1 基本概念
1.1 定义
分层抽样是一种概率抽样方法，其基本做法是先依据某些特征将总体划分为若干“层”，再在每一层内按照随机原则抽取样本。各层内部通常尽量保持相似，而不同层之间则具有较明显差异。由于抽样对象并非直接从整个总体中随机抽取，而是先分层后抽取，因此该方法能够更有针对性地覆盖总体中的不同组成部分。
1.2 核心思想
分层抽样的核心在于“先分后抽”。研究者先识别总体中对研究结果有重要影响的变量，例如年龄、地区或收入，再据此建立分层框架。随后，各层分别独立抽样，最后将样本汇总为整体样本。这样的设计既保留了随机抽样的概率性质，又利用了总体结构信息，使样本更贴近真实总体。
1.3 与简单随机抽样的区别
简单随机抽样不预先区分总体内部结构，每个单位被抽中的机会相同；分层抽样则会先将总体细分为若干层，再在各层内随机抽取。前者操作较为直接，但在总体异质性较强时，样本可能出现某些子群体不足的情况；后者则能保证每个重要子群体都得到适当覆盖，因此在代表性和估计效率上往往更具优势。
1.4 适用场景
当研究总体内部差异较大、且这些差异可被某些变量较好刻画时，分层抽样尤为适用。它常见于社会科学调查、市场研究、教育评估和公共卫生监测等场景。若研究目标需要对不同子群体分别分析，或希望提高小群体的样本可见度，分层设计通常比单纯随机抽样更合适。
2 理论基础
2.1 总体与样本
总体是研究所关注的全部对象集合，样本则是从总体中抽取的一部分单位。分层抽样之所以有效，正是基于总体并非完全均质，而是存在可识别的结构差异。通过合理分层，可以使样本在结构上更接近总体，从而改善估计效果。
2.1.1 总体分层的依据
总体分层通常依据与研究变量相关性较强的特征。若某一变量不仅容易识别，还与目标指标有明显关联，便适合作为分层标准。分层依据越合理，层内差异越小，层间差异越大，抽样效率通常越高。
2.1.2 层内同质性与层间异质性
理想的分层结构要求每一层内部尽可能同质，而不同层之间尽可能异质。层内同质性有助于减少抽样波动，层间异质性则说明分层确实区分了总体中的重要差别。两者共同决定了分层抽样能否发挥优势。
2.2 概率抽样原理
分层抽样属于概率抽样，因此每个总体单位都具有已知且非零的被抽中概率。正因为抽样概率可追踪，研究者才能据此进行无偏或近似无偏的推断，并建立误差估计。该特性也是分层抽样与非概率抽样的重要区别之一。
2.3 估计与推断基础
在分层抽样中，样本信息通常用于估计总体均值、比例、总量等参数。由于各层样本来自随机抽取，且抽样概率已知，因此可以通过加权或分层汇总的方法恢复总体结构。推断时不仅关注点估计，还要结合抽样设计计算方差和置信区间，以反映不确定性。
3 分层方式
3.1 按比例分层抽样
按比例分层抽样是指各层的样本量与该层在总体中的规模成正比。换言之，某层在总体中占比多少，样本中也大致占同样比例。这种方式简单直观，容易保证样本结构与总体结构一致。
3.1.1 样本分配原则
若总体分为若干层，总样本量固定，则各层样本量通常按层内人数占总体人数的比例分配。这样能使样本的层结构自然反映总体结构，便于后续进行总体估计，也减少复杂权重处理的需要。
3.1.2 适用条件
当研究目标主要是获得总体层面的结论，且各层规模差异不极端时，按比例分配较为合适。它尤其适用于各层内部变异程度相近、或研究者没有特别强调某些小层的统计精度时。
3.2 非比例分层抽样
非比例分层抽样是指各层样本量不严格按照总体占比来分配，而是根据研究目的、成本约束或统计效率进行调整。这类方法在需要加强某些子群体分析时很常见。
3.2.1 等额分配
等额分配是指每层抽取相同数量的样本。该方法便于比较不同层之间的差异，尤其适合对多个子群体进行对照分析。不过，它会使小层相对被“放大”，大层相对被“缩小”，因此后续通常需要加权修正。
3.2.2 过度抽样与欠抽样
过度抽样是对某些规模较小但研究价值较高的层适当增加抽样比例；欠抽样则是对某些大层适度减少抽样比例。两者常结合使用，以便在有限预算下兼顾总体代表性与重点子群体的分析需要。
3.3 最优分配
最优分配强调在给定总样本量条件下，使估计精度尽可能高，或使调查成本尽可能低。它并不追求机械地按比例分配，而是综合考虑各层规模、层内波动和调查代价。
3.3.1 Neyman分配
Neyman分配是一种经典的最优分配方法，其基本思想是：样本应更多分配给规模较大且层内变异较高的层。这样做通常能在相同总样本量下获得更小的估计方差，因此被广泛应用于理论和实践设计中。
3.3.2 考虑成本的分配
在实际调查中，各层的抽样和访问成本往往不同。若某层样本获取更困难，可能需要在精度与费用之间权衡。考虑成本的分配方法会把单位抽样成本纳入计算，使样本布局更符合现实资源条件。
4 实施步骤
4.1 确定分层变量
实施分层抽样的第一步，是选择合适的分层变量。该变量应与研究目标密切相关，并且能够较稳定、清晰地识别各类总体单位。若分层变量选取不当，后续分层效果可能大打折扣。
4.2 划分各层
在确定分层变量后，需要将总体单位归入对应层别。划分时应保证各层互不重叠、尽量穷尽总体，并尽可能使层内相似、层间差异明显。分层规则一旦确定，通常应在整个调查过程中保持一致。
4.3 确定各层样本量
依据研究目的和总体结构，为每一层分配样本数量。分配时既可采取按比例方案，也可采用非比例或最优分配。样本量确定后，应核对总量是否满足统计推断需要，并考虑是否需要预留无应答损失。
4.4 在层内抽取样本
各层内部通常再采用简单随机抽样或系统抽样等方式进行抽取。由于层内单位已较为同质，这一步的随机选择能够保证每层样本都具有概率基础，同时减少结构偏差。
4.5 合并样本与加权处理
所有层内样本抽取完成后，需要将其合并形成整体样本。若各层并非按比例抽样，通常还需进行权重调整，以恢复总体结构。加权后，样本估计才能更准确地反映总体特征。
5 分层变量的选择
5.1 人口学变量
人口学变量常用于描述总体最基本的结构差异，且一般较容易获得。因此，在很多调查设计中，它们是最常见的分层依据。
5.1.1 年龄
年龄往往与行为、健康状况、消费偏好等变量密切相关。按年龄分层可以使不同年龄段都得到充分覆盖，避免样本过度集中在某一年龄群。
5.1.2 性别
性别是最常用的人口学分层变量之一。若研究指标在不同性别之间存在差异，采用性别分层有助于提高估计精度，并便于开展群体比较。
5.1.3 教育程度
教育程度常与收入、职业和认知行为等因素相关。把教育程度作为分层变量，能够较好地区分不同社会背景人群，提升样本结构的解释力。
5.2 地理变量
地理变量反映空间分布差异，在区域研究、城乡研究和地方比较中尤为重要。它们常用于处理地理环境影响明显的调查对象。
5.2.1 区域
区域分层可按省份、城市群、行政区或其他空间单元划分。不同区域在经济水平、生活方式或公共服务条件上可能存在差别，因此该类分层很常见。
5.2.2 城乡
城乡差异在社会调查中具有典型意义。以城乡作为分层标准，能够避免城市或农村样本不足，进而更准确地反映总体中的结构性差异。
5.3 行为与状态变量
除人口学和地理因素外，行为与状态变量也常作为分层依据。这类变量通常与研究主题联系更紧密，能够更直接地提升估计质量。
5.3.1 收入水平
收入水平常用于划分消费能力、生活条件或风险暴露程度不同的人群。按收入分层，有助于研究者观察不同经济阶层之间的差异。
5.3.2 职业类别
职业类别能反映劳动性质、工作环境和社会角色等方面的区别。对于职业健康、劳动市场或消费研究，职业分层具有较强的解释价值。
5.3.3 消费习惯
消费习惯体现个体或家庭在购买频率、品牌偏好和支出结构上的差别。若研究关注市场行为，按消费习惯分层可以使样本更贴近真实市场结构。
6 样本量与分配
6.1 总样本量确定
总样本量通常由研究精度要求、总体规模、预算限制和预期无应答率共同决定。样本过小会导致估计不稳定，样本过大则可能增加不必要的调查成本，因此需要在可行范围内平衡精度与资源。
6.2 各层样本量计算
在总样本量确定后，可依据比例分配、最优分配或其他规则计算各层样本量。实际操作中往往还会参考层内变异、重要程度和调查难度，对某些层作适当修正，以满足分析需求。
6.3 设计效应
设计效应用于衡量复杂抽样设计相对于简单随机抽样在方差上的变化。分层抽样若分层合理，常能降低设计效应；但若层间差异不明显，或者权重差异较大，设计效应也可能上升。因此，设计效应是评估抽样方案的重要指标。
6.4 权重调整
权重调整的目的在于补偿不同层抽样概率不一致所带来的影响。对于非比例分配样本，权重尤为关键。通过合理加权，可以使样本估计更接近总体真实结构，并提高统计推断的准确性。
7 优点与局限
7.1 优点
7.1.1 提高代表性
分层抽样能确保总体中的主要子群体都被纳入样本，从而降低“某类对象缺失”的风险。对于结构复杂的总体，这一点尤其重要。
7.1.2 提升估计精度
当分层变量与研究指标相关时，层内差异会减小，整体方差也可能随之下降。相同样本量下，这通常意味着更稳定的估计结果。
7.1.3 便于比较各层差异
由于样本在各层都有明确覆盖，研究者可以更方便地比较不同群体之间的均值、比例或分布差异。这使分层抽样不仅适合总体估计，也适合分组分析。
7.2 局限
7.2.1 分层信息获取成本
实施分层需要事先掌握较完整的总体信息，而这些信息并不总是容易获得。若前期资料不足，分层设计的准备成本会明显增加。
7.2.2 分层错误的影响
若分层依据选择不当，或层别划分过于粗糙，实际效果可能不理想。严重时，还可能因层内异质性过高而削弱抽样优势。
7.2.3 实施过程更复杂
与简单随机抽样相比，分层抽样在设计、执行、统计加权和分析解释方面都更复杂。尤其在大规模调查中，流程管理要求更高。
8 统计分析中的应用
8.1 均值估计
在分层抽样下，总体均值通常可由各层均值按层权重加总得到。若分层恰当，这种估计往往比忽略分层结构的简单平均更稳健，也更符合总体实际。
8.2 比例估计
总体比例的估计同样可通过各层比例与权重结合得到。例如，某一特征在总体中的占比，可先计算每层内的比例，再按层规模加权汇总。这样可以更准确地反映总体分布。
8.3 方差估计
方差估计在分层抽样中需要考虑各层内部波动及抽样比例。由于分层设计改变了样本结构，不能简单套用普通随机抽样的方差公式，而应依据分层抽样的专门公式进行计算。
8.4 置信区间构建
置信区间用于表达参数估计的不确定性。在分层抽样条件下，区间宽度取决于样本量、层内变异和权重设置等因素。合理的分层设计通常有助于缩小置信区间，使推断更加精确。
9 相关概念
9.1 分群抽样
分群抽样是先将总体划分为若干群，然后随机抽取部分群，再调查所选群中的单位。它与分层抽样不同，前者强调群内异质、群间相似，后者则强调层内同质、层间差异。
9.2 整群抽样
整群抽样常被视为分群抽样的一种具体形式，即抽中某些群后，对群内全部或部分单位进行调查。它通常更节省成本，但在精度上未必优于分层抽样。
9.3 系统抽样
系统抽样是在排列好的总体名单中按固定间隔抽取样本。它操作简便，适合名册完整、排序合理的情况，但不具备分层抽样那种对总体结构的针对性控制。
9.4 多阶段抽样
多阶段抽样是在若干阶段逐步抽取样本单位的设计方法，常用于总体规模大、名单难以一次性获取的场景。分层抽样有时可作为多阶段抽样中的一个环节，与其他抽样方式联合使用。
10 实际应用
10.1 社会调查
在社会调查中，分层抽样常用于确保不同年龄、性别、地区和社会阶层都得到覆盖。这样既有助于把握总体态势，也便于分析群体差异。
10.2 教育测评
教育测评常按学校类型、年级、地区或学生背景分层。通过这种方式，样本能够更全面地反映不同教育情境下的学习表现与资源差异。
10.3 市场研究
市场研究中，企业常依据消费群体特征进行分层，以了解不同人群的购买倾向和品牌认知。分层抽样不仅提升调查效率，也有助于细分市场分析。
10.4 公共卫生调查
公共卫生调查经常面对年龄结构、地域分布和风险暴露差异明显的人群。采用分层抽样后，研究者可更准确地估计健康指标，并比较不同人群的状况差别。