加性高斯白噪声信道

数学模型

时域表示

输入输出关系

在AWGN信道中，发送信号 \(x(t)\) 经过信道后，接收信号 \(y(t)\) 表示为： \[ y(t) = x(t) + n(t) \] 其中 \(n(t)\) 是加性高斯白噪声过程。信道不引入任何乘性失真或符号间干扰，仅叠加噪声。

噪声统计特性

噪声 \(n(t)\) 服从零均值的高斯分布，即 \(n(t) \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\)。其功率谱密度在频域内均匀分布，因此称为“白”噪声。任意两个不同时刻的噪声采样值统计独立（自相关函数为 \(\sigma^2 \delta(\tau)\)）。

频域表示

功率谱密度

AWGN的双边功率谱密度为常数 \(\frac{N_0}{2}\)（单位：W/Hz），单边功率谱密度为 \(N_0\)（单位：W/Hz）。这表明噪声在无穷带宽上具有均匀的功率分布。

带宽与噪声功率

若系统带宽为 \(B\)（单位：Hz），则噪声总功率为： \[ P_n = N_0 B \] （若采用双边谱，则 \(P_n = \frac{N_0}{2} \cdot 2B = N_0 B\)）。带宽越大，累加的噪声功率越高。

信道参数

信噪比（SNR）

定义与计算

信噪比定义为信号功率 \(P_s\) 与噪声功率 \(P_n\) 之比： \[ \text{SNR} = \frac{P_s}{P_n} = \frac{P_s}{N_0 B} \] 通常以分贝（dB）表示：\(\text{SNR}_{\text{dB}} = 10 \log_{10}(\text{SNR})\)。

每比特信噪比（Eb/N0）

为独立于调制方式和带宽的评价指标，定义每比特能量 \(E_b\) 与单边噪声功率谱密度之比： \[ \frac{E_b}{N_0} = \frac{P_s / R_b}{N_0} \] 其中 \(R_b\) 为比特率（bit/s）。该指标常用于比较不同调制方案的误码性能。

信道容量

香农容量公式

AWGN信道的香农容量 \(C\) 由下式给出： \[ C = B \log_2\left(1 + \frac{P_s}{N_0 B}\right) \quad \text{（单位：bit/s）} \] 该公式表明在无限带宽下容量趋于有限值 \(P_s / (N_0 \ln 2)\)。

带宽与容量关系

固定信号功率时，增加带宽可提高容量，但受限于噪声功率线性增长，容量收敛于极限值。当带宽很窄时，容量与带宽近似线性增长。

功率与容量关系

固定带宽时，容量随信号功率对数增长。提高功率可降低对带宽的需求，但边际增益递减。

性能分析

误码率（BER）

二进制调制

###### BPSK 二进制相移键控（BPSK）在AWGN信道下的误码率为： \[ P_b = \frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right) \] 其中 \(\operatorname{erfc}\) 为补误差函数。随着 \(E_b/N_0\) 增加，BER呈指数下降。

###### FSK 二进制频移键控（FSK，非相干解调）的误码率为： \[ P_b = \frac{1}{2} e^{-E_b / (2N_0)} \] 相干解调时性能优于非相干，但非线性度较高。FSK的BER曲线比BPSK略差约3dB（在相同 \(E_b/N_0\) 下）。

多进制调制

###### M-QAM \(M\) 进制正交幅度调制（M-QAM）的误符号率（SER）近似为： \[ P_s \approx 4\left(1 - \frac{1}{\sqrt{M}}\right) \operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{3 E_s}{2 (M-1) N_0}}\right) \] 其中 \(E_s = \log_2 M \cdot E_b\)。高阶QAM（如64-QAM）对噪声更敏感，但频谱效率更高。

###### M-PSK \(M\) 进制相移键控（M-PSK）的误符号率可近似为： \[ P_s \approx \operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \sin(\pi/M)\right) \] BPSK与QPSK在相同 \(E_b/N_0\) 下具有相同的误比特率性能，但QPSK带宽效率翻倍。

差错概率界限

联合界技术

联合界（Union Bound）通过将正确译码概率上界表示为所有可能错误事件概率之和，用于评估编码系统的误码性能。对于线性码，使用距离谱可给出误码率的上限： \[ P_b \leq \sum_{d=d_{\min}}^{\infty} A_d \cdot P_2(d) \] 其中 \(A_d\) 为重量 \(d\) 的码字个数，\(P_2(d)\) 为两码字间差错的成对错误概率。

球包界

球包界（Sphere Packing Bound）给出信道容量达到的极限，指出在AWGN下，码字星座图不能填满超过球体体积比所限的空间。该界通常用于推导香农极限，并表明Turbo码、LDPC码等可接近该上限。

应用与扩展

实际通信系统建模

卫星通信

卫星链路中，自由空间路径损耗和大气衰减使得接收信号弱，背景噪声近似为AWGN。因此，卫星通信系统的性能分析常直接采用AWGN模型，用于设计调制阶数、编码增益和功率控制方案。

有线数字传输

在双绞线、同轴电缆等有线信道中，热噪声通常占主导，其特性符合AWGN。例如，DSL、以太网等系统在理想匹配条件下可用AWGN信道近似，评估传输速率和误码率。

编码定理验证

信道编码

AWGN信道是验证信道编码定理（如香农第二定理）的标准平台。通过仿真或分析，可观察不同码率、码长编译码方案的误码性能是否能趋近容量限。

接近容量限的编码（如Turbo码、LDPC码）

Turbo码和低密度奇偶校验（LDPC）码在AWGN信道下性能非常接近香农容量（相差仅零点几分贝）。这些编码广泛应用于现代通信标准（如3G/4G、DVB-S2）中，以在高信噪比区域获得接近无差错的传输。