1 基本概念
1.1 定义与直观理解
仿射联络是流形上的一种几何结构，用来说明在不同点之间如何比较切向量。由于流形本身通常没有天然的“平行”概念，联络提供了一套规则，使得向量可以沿曲线作一致的传递，并据此定义导数、平行移动和测地线。
从直观上看，仿射联络可理解为把局部线性空间拼接成整体时的“对接方式”。在平坦空间中，向量比较较为直接；而在弯曲空间里，向量若要从一点搬到另一点，就需要额外的连接信息。
1.2 切空间与向量场
流形上的每个点都对应一个切空间，其中包含该点附近曲线的切向量。向量场则是在流形每一点指定一个切向量的光滑赋值。仿射联络正是作用于向量场之间的工具，它允许对“向量场如何变化”进行精确描述。
若仅有向量场本身，还无法自然地比较不同点的切向量，因为它们属于不同的切空间。联络通过引入沿方向的变化规则，使得这种比较成为可能。
1.3 平行移动
平行移动是联络的核心概念之一，指沿着给定曲线把一个切向量“保持不变”地传递到另一点。这里的“不变”并非指坐标分量恒定，而是指其变化方式与联络规定的平行条件一致。
平行移动一般依赖于路径，因此同一向量沿不同路径移动到同一点后，结果可能不同。这一现象与曲率密切相关，是非平坦几何的重要特征。
1.4 协变导数
协变导数是对普通导数的几何化推广，用于衡量向量场或张量场沿某个方向的变化。与坐标导数不同，协变导数会考虑流形本身的弯曲以及联络所规定的比较规则。
它的基本作用是把“变化”拆解为两部分：一部分来自对象本身的变化，另一部分来自基底随位置改变而引入的额外修正。借助协变导数，可以更自然地定义曲率、挠率与测地线。
2 仿射联络的表示
2.1 联络系数
在局部坐标系下，仿射联络常通过一组联络系数来表示。这些系数描述了坐标基底随位置变化时的相互关系，也决定了协变导数的具体形式。
联络系数并不是张量，因此它们会随坐标变化而改变形式。不过，它们组合出的协变导数、曲率张量等量则具有坐标无关的几何意义。
2.2 Christoffel 符号
在黎曼几何及相关情形中，联络系数通常写作 Christoffel 符号。它们是描述 Levi-Civita 联络最常见的符号系统，在计算测地线、曲率和协变导数时极为常用。
Christoffel 符号本质上是一种局部表示，能够把抽象联络具体化为可计算的表达式。需要注意的是，这些符号依赖坐标选择，不能直接视为几何不变量。
2.3 局部坐标表达
在局部坐标下，仿射联络可写成对基向量场的导数展开式。对于任意向量场，其协变导数都可以表示为普通偏导数加上联络系数所给出的修正项。
这种表达方式便于实际计算，也揭示了联络与局部坐标结构之间的关系。通过局部表示，可以分析联络在微分方程、曲率计算和测地线研究中的作用。
2.3.1 坐标变换下的行为
联络系数在坐标变换下遵循非张量型的变换律。这意味着它们会额外出现由坐标二阶导数引入的项，从而反映出“基底变化”对几何描述的影响。
正因如此，联络系数本身不具有坐标不变性，但由它们构造出的协变导数和曲率等对象则保持几何意义不变。这一性质区分了局部表示与内禀几何结构。
2.3.2 规范化表示
在某些点或某些特殊坐标系中，可以选取使联络系数简化的表示形式。比如在局部正则坐标中，某些联络分量可在指定点上取零，从而便于分析局部几何性质。
这种规范化并不意味着联络本身消失，而只是说明在局部可通过坐标选取弱化其表达。它在证明局部性质和建立几何直观时很有用。
3 几何性质
3.1 曲率
曲率反映联络所定义的平行移动是否具有路径依赖性。若沿闭合回路平行移动后向量发生改变，就说明空间具有非零曲率。
曲率是研究流形弯曲程度的中心量，也是联络最重要的几何不变量之一。它将局部比较规则与整体几何结构联系起来。
3.1.1 曲率张量
曲率张量由协变导数的交换子定义，描述两个方向上的连续比较是否一致。它通常记为某种四阶或三阶对象，具体形式取决于指标约定。
当曲率张量为零时，联络在局部上更接近平坦情形；当其不为零时，则说明平行移动存在非平凡的环路效应。曲率张量在几何和物理中都具有基础地位。
3.1.2 曲率的几何意义
曲率的几何意义可通过三角形内角和、平行四边形闭合误差或向量绕行后的旋转来理解。它揭示了空间并非简单地按欧氏几何方式延展。
在曲率非零的空间中，最短路径、面积增长和局部形状都会表现出与平坦空间不同的特征。因此，曲率是衡量几何“弯曲”与“偏离平直”的关键指标。
3.2 挠率
挠率描述联络在交换两个方向时是否出现偏差。与曲率关注“绕一圈是否回到原状”不同，挠率更偏向于反映局部平行结构的扭转特性。
在许多经典几何中常考虑无挠联络，但一般仿射联络允许挠率存在。挠率为联络理论增加了更丰富的局部结构。
3.2.1 挠率张量
挠率张量刻画协变导数在两个向量方向上的不对称性。它可以理解为联络偏离对称性的程度，并常写作由联络系数差值构成的张量。
挠率与曲率同属联络的基本几何量，但两者反映的问题不同。前者强调局部排列的扭转，后者强调整体的弯曲与路径依赖。
3.2.2 无挠联络
无挠联络指挠率张量恒为零的联络。这类联络满足较强的对称性条件，在黎曼几何中尤为常见。
无挠条件使得联络更接近“自然平滑延拓”的概念，也简化了测地线和坐标表达的形式。许多标准几何结构都默认采用无挠联络。
3.3 联络与测地线
测地线是联络导出的“最自然曲线”，可理解为沿着自身方向平行推进的曲线。它在局部上扮演类似直线的角色，是研究最短路径和自由运动的重要对象。
联络决定了测地线的具体形式，因此不同联络会产生不同的测地线族。测地线既与局部几何相关，也反映了整体空间的结构。
3.3.1 测地线方程
测地线方程是由协变导数为零的条件导出的常微分方程。其局部形式通常包含二阶导数项和联络系数项，体现了几何曲率对轨迹的影响。
在平坦空间中，测地线退化为普通直线；在弯曲空间里，则会表现为弧线、椭圆弧或更复杂的路径。该方程是联络理论最常见的计算工具之一。
3.3.2 自平行曲线
自平行曲线是指其切向量沿曲线自身平行移动的曲线。对于某些参数化方式，自平行曲线与测地线可视为同一类对象。
这一概念强调曲线的切方向与联络之间的协调关系。它在规范化参数选择和局部几何分析中具有实用价值。
4 特殊类型的仿射联络
4.1 Levi-Civita 联络
Levi-Civita 联络是黎曼几何中最重要的仿射联络，由度量唯一决定。它同时满足度量相容与无挠两个条件，因此兼具对称性与长度保持性质。
这一联络把“测量长度与角度”的结构和“如何比较向量”的规则统一起来，是经典微分几何的核心组成部分。
4.1.1 度量相容性
度量相容性指联络在平行移动下保持内积不变。换言之，沿曲线移动时，向量间的长度和夹角不会因联络而改变。
这一性质保证了几何测量的一致性，使得长度、角度与体积等概念能够在流形上稳定地定义。它是 Levi-Civita 联络的重要约束之一。
4.1.2 无挠条件
Levi-Civita 联络还要求无挠，即协变导数对称性良好。该条件减少了联络的自由度，并使其与黎曼度量产生唯一对应。
无挠性与度量相容性合在一起，构成了 Levi-Civita 联络的特征性定义。它在绝大多数经典几何模型中都占据标准地位。
4.2 线性联络
线性联络通常指向量丛上的联络，尤其是切丛上的联络，其局部表示是线性的。它允许沿流形比较纤维中的向量，并构造协变微分运算。
这类联络在代数结构与几何结构之间搭起桥梁，适用于研究向量丛、张量场以及更一般的几何对象。仿射联络可视为线性联络的典型情形。
4.3 余切联络
余切联络作用于余切丛或协变向量场，描述一形式沿曲线的变化方式。它与切丛上的联络彼此对应，并通过自然配对关系联系起来。
在坐标计算中，余切联络常与切联络成对出现。两者共同保证张量场的协变导数具有一致的变换规律。
4.4 仿射联络与拟仿射结构
拟仿射结构是指在局部上表现出类似仿射空间性质的几何结构。仿射联络可用于刻画这类结构中的局部直线性、平行性和坐标协调性。
当流形上存在适当的联络时，局部几何可以呈现接近平面仿射空间的行为。拟仿射结构因此成为联络理论与更广泛几何结构之间的重要中间层。
5 典型应用
5.1 黎曼几何中的应用
在黎曼几何中，仿射联络用于定义测地线、曲率张量以及局部平行移动。Levi-Civita 联络尤其关键，因为它将度量信息与微分结构统一起来。
通过联络，黎曼流形的局部几何性质可以被系统分析，包括体积变化、曲率约束和最短路径问题。许多经典定理都以此为基础展开。
5.2 广义相对论中的应用
在广义相对论的几何表述中，时空被视为带有度量的流形，而联络则描述自由落体轨迹与引力效应的几何结构。测地线对应于不受非几何力作用的运动路径。
联络在这里不仅是数学工具，也是一种将物理规律几何化的语言。曲率与物质分布之间的联系，使联络理论具有基础性地位。
5.3 规范理论中的几何语言
在规范理论中，联络被用来描述局部对称性下的比较规则。它将“如何在不同点比较内部自由度”这一问题转化为几何对象。
这类思想使得联络不仅出现在切空间层面，也出现在更一般的纤维丛中。规范场可以看作联络的一种物理实现，具有统一的几何解释。
5.4 复流形与辛流形中的相关结构
在复流形上，联络可与复结构相容，从而研究复几何中的局部变化；在辛流形中，联络则常与辛形式及其保持条件相关。不同的相容要求会导出不同类型的几何结构。
这些情形说明，仿射联络并不局限于实流形的经典框架，而是能够扩展到多种几何范畴中。它为研究复杂结构提供了统一方法。
6 相关定理与性质
6.1 存在性与唯一性
在适当条件下，给定某些附加结构后，仿射联络可以存在，并且在额外约束下可能唯一。最典型的例子是由黎曼度量确定的 Levi-Civita 联络，其存在且唯一。
存在性与唯一性问题说明，联络并非任意附加物，而是可以由几何公理或相容条件自然导出的结构。不同约束会产生不同的联络类。
6.2 联络的张量差
两个联络之差是一个张量，这一性质非常重要。虽然单个联络系数不是张量，但它们的差却具有良好的坐标变换行为。
这一结果使得比较不同联络成为可能，也便于分析联络之间的偏离程度。它在构造新联络和研究变形问题中经常出现。
6.3 Bianchi 恒等式
Bianchi 恒等式是曲率与挠率满足的基本恒等关系，反映了联络几何中的深层一致性。它们通常分为第一、第二类形式，分别涉及挠率与曲率的不同组合。
这些恒等式在证明几何性质、推导守恒律和简化曲率表达式时非常重要。它们也是现代微分几何与几何物理中的常用工具。
6.4 仿射联络与拓扑不变量
联络的曲率形式与若干拓扑不变量之间存在深刻联系。通过对曲率进行适当组合和积分，可以得到与流形整体拓扑相关的量。
这说明联络不仅刻画局部几何，还能够参与识别全局结构。局部微分数据与整体拓扑性质之间的桥梁，是现代几何的重要主题。
7 进一步拓展
7.1 主丛与联络
在主丛理论中，联络被提升为纤维丛上的几何数据，用以描述主空间中不同纤维之间的比较方式。此时联络通常通过联络形式来表述。
这种观点将切空间上的仿射联络推广到更抽象的框架，使其适用于更广泛的几何与物理对象。主丛联络也是现代几何的标准语言之一。
7.2 Ehresmann 联络
Ehresmann 联络是一种适用于纤维丛的联络概念，通过切空间分解来指定水平子空间。它不必依赖线性结构，却能有效描述沿底空间的平行传输。
这一框架比传统仿射联络更一般，能够统一处理许多非线性情形。它为理解纤维丛中的几何运动提供了基础工具。
7.3 Cartan 几何中的联系
Cartan 几何把局部几何视为某种模型空间的弯曲版本，并借助联络来刻画偏离程度。它强调“在每个点上像某个齐性空间，但整体上允许弯曲”。
仿射联络在这一视角下可看作更广义几何联系的一部分。该理论把对称性、曲率与局部模型统一到同一框架中。
7.4 高阶联络与广义联络
高阶联络研究不仅依赖一阶导数信息的几何连接，还涉及更高阶的微分数据。广义联络则尝试在更抽象的结构上建立类似比较规则。
这类拓展有助于处理更复杂的几何对象，例如高阶丛、非线性空间及带附加结构的流形。它们体现了联络理论持续扩展的方向。