健特征比较的场景中。
5.1 计算几何
在计算几何中，曼哈顿距离可用于分析点集、构造最近邻结构、评估网格约束下的几何关系等。由于其等距集合具有多面体特征，相关问题常带有鲜明的组合几何色彩。
5.2 最短路径与网格导航
在城市道路、棋盘格地图或二维栅格中，曼哈顿距离常被用作最短路径的基础估计。若移动规则限制为上下左右四个方向，该距离可以直接反映理论上的最短步数，因此常用于路径规划中的启发式判断。
5.3 运筹优化
在某些优化模型中，目标函数会包含绝对值项，这与曼哈顿距离的结构相近。它常见于选址、调度、运输和资源分配等问题中，尤其适合描述分维成本累加的情形。
5.4 机器学习与数据挖掘
在机器学习里，曼哈顿距离常用于样本相似度衡量、异常检测和特征空间分析。与欧氏距离相比，它对单个维度的极端变化表现出不同的敏感性，因此在某些数据分布下更具鲁棒性。
5.4.1 最近邻搜索
在最近邻方法中，曼哈顿距离可作为判定样本接近程度的标准之一。对于稀疏特征或离散型特征较多的数据，它往往比欧氏距离更符合直觉，也更容易解释。
5.4.2 聚类与分类
在聚类和分类任务中，曼哈顿距离可用于构建簇间差异或判别规则。由于其计算简洁，适合在大规模样本或实时系统中使用。不过，具体效果仍取决于特征归一化方式和数据结构。
5.5 信号处理与误差分析
在某些信号处理和误差评估任务中，曼哈顿距离可用于衡量估计值与真实值之间的总偏差。与平方误差相比，它对少数较大偏差的处理方式不同，因此有时更适合强调“总偏离量”的场景。
6 性质比较与扩展
曼哈顿距离并非孤立概念，它可以推广为更一般的范数形式，也可以根据实际需求进行加权或约束化处理。
6.1 p范数的一般化
曼哈顿距离是 \(p\) 范数族中的一个特例，即 \(p=1\) 时的情形。随着 \(p\) 的变化，距离的几何形状与对偏差的敏感程度也会改变。该一般化为不同问题提供了统一框架。
6.2 加权曼哈顿距离
当不同维度的重要性不同时，可以为各坐标差配置不同权重，形成加权曼哈顿距离。其基本形式是在每个绝对差前乘以权值，再求和。这在特征尺度不一致或业务上强调特定维度时很有用。
6.3 截断与约束条件下的距离
在一些实际场景中，距离会受到上限截断、障碍约束或可行区域限制。此时，名义上的曼哈顿距离可能只作为理想下界，而真实路径长度则需结合环境条件重新计算。这类处理常见于规划问题和受限导航模型。
6.4 与城市网格模型的对应关系
曼哈顿距离与城市街道网格高度对应，因此常被用来抽象规则路网中的通行代价。在网格化地图中，它既能反映路径长度，也能为搜索算法提供简明的估计标准。
7 实际案例
以下案例展示曼哈顿距离在不同场景中的典型用法。
7.1 平面点集距离计算
设平面上有两点 \(A(1,4)\) 和 \(B(6,9)\)，则它们的曼哈顿距离为：
\[
| 1-6 | + | 4-9 | =5+5=10 |
|---|
\]
这一结果说明，两点间需要沿坐标轴方向总共移动 10 个单位。
7.2 网格地图中的路径估计
在一个只允许上下左右移动的地图中，若起点与终点在横向相差 8 格、纵向相差 3 格，则最短步数为 11。曼哈顿距离在这里直接给出了理论路径长度，常用于搜索算法的估计函数。
7.3 特征空间中的样本相似度
若两个样本在多个特征上的差异分布较均匀，则曼哈顿距离能较好地反映它们的总体偏离程度。比如在文本特征、计数特征或稀疏向量中，该距离往往比依赖平方差的度量更稳定。
7.4 典型题目与例题
常见题目包括：计算两点间距离、判断多个点的最近关系、在网格中估计最短路、比较不同距离度量下的结果等。解题时只需牢记“逐维取绝对值，再求和”这一核心规则，通常即可顺利完成。
8 相关概念
曼哈顿距离与若干基础概念关系密切，尤其常与范数、字符串编辑和离散匹配问题并列讨论。
8.1 闵可夫斯基距离
闵可夫斯基距离是一类统一的距离形式，曼哈顿距离可视为其中 \(p=1\) 的特殊情形。它连接了欧氏距离、切比雪夫距离等多个常见度量。
8.2 汉明距离
汉明距离用于衡量两个等长字符串或编码中对应位置不同的个数，强调的是离散位置上的不一致。与曼哈顿距离相比，它更适合离散符号序列而非连续数值坐标。
8.3 编辑距离
编辑距离关注将一个字符串转换为另一个字符串所需的插入、删除和替换次数。它与曼哈顿距离一样都可描述“总变化量”，但对象从数值坐标转向了字符序列。
8.4 L1范数
L1范数是向量各分量绝对值之和。曼哈顿距离本质上就是两个向量差的 L1 范数，因此二者在形式上几乎一致，只是应用语境略有不同。
9 历史与术语
曼哈顿距离的术语形成与数学分析、城市结构和计算方法的发展密切相关。
9.1 术语演变
“曼哈顿距离”一名强调其与规则街区布局之间的类比，而“出租车距离”则更突出交通路径的实际行驶方式。随着计算机科学和数据分析的普及，这一概念逐渐从几何与地理类比扩展到更广泛的数值分析领域。
9.2 在学术文献中的使用
在数学、统计学、信息检索和机器学习文献中，曼哈顿距离通常与 L1 距离、绝对值距离等术语并用。不同学科可能更偏好不同名称，但其核心定义基本一致。
9.3 常见误解与澄清
一种常见误解是将曼哈顿距离视为“折线长度”的任意情况。实际上，它只对应在特定坐标约束下的轴向移动总和。另一种误解是认为它总能替代欧氏距离；事实上，二者适用范围不同，选择时应根据问题的几何结构和建模目标决定。